Beziehung Ebene-Geradenschar < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Ebene
E: 2x + z - 3 = 0
und die Geradenschar
[mm] g_{t}: \vec{x}=\pmat{ 2+1 \\ 1 \\ 1+t } [/mm] + s [mm] \pmat{ 1+t \\ 1-t \\ t } [/mm]
s,t [mm] \in \IR [/mm] gegeben.
a) Für welche t ist [mm] g_{t} [/mm] parallel zu E? Handelt es sich dabei um echte Parallelität? Für welches t ist [mm] g_{t} [/mm] orthogonal zu E?
|
Hallo.
Ich bin am verzweifeln. Ich schreibe diese Woche meine Vorabiklausur und verstehe diese Aufgabe nicht.
Kann mir vielleicht jemand erklären, wie ich herausbekomme für welche t [mm] g_{t} [/mm] parallel bzw. orthogonal zu E ist?
Ich rechne immer im Kreis und komme auf kein richtiges Ergebnis.
Vielen Dank.
Shariliiine
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:48 So 28.02.2010 | | Autor: | nooschi |
es wäre gut, wenn du was dazu schreiben würdest, was genau du bisher gerechnet hast...
Ich würde so vorgehen:
Du hast die Ebenengleichung in der Koordinatendarstellung, das heisst du kannst den Normalvktor der Ebene direkt ablesen: [mm] \vec{n}=\vektor{2 \\ 0 \\ 1} [/mm] (ich nehme an das weisst du?)
die Geradengleichung besteht ja immer aus zwei Vektoren, dem Ortsvektor, in deinem Fall [mm] \vektor{ 2+1 \\ 1 \\ 1+t } [/mm] und dem Richtungsvektor [mm] \vektor{ 1+t \\ 1-t \\ t }
[/mm]
suchen wir zuerst einmal die Geraden, welche parallel zu der Ebene sind:
wenn die Gerade parallel sein soll heisst das, dass die Gerade (bzw der Richtungsvektor der Geraden) senkrecht auf den Normalvektor der Ebene stehen muss. Welche Regel kennst du dazu? Das Skalarprodukt von den beiden Vektoren muss 0 sein! [mm] $$\vektor{ 1+t \\ 1-t \\ t }*\vektor{2 \\ 0 \\ 1}=2(1+t)+t=0$$ [/mm] das ausrechnen überlass ich dir 
was mit echter Parallelität gemeint ist kann ich nur raten... Ich nehme an dass gemeint ist, ob die Gerade auf der Ebene selber liegt oder ob sie "wirklich" parallel sind. Das kannst du natürlich überprüfen indem du einen Punkt deiner erhaltenen Geraden (zB gerade den Ortsvektor, natürlich mit dem berechnetem t eingesetzt) in die Ebenengleichung einsetzt. Wenn der Punkt in der Ebene liegt, ist die Gerade nicht "echt Parallel" sondern liegt in der Ebene...
Nun zu den orthogonalen Geraden. Diese müssen natürlich parallel zu dem Normalvektor der Ebenengleichung sein. Das heisst also, dass der Richtungsvektor ein vielfaches des Normalvektors sein muss. Das vielfache kannst du auch weglassen, da dies mit dem s erreicht wird und du durch das nicht verschiedene Geraden als Lösung bekommst. das heisst also: [mm] $$\vektor{ 1+t \\ 1-t \\ t }=\vektor{2 \\ 0 \\ 1}$$ $$\Rightarrow \vmat{ 1+t & = & 2 \\ 1-t & = & 0 \\ t & = & 1 }$$ [/mm] das solltest du jetzt auflösen...
Klar?
|
|
|
|
