Beziehung der p-Norm < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:32 Sa 04.05.2013 | | Autor: | Joker08 |
| Aufgabe | Wir betrachten im Folgenden die P-Norm:
[mm] ||x||_p:=(\summe_{i=1}^{n}|x_i|^p)^{\bruch{1}{p}}
[/mm]
Dazu seien [mm] p,q\in \IR [/mm] mit [mm] 1\le [/mm] p < q < [mm] \infty [/mm] gegeben.
Ich soll jetzt eine Konstante C>0 finden (mit Beweis), so dass [mm] ||x||_p \le C||x||_q [/mm] für alle x [mm] \in \IR [/mm] gilt. |
Also bislang bin ich noch nicht wirklich weit. Ich dachte mir, dass ich mir vll. irgendwie die Hölderungleichung zu nutzen machen kann.
Dann würde gelten
[mm] ||x||_p:=(\summe_{i=1}^{n}|x_i|^p)^{\bruch{1}{p}} [/mm] = [mm] (\summe_{i=1}^{n}|x_i|^p \cdot 1)^{\bruch{1}{p}} [/mm]
Aber im moment bringt mich das nun auch nicht wirklich weiter.
Hat vll. jemand einen Tip für mich ?
mfg. Der Joker :)
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Hiho,
> Also bislang bin ich noch nicht wirklich weit. Ich dachte mir, dass ich mir vll. irgendwie die Hölderungleichung zu nutzen machen kann.
Gute Idee, schau mal ![[]](/images/popup.gif) hier.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:43 So 05.05.2013 | | Autor: | Joker08 |
> Hiho,
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> > Also bislang bin ich noch nicht wirklich weit. Ich dachte
> mir, dass ich mir vll. irgendwie die Hölderungleichung zu
> nutzen machen kann.
>
> Gute Idee, schau mal
> hier.
>
> MFG,
> Gono.
Okay, vielen dank erstmal.
[mm] ||x||_p= (\summe_{i=1}^{n} |x_i|^p)^\bruch{1}{p} [/mm] = [mm] (\summe_{i=1}^{n} |x_i|^p \cdot 1)^\bruch{1}{p}\le ((\summe_{i=1}^{n} |x_i|^p)^\bruch{r}{p})^\bruch{p}{r} \cdot (\summe_{i=1}^{n} 1^\bruch{1}{1-\bruch{p}{r}})^{1-\bruch{p}{r}})^\bruch{1}{p}
[/mm]
Den letzten schritt verstehe ich nicht so ganz. Wo kommt jetzt das [mm] \bruch{r}{p} [/mm] und [mm] \bruch{p}{r} [/mm] her ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:48 So 05.05.2013 | | Autor: | fred97 |
> > Hiho,
> >
> > > Also bislang bin ich noch nicht wirklich weit. Ich dachte
> > mir, dass ich mir vll. irgendwie die Hölderungleichung zu
> > nutzen machen kann.
> >
> > Gute Idee, schau mal
> > hier.
> >
> > MFG,
> > Gono.
>
> Okay, vielen dank erstmal.
>
> [mm]||x||_p= (\summe_{i=1}^{n} |x_i|^p)^\bruch{1}{p}[/mm] =
> [mm](\summe_{i=1}^{n} |x_i|^p \cdot 1)^\bruch{1}{p}\le ((\summe_{i=1}^{n} |x_i|^p)^\bruch{r}{p})^\bruch{p}{r} \cdot (\summe_{i=1}^{n} 1^\bruch{1}{1-\bruch{p}{r}})^{1-\bruch{p}{r}})^\bruch{1}{p}[/mm]
>
> Den letzten schritt verstehe ich nicht so ganz. Wo kommt
> jetzt das [mm]\bruch{r}{p}[/mm] und [mm]\bruch{p}{r}[/mm] her ?
Das r ist das, was bei Dir q ist.
Richtig abgeschrieben hast Du nicht !
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:51 So 05.05.2013 | | Autor: | Joker08 |
> > > Hiho,
> > >
> > > > Also bislang bin ich noch nicht wirklich weit. Ich dachte
> > > mir, dass ich mir vll. irgendwie die Hölderungleichung zu
> > > nutzen machen kann.
> > >
> > > Gute Idee, schau mal
> > > hier.
> > >
> > > MFG,
> > > Gono.
> >
> > Okay, vielen dank erstmal.
> >
> > [mm]||x||_p= (\summe_{i=1}^{n} |x_i|^p)^\bruch{1}{p}[/mm] =
> > [mm](\summe_{i=1}^{n} |x_i|^p \cdot 1)^\bruch{1}{p}\le ((\summe_{i=1}^{n} |x_i|^p)^\bruch{r}{p})^\bruch{p}{r} \cdot (\summe_{i=1}^{n} 1^\bruch{1}{1-\bruch{p}{r}})^{1-\bruch{p}{r}})^\bruch{1}{p}[/mm]
>
> >
> > Den letzten schritt verstehe ich nicht so ganz. Wo kommt
> > jetzt das [mm]\bruch{r}{p}[/mm] und [mm]\bruch{p}{r}[/mm] her ?
>
>
> Das r ist das, was bei Dir q ist.
>
> Richtig abgeschrieben hast Du nicht !
>
>
> FRED
> >
>
Das ist mir bewusst. Ich wollte damit auf den link von Gonozal_IX verweisen. Ich kanns auch gerne mit q schreiben,
$ [mm] ||x||_p= (\summe_{i=1}^{n} |x_i|^p)^\bruch{1}{p} [/mm] $ = $ [mm] (\summe_{i=1}^{n} |x_i|^p \cdot 1)^\bruch{1}{p}\le ((\summe_{i=1}^{n} |x_i|^p)^\bruch{q}{p})^\bruch{p}{q} \cdot (\summe_{i=1}^{n} 1^\bruch{1}{1-\bruch{p}{q}})^{1-\bruch{p}{q}})^\bruch{1}{p} [/mm] $
Wo kommt jetzt das $ [mm] \bruch{q}{p} [/mm] $ und $ [mm] \bruch{p}{q} [/mm] $ her ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:54 So 05.05.2013 | | Autor: | fred97 |
> > > > Hiho,
> > > >
> > > > > Also bislang bin ich noch nicht wirklich weit. Ich dachte
> > > > mir, dass ich mir vll. irgendwie die Hölderungleichung zu
> > > > nutzen machen kann.
> > > >
> > > > Gute Idee, schau mal
> > > > hier.
> > > >
> > > > MFG,
> > > > Gono.
> > >
> > > Okay, vielen dank erstmal.
> > >
> > > [mm]||x||_p= (\summe_{i=1}^{n} |x_i|^p)^\bruch{1}{p}[/mm] =
> > > [mm](\summe_{i=1}^{n} |x_i|^p \cdot 1)^\bruch{1}{p}\le ((\summe_{i=1}^{n} |x_i|^p)^\bruch{r}{p})^\bruch{p}{r} \cdot (\summe_{i=1}^{n} 1^\bruch{1}{1-\bruch{p}{r}})^{1-\bruch{p}{r}})^\bruch{1}{p}[/mm]
>
> >
> > >
> > > Den letzten schritt verstehe ich nicht so ganz. Wo kommt
> > > jetzt das [mm]\bruch{r}{p}[/mm] und [mm]\bruch{p}{r}[/mm] her ?
> >
> >
> > Das r ist das, was bei Dir q ist.
> >
> > Richtig abgeschrieben hast Du nicht !
> >
> >
> > FRED
> > >
> >
>
> Das ist mir bewusst. Ich wollte damit auf den link von
> Gonozal_IX verweisen. Ich kanns auch gerne mit q
> schreiben,
>
> [mm]||x||_p= (\summe_{i=1}^{n} |x_i|^p)^\bruch{1}{p}[/mm] =
> [mm](\summe_{i=1}^{n} |x_i|^p \cdot 1)^\bruch{1}{p}\le ((\summe_{i=1}^{n} |x_i|^p)^\bruch{q}{p})^\bruch{p}{q} \cdot (\summe_{i=1}^{n} 1^\bruch{1}{1-\bruch{p}{q}})^{1-\bruch{p}{q}})^\bruch{1}{p}[/mm]
>
> Wo kommt jetzt das [mm]\bruch{q}{p}[/mm] und [mm]\bruch{p}{q}[/mm] her ?
Steht doch im Link: Hölder- Ungleichung.
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:54 So 05.05.2013 | | Autor: | Joker08 |
Das hab ich auch gelesen, ich weiss nur nicht wie sie sich daraus ergeben.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:57 So 05.05.2013 | | Autor: | Joker08 |
Nach unserem skript, gilt für die Hölder ungleichung:
xy [mm] \le ||x||_p ||y||_q
[/mm]
Wenn ich jetzt mal
[mm] ||x||_p^p [/mm] betrachte, dann ergibt sich
[mm] ||x||_p^p [/mm] := [mm] \summe_{i=1}^{n} (|x_i|^p \cdot [/mm] 1)
[mm] \le (\summe_{i=1}^{n} (|x_i|^{p}^{p})^\bruch{1}{p} \cdot (\summe_{i=1}^{n} 1^q)^\bruch{1}{q}
[/mm]
hatte ich zumindest angenommen
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:15 Di 07.05.2013 | | Autor: | ullim |
Hi,
die Höldersche Ungleichung lautet
[mm] \summe_{i=1}^{n}\left|x_i*y_i\right|\le \left[\summe_{i=1}^{n}\left|x_i\right|^p\right]^\bruch{1}{p}*\left[\summe_{i=1}^{n}\left|y_i\right|^q\right]^\bruch{1}{q} [/mm] mit [mm] \bruch{1}{p}+\bruch{1}{q}=1
[/mm]
Für [mm] \parallel{x}\parallel_p [/mm] gilt
[mm] \parallel{x}\parallel_p=\left[\summe_{i=1}^{n}\left|x_i\right|^p*1\right]^\bruch{1}{p}
[/mm]
wähle [mm] p'=\bruch{r}{p} [/mm] und q' so das gilt [mm] \bruch{1}{p'}+\bruch{1}{q'}=1, [/mm] also [mm] q'=\bruch{1}{1-\bruch{p}{r}}.
[/mm]
Dann gilt
[mm] \parallel{x}\parallel_p\le \left[ \left( \summe_{i=1}^{n} \left|x_i\right|^{p*p'}\right)^{\bruch{1}{p'}} \left(\summe_{i=1}^{n} 1^{q'}\right)^{\bruch{1}{q'}} \right]^{\bruch{1}{p}}
[/mm]
Es gilt p*p'=r und [mm] \bruch{1}{p'}*\bruch{1}{p}=\bruch{1}{r} [/mm] sowie [mm] \bruch{1}{q'}*\bruch{1}{p}=\bruch{1}{p}-\bruch{1}{r}
[/mm]
Und damit hast Du alles.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:02 Do 09.05.2013 | | Autor: | Joker08 |
Vielen lieben dank, dass war genau das was ich wissen wollte :)
mfg. Joker
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