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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:23 Fr 12.11.2004 | | Autor: | Shaguar |
Moin,
würd mich freuen wenn jemand mal über die Aufgabe drüberschaut, kriege nie alle Punkte weil ich es immer formal falsch hinschreibe, aber eigentlich richtig habe.
Also die Aufgabe lautet:
Sei [m] F: X \to Y[/m] ein Abbildung, und sei für jede Teilmenge [m] B \subset Y[/m] mit [mm] F^{-1}(B) [/mm] das Urbild [m]\{ x \in X | F(x) \in B \} [/m] bezeichnet. Zeigen sie folgende Beziehungen für Teilmengen [m] B_1 , B_2 \subset Y[/m]:
a) [m] F^{-1}(B_1 \cap B_2) = F^{-1}(B_1) \cap F^{-1}(B_2)[/m]
b) [m] F^{-1}(B_1 \cup B_2) = F^{-1}(B_1) \cup F^{-1}(B_2)[/m]
c) [m] F^{-1}(B_1 \setminus B_2) = F^{-1}(B_1) \setminus F^{-1}(B_2)[/m]
Meine Lösungsideen:
a) Sei [m] z \in F^{-1}(B_1 \cap B_2)[/m] dann ist
[m] z \in X | F(x) \ B_1 \cap B_2[/m]
[m] \gdw z \in X | F(x) \in B_1 [/m] und [m] z \in X | F(x) \in B_2 [/m]
[m] \gdw z \in X | F(x) \in B_1 \cap F(x) \in B_2[/m]
[m]\gdw z \in F^{-1}(B_1) \cap F^{-1}(B_2) q.e.d.[/m]
b)+C) würde ich nach dem selben Schema lösen.
Unsicher bin ich mir, ob ich das
[m] z \in X | F(x) \ B_1 \cap B_2[/m]
so auch schreiben darf. Oder gehören da vielleicht noch geschweifte Klammern drum?
Vielleicht ist ja auch der ganze Ansatz falsch?!?!
Vielen Dank
Shaguar
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:25 Fr 12.11.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo Shaguar,
> Moin,
> würd mich freuen wenn jemand mal über die Aufgabe
> drüberschaut, kriege nie alle Punkte weil ich es immer
> formal falsch hinschreibe, aber eigentlich richtig habe.
Schaun ma mal!
> Also die Aufgabe lautet:
>
> Sei [m]F: X \to Y[/m] ein Abbildung, und sei für jede Teilmenge [m]B \subset Y[/m]
> mit [mm]F^{-1}(B)[/mm] das Urbild [m]\{ x \in X | F(x) \in B \}[/m]
> bezeichnet. Zeigen sie folgende Beziehungen für Teilmengen
> [m]B_1 , B_2 \subset Y[/m]:
>
> a) [m]F^{-1}(B_1 \cap B_2) = F^{-1}(B_1) \cap F^{-1}(B_2)[/m]
> b)
> [m]F^{-1}(B_1 \cup B_2) = F^{-1}(B_1) \cup F^{-1}(B_2)[/m]
> c)
> [m]F^{-1}(B_1 \setminus B_2) = F^{-1}(B_1) \setminus F^{-1}(B_2)[/m]
>
>
>
> Meine Lösungsideen:
>
> a) Sei [m]z \in F^{-1}(B_1 \cap B_2)[/m] dann ist
> [m]z \in X | F(x) \ B_1 \cap B_2[/m]
> [m]\gdw z \in X | F(x) \in B_1[/m]
> und [m]z \in X | F(x) \in B_2[/m]
Bis hierhin ist das alles (fast) okay, warum nur fast: siehe unten!
> [m]\gdw z \in X | F(x) \in B_1 \cap F(x) \in B_2[/m]
Diesen Schritt kann ich nicht nachvollziehen. Was soll den der Schnitt [m]B_1 \cap F(x)[/m] bedeuten??? Das macht ja keinen Sinn...
Und auch ein Schnitt [mm] $\left(F(x) \in B_1\right)\cap \left(F(x) \in B_2\right)$ [/mm] macht keinen Sinn...
> [m]\gdw z \in F^{-1}(B_1) \cap F^{-1}(B_2) q.e.d.[/m]
Naja, fast ist das okay, die Gedankengänge sind richig, denke ich. Du bekommst damit bestimmt immer nur halbe Punktzahl, oder? 
Also, führen wir deinen Beweis mal zu Ende und schreiben ihn sauber auf:
(Der Balken $|$ ist als "und es gilt" zu lesen. Ich schreibe normalerweise immer einen Doppelpunkt dafür, aber ist ja eigentlich auch egal. Bleiben wir mal bei deiner Schreibweise. )
Es gilt:
$z [mm] \in F^{-1}(B_1 \cap B_2)$
[/mm]
[mm] $\gdw$
[/mm]
[m]z \in X |\; F(\red{z}) \in B_1 \cap B_2[/m]
[m]\gdw[/m]
[m]z \in X |\; F(\red{z}) \in B_1[/m] und [m]z \in X | F(\red{z}) \in B_2[/m]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
(Nach dem und würde ich es mir hier sparen, nochmal zu erwähnen, dass $z \in X$ gilt, denn das steht schon vor dem ersten Balken. Falsch ist es aber nicht! Ich würde es aber so schreiben:
$z \in X |\;$ ($F(z}) \in B_1$ und $F(z) \in B_2$).)
Jetzt geht es weiter:
$\gdw$
$z \in F^{-1}(B_1)$ und $z \in F^{-1}(B_2)$
$\gdw$
$z \in \left(F^{-1}(B_1)\cap F^{-1}(B_2)\right)$
Hier ist der Beweis fertig, weil wir problemlos überall Äquivalenzzeichen setzen konnten.
> b)+C) würde ich nach dem selben Schema lösen.
Ich habe es jetzt nicht geprüft, aber wenn du wieder problemlos überall Äquivalenzzeichen setzen kannst, dann sollte das genauso gehen. Ich bin jetzt nur zu faul, das genauer zu durchdenken.
(Vermutlich macht es aber keine Probleme.)
Viele Grüße,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:05 So 14.11.2004 | | Autor: | Shaguar |
Moin Marcel,
dann habe ich eigentlich gar nicht so falsch gelegen mein einziger Fehler war ja dann nur F(x) statt
F(z) zu schreiben.
Danke für die schnell Antwort.
Gruß Shaguar
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