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Beziehung Eigenwerte-Kohärenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:37 Di 14.04.2015
Autor: laupl

Hallo zusammen!
Ich habe eine Fragestellung aus der Praxis, zu der es einer etwas ausführlicheren Erklärung bedarf. Ich werde versuchen die Frage so korrekt wie möglich zu stellen. Allerdings bin ich kein Mathematiker, weswegen ich um Nachsicht bei unsauberen Formulierungen bitte :-) Sollte etwas unklar sein, einfach nachfragen.

Wichtig für meine Frage sind die Begriffe Eigenwertzerlegung und Kohärenz. Ersteres brauche ich hier bestimmt nicht erklären. Die Kohärenz [mm] $\gamma_{k,l}^2$ [/mm] zwischen zwei Punkten $k$ und $l$ soll wie folgt definiert sein
[mm] $\gamma_{k,l}^2=\frac{|B_{k,l}|^2}{B_{k,k}B_{l,l}}$. [/mm]
Dabei sind die $B$ wie folgt aufgebaut
[mm] $B_{k,l}=\boldsymbol{w}_k^{\text{H}}\boldsymbol{Cw}_l$. [/mm]
Bei [mm] $\boldsymbol{w}$ [/mm] handelt es sich um einen $[N [mm] \times [/mm] 1]$ Vektor [mm] $\in \IC$. [/mm] H bedeutet komplex konjugiert und transponiert. [mm] $\boldsymbol{C}$ [/mm] ist eine hermitesche $[N [mm] \times [/mm] N]$ Matrix.
Nun berechne ich die Kohärenz zwischen einem festen Punkt $k$ und einer Vielzahl anderer Punkte $l$. Für $k=l$ erhalte ich den Wert 1. Für alle anderen $l$ liegt die Kohärenz zwischen 0 und 1. So weit, so gut.
Nun verändere ich mein [mm] $B_{k,l}$ [/mm] zu
[mm] $\tilde{B}_{k,l}=[\boldsymbol{w}_k^{\text{H}}\tilde{\boldsymbol{C}}\boldsymbol{w}_l]^n$. [/mm]
Mit
[mm] $\tilde{\boldsymbol{C}}=\boldsymbol{V}\tilde{\boldsymbol{D}}\boldsymbol{V}^{\text{H}}$ [/mm]
und
[mm] $\tilde{\boldsymbol{D}}=\boldsymbol{D}^{1/n}$. [/mm]
Dabei sind [mm] $\boldsymbol{D}$ [/mm] und [mm] $\boldsymbol{V}$ [/mm] die Eigenvektoren bzw. die Eigenwerte von [mm] $\boldsymbol{C}$ [/mm]
[mm] $[\boldsymbol{D},\boldsymbol{V}]=eig(\boldsymbol{C})$ [/mm]
und $n [mm] \in \IR$. [/mm]
Berechne ich nun, wie oben, für beispielsweise $n=300$ die Kohärenz zwischen einem fixen Punkt $k$ und einer Vielzahl anderer Punkte $l$
[mm] $\tilde{\gamma}_{k,l}^2=\frac{|\tilde{B}_{k,l}|^2}{\tilde{B}_{k,k}\tilde{B}_{l,l}}$, [/mm]
erhalte ich wieder für $k=l$ den Wert 1. Allerdings erhalte ich für alle anderen $l$ den Wert 0 (beziehungsweise sehr kleine Werte).
Meine Frage ist nun, warum das so ist bzw. so sein muss? Bzw. unter welchen Voraussetzungen das so ist - denn diese sind ja offenbar gegeben. Warum ist die Kohärenz zwischen verschiedenen Punkten 0, wenn ich derart in die Eigenwerte eingreife?

So, ich hoffe das war halbwegs verständlich. Ich freue mich über jede Art von Rückfragen/Anmerkungen/Erklärungen.

Danke, Grüße

        
Bezug
Beziehung Eigenwerte-Kohärenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:57 Mi 15.04.2015
Autor: hippias

Ich kenne mich mit dem Begriff Kohaerenz nicht aus und bin mir auch nicht sicher, ob das von Dir beschriebene Verhalten generell ist.

> Hallo zusammen!
>  Ich habe eine Fragestellung aus der Praxis, zu der es
> einer etwas ausführlicheren Erklärung bedarf. Ich werde
> versuchen die Frage so korrekt wie möglich zu stellen.
> Allerdings bin ich kein Mathematiker, weswegen ich um
> Nachsicht bei unsauberen Formulierungen bitte :-) Sollte
> etwas unklar sein, einfach nachfragen.
>  
> Wichtig für meine Frage sind die Begriffe
> Eigenwertzerlegung und Kohärenz. Ersteres brauche ich hier
> bestimmt nicht erklären. Die Kohärenz [mm]\gamma_{k,l}^2[/mm]
> zwischen zwei Punkten [mm]k[/mm] und [mm]l[/mm] soll wie folgt definiert
> sein
>  [mm]\gamma_{k,l}^2=\frac{|B_{k,l}|^2}{B_{k,k}B_{l,l}}[/mm].
>  Dabei sind die [mm]B[/mm] wie folgt aufgebaut
>  [mm]B_{k,l}=\boldsymbol{w}_k^{\text{H}}\boldsymbol{Cw}_l[/mm].
>  Bei [mm]\boldsymbol{w}[/mm] handelt es sich um einen [mm][N \times 1][/mm]
> Vektor [mm]\in \IC[/mm]. H bedeutet komplex konjugiert und
> transponiert. [mm]\boldsymbol{C}[/mm] ist eine hermitesche [mm][N \times N][/mm]
> Matrix.
>  Nun berechne ich die Kohärenz zwischen einem festen Punkt
> [mm]k[/mm] und einer Vielzahl anderer Punkte [mm]l[/mm]. Für [mm]k=l[/mm] erhalte ich
> den Wert 1. Für alle anderen [mm]l[/mm] liegt die Kohärenz
> zwischen 0 und 1. So weit, so gut.
>  Nun verändere ich mein [mm]B_{k,l}[/mm] zu
>  
> [mm]\tilde{B}_{k,l}=[\boldsymbol{w}_k^{\text{H}}\tilde{\boldsymbol{C}}\boldsymbol{w}_l]^n[/mm].
>  Mit
>  
> [mm]\tilde{\boldsymbol{C}}=\boldsymbol{V}\tilde{\boldsymbol{D}}\boldsymbol{V}^{\text{H}}[/mm]
>  und
>  [mm]\tilde{\boldsymbol{D}}=\boldsymbol{D}^{1/n}[/mm].

Hier ziehst Du also die $n$-Wurzel aus den Eigenwerten. Wenn $n$ gross ist, erhaelst Du naeherungsweise immer die Einheitsmatrix. Nebenbei: was machst Du eigentlich, wenn ein Eigenwert negativ ist?

>  Dabei sind [mm]\boldsymbol{D}[/mm] und [mm]\boldsymbol{V}[/mm] die
> Eigenvektoren bzw. die Eigenwerte von [mm]\boldsymbol{C}[/mm]
>  [mm][\boldsymbol{D},\boldsymbol{V}]=eig(\boldsymbol{C})[/mm]
>  und [mm]n \in \IR[/mm].
>  Berechne ich nun, wie oben, für
> beispielsweise [mm]n=300[/mm] die Kohärenz zwischen einem fixen
> Punkt [mm]k[/mm] und einer Vielzahl anderer Punkte [mm]l[/mm]
>  
> [mm]\tilde{\gamma}_{k,l}^2=\frac{|\tilde{B}_{k,l}|^2}{\tilde{B}_{k,k}\tilde{B}_{l,l}}[/mm],
>  erhalte ich wieder für [mm]k=l[/mm] den Wert 1. Allerdings erhalte
> ich für alle anderen [mm]l[/mm] den Wert 0 (beziehungsweise sehr
> kleine Werte).

Da naeherungsweise [mm] $\tilde{\boldsymbol{C}}$ [/mm] die Einheitsmatrix ist, ist [mm] $\gamma_{k,l}\approx \cos^{2n}(\angle w_{k},w_{l})$. [/mm] Fuer $k=l$ ist der Kosinus$=1$, woran auch die Potenz nichts andert. Fuer [mm] $k\neq [/mm] l$ wird der Kosinusquadrat $<1$ sein und die hohe Potenz liefert Dir den Wert $0$.  

>  Meine Frage ist nun, warum das so ist bzw. so sein muss?
> Bzw. unter welchen Voraussetzungen das so ist - denn diese
> sind ja offenbar gegeben. Warum ist die Kohärenz zwischen
> verschiedenen Punkten 0, wenn ich derart in die Eigenwerte
> eingreife?
>  
> So, ich hoffe das war halbwegs verständlich. Ich freue
> mich über jede Art von
> Rückfragen/Anmerkungen/Erklärungen.
>  
> Danke, Grüße


Bezug
                
Bezug
Beziehung Eigenwerte-Kohärenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:36 Mi 15.04.2015
Autor: laupl

Hi,
danke für die Antwort!
Der Hinweis mit der Einheitsmatrix war schonmal sehr gut. Das hatte ich mir so noch gar nicht überlegt. Negative Eigenwerte sind mir bei meiner Anwendung noch nicht untergekommen. Für mich also uninteressant, wenngleich mathematisch vielleicht nicht zu vernachlässigen.

Könntest du erklären, wie du auf $ [mm] \gamma_{k,l}\approx \cos^{2n}(\angle w_{k},w_{l}) [/mm] $ kommst, bzw. was hier die [mm] $w_k$ [/mm] und [mm] $w_l$ [/mm] sind? Bei mir sind [mm] $\boldsymbol{w}_k$ [/mm] und [mm] $\boldsymbol{w}_l$ [/mm] ja Vektoren.

Aber, vielleicht lässt sich das Ganze auch noch leichter erklären, wenn wir nur den Zähler von [mm] $\gamma_{k,l}^2$ [/mm] betrachten. Nach weiteren Überlegungen ist mir nämlich klar geworden, dass mir das völlig reicht. Also, "neue" Frage, wieso wird [mm] $|\tilde{B}_{k,l}|^2<<1 [/mm] \ [mm] \forall [/mm] \ [mm] k\neq [/mm] l$? Lässt sich das auch mit einem cos-Term ausdrücken? Falls ja und falls ich dann auch noch verstehe warum, wäre das perfekt :-)


vielen Dank, Grüße


Bezug
                        
Bezug
Beziehung Eigenwerte-Kohärenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:58 Do 16.04.2015
Autor: hippias

In dem Fall, dass $C$ die Einheitsmatrix ist, ist [mm] $w_{k}^{H}Cw_{l}$ [/mm] das Standardskalarprodukt. Da Du, wie ich jetzt merke, einen komplexen Raum betrachtest, ist meine Formel mit dem Kosinus nicht richtig: die Formel, die ich meine, gilt fuer reelle Raeume. Das Argument bleibt aber richtig, denn es gilt die Cauchy-Schwarze'sche Ungleichung: fuer Vektoren $v,w$ gilt [mm] $|v^{H}w|^{2}\leq |v|^{2}|w|^{2}$, [/mm] wobei Gleichheit nur dann gilt, wenn die Vektoren kollinear sind.

In Deiner Notation heisst das, dass [mm] $\gamma_{k,l}\leq [/mm] 1$ ist. Werden davon hohe Potenzen gebildet, erhaelt man naeherungsweise $0$, ausser in dem Fall, dass [mm] $w_{k}$ [/mm] und [mm] $w_{l}$ [/mm] kollinear sind (z.B. im Fall $k=l$).


Bezug
                                
Bezug
Beziehung Eigenwerte-Kohärenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:11 Fr 17.04.2015
Autor: laupl

Hi,
okay, fast kapiert. Ich sehe in meinen Rechnungen zwar, dass [mm] $\boldsymbol{VV}^{\text{H}}$ [/mm] eine Einheitsmatrix ergibt und somit für [mm] $\boldsymbol{C}$ [/mm] tatsächlich auch eine Einheitsmatrix angenommen werden kann. Aber warum ergibt [mm] $\boldsymbol{VV}^{\text{H}}$ [/mm] die Einheitsmatrix? Muss das immer so sein?
Grüße

Bezug
                                        
Bezug
Beziehung Eigenwerte-Kohärenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:50 Sa 18.04.2015
Autor: hippias

Nein, [mm] $VV^{H}=1$ [/mm] gilt i.a. nicht. Aber zu einer hermitischen Matrix $C$ gibt es eine Matrix $V$ so, dass [mm] $V^{H}CV^{H}$ [/mm] Diagonalmatrix ist und [mm] $VV^{H}$ [/mm] die Einheitsmatrix; man nennt das unitaere Diagonalisierbarkeit.

Ich bin etwas verwirrt: Du musst doch wissen, was fuer Objekte in Deinen Gleichungen auftauchen.

Bezug
                                                
Bezug
Beziehung Eigenwerte-Kohärenz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:57 Di 21.04.2015
Autor: laupl

Hi,
alles klar dann passt das soweit. Deine Verwirrung verstehe ich zwar nicht, aber ist jetzt auch egal :-)
Vielen Dank für die Hilfe!

Bezug
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