Bi/quadratische Gleichungen < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Huhu,
in ein paar Tagen schreibe ich einen Test über biquadratische/quadratische Gleichungen bezüglich des "Wenn Produkt Null ist"-Satz, der quadratischen Ergänzung und der P-Q-Formel.
Da mein Lehrer immer auf eine Aufgabe setzt, die von der Thematik her nur auf das, was wir gelernt haben aufbaut und nicht im Unterricht behandelt wurde, möchte ich mich auf etwas in dieser Art vorbereiten, aber ich finde da nichts, denn jegliche grafische Aufgaben werden garantiert nicht Teil der Arbeit sein.
Was bleibt übrig?- Eigentlich nur die Scheitelpunktsform und der Satz von Vieta...
Ich würde mich über Vorschläge- auch ohne Musterlösung- zu Ideen, welche ich mir ansehen sollte, freuen.
Danke. :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:45 Mi 18.02.2015 | | Autor: | Ladon |
Hallo Anmeldeversuch,
wie wäre es denn mit einer kubischen Gleichung?
m.W. kann man in der Schule nur erwarten, dass man diese löst, indem man durch "sinnvollen Raten" eine Nullstelle errät und anschließend Polynomdivision betreibt (schriftliche Division, indem man die Gleichung der Form [mm] ax^3+bx^2+cx+d [/mm] durch [mm] (x-\mbox{ Nullstelle }) [/mm] teilt).
Weiterhin wäre ein Kontext denkbar, in dem eine Nebenbedingung genutzt wird (z.B. [mm] x^2=2), [/mm] um eine Gleichung zu lösen.
Was evtl. auch ganz nett wäre, wäre das lösen eines linearen Gleichungssystems, bei dem man a und b herausfinden soll:
Bsp.: Bestimme a und b, indem du beide Gleichungen nutzt:
4a+2b-1=7
9a+3b-13=2
LG
Ladon
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Hallo,
es könnte sein, daß man Gleichungen wie
[mm] x^6-7x^3-8=0 [/mm]
lösen soll.
LG Angela
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:18 Mi 18.02.2015 | | Autor: | fred97 |
Eine biquadratische Gleichung ist eine Gleichung 4. Grades, die keine ungeraden Exponenten enthält:
(1) [mm] ax^4+bx^2+c=0 [/mm] (mit a [mm] \ne [/mm] 0).
Die Substitution [mm] t=x^2 [/mm] führt auf die quadratische Gleichung
(2) [mm] at^2+bt+c=0.
[/mm]
Ist [mm] t_0 [/mm] eine Lösung von (2), so gibt es 2 Möglichkeiten:
1. [mm] t_0 \ge [/mm] 0. Das liefert Dir die Lösungen [mm] $\pm \wurzel{t_0}$ [/mm] von (1).
2. [mm] t_0 [/mm] <0. Dieser Fall liefert keinen Beitrag zu (1), warum ?
FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:36 Mi 18.02.2015 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Ein durchaus denkbarer Fall, der mit einer Substitition lösbar ist, wäre auch einge Gleichung mit x und [mm] \sqrt{x}
[/mm]
Beispiel:
[mm] x-13\sqrt{x}+36=0
[/mm]
Das ergibt, nach der Substitution [mm] z=\sqrt{x}
[/mm]
[mm] z^{2}-13z+36=0
[/mm]
Das ergibt dann die beiden Lösungen
[mm] z_{1}=4 [/mm] und [mm] z_{2}=9
[/mm]
Nach den Rücksubstitutionen [mm] \sqrt{x}=9 [/mm] und [mm] \sqrt{x}=4 [/mm] ergeben sich die Lösungen [mm] x_{1}=81 [/mm] und [mm] x_{2}=16
[/mm]
Marius
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[mm] x-13\sqrt{x}+36=0
[/mm]
[mm] \gdw z^{2}-13z+36=0 \wedge z=\sqrt{x}
[/mm]
Sind die beiden Zeilen wirklich äguivalent zueinander?
Die Lösungsmenge wird doch verändert, denn
[mm] \wurzel{4} [/mm] = 2 [mm] \vee \wurzel{4} [/mm] = -2
...und -2 ist von der Definitionsmenge nicht ausgeschlossen.
Dann müsste ja folgendes Beispiel äquivalent zueinander sein, was es nicht ist?
[mm] \wurzel{2x-3} [/mm] = 3x - 5
2x-3 = [mm] (3x-5)^{2}
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:35 Mi 18.02.2015 | | Autor: | chrisno |
> [mm]x-13\sqrt{x}+36=0[/mm]
> [mm]\gdw z^{2}-13z+36=0 \wedge z=\sqrt{x}[/mm]
>
> Sind die beiden Zeilen wirklich äguivalent zueinander?
> Die Lösungsmenge wird doch verändert, denn
> [mm]\wurzel{4}[/mm] = 2 [mm]\vee \wurzel{4}[/mm] = -2
> ...und -2 ist von der Definitionsmenge nicht
> ausgeschlossen.
Die Äquivalenz hat M.Rex nicht behauptet. Das Zeichen hast Du eingesetzt. Du hast aber weiterhin ergänzt, das $z [mm] \ge [/mm] 0$ sein muss, das ergibt sich aus [mm] $\wedge z=\sqrt{x}$.
[/mm]
Damit gilt also für x und z, dass sie beide [mm] $\ge [/mm] 0$ sein müssen und es damit eine umkehrbare Abbildung zwischen ihnen gibt.
Das nächste verstehe ich gar nicht. z = 4 löst $ [mm] z^{2}-13z+36=0$. [/mm] Mit [mm] $z=\sqrt{x}$ [/mm] folgt daraus $x = 16$. Wo kommen die 2 und -2 her? Außerdem ist die Wurzel eine Abbildung nach [mm] $\IR_{\ge 0}$. [/mm]
Die Äquivalenz gilt also, da die Lösungsmenge nicht verändert wird.
$ [mm] \wurzel{2x-3} [/mm] $ = 3x - 5
2x-3 = $ [mm] (3x-5)^{2} [/mm] $
Hier muss bei der Umformung $x [mm] \ge \br{5}{3}$ [/mm] festgehalten werden.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:32 Mi 18.02.2015 | | Autor: | leduart |
Hallo
sieh mal hier rein zum üben
http://www.arndt-bruenner.de/mathe/java/gleichungenloesen.htm#tips
und hier
http://www.arndt-bruenner.de/mathe/9/quadratischegleichungen.htm#quadrerg
von da aus weiter klicken
Zusatz: finde alle Parabeln mit den Nullstellen a) x=3 und x=7 und b) die mit x=-1 und x=3
Was haben sie gemeinsam? Wo liegt jeweils der Scheitel
c) jetzt soll in a) und b) der Scheitel bei 1. y=4 sein 2. y=-4 sein
Finde die Nullstellen von a)( [mm] y=(x^2-4)*(x^2-16) [/mm] und von b) [mm] y=(x^3-8)*(x-7)^2
[/mm]
Gruß ledum
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