Biegelinie L-Winkel < Technik < Ingenieurwiss. < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:15 Di 17.11.2009 | | Autor: | magir |
| Aufgabe | [Dateianhang nicht öffentlich]
Zu Bestimmen ist die Biegelinie und die Verschiebung im Punkt C.
[Die Angabe 1/2 muss natürlich 1/2 l heißen.] |
Dies ist das erste mal, dass ich die Biegelinie für einen Rahmen berechne. Vorher haben wir uns nur mit Balken befasst. Aus diesem Grund bin ich mir mit meiner Lösung auch nicht so sicher und bitte um Korrektur.
Hier meine Lösung:
1. Freimachen
[mm] F_{Ay} [/mm] und [mm] F_{B} [/mm] von unten nach oben, [mm] F_{Ax} [/mm] von links nach rechts angreifend.
Gestrichelte Faser: zwischen A und B unten, zwischen A und C rechts.
2. Lagerreaktionen:
-> [mm] F_{Ax} [/mm] = F = 1kN
Moment um A = 0:
[mm] -\bruch{1}{2}Fl [/mm] + [mm] \bruch{1}{2}ql^{2} [/mm] - [mm] F_{B}l [/mm] = 0
=> [mm] F_{B} [/mm] = [mm] -\bruch{1}{2}Fl [/mm] + [mm] \bruch{1}{2}ql^{2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * [mm] 1\bruch{kN}{m} [/mm] * 2m - [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * 1kN = 0,5kN
Kräfte in y-Richtung:
[mm] F_{Ay} [/mm] + [mm] F_{B} [/mm] - ql = 0
=> [mm] F_{Ay} [/mm] = ql - [mm] F_{B} [/mm] = 1,5kN
3.Schnittgrößenverlauf:
Bereich I (horizontaler Balken mit [mm] x_{1} [/mm] bei A beginnend)
[mm] F_{qI} [/mm] = [mm] F_{Ay} [/mm] - [mm] qx_{1}
[/mm]
[mm] M_{bI} [/mm] = [mm] \integral_{}^{}{F_{q} dx_{1}} [/mm] = [mm] F_{Ay} [/mm] * [mm] x_{1} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}qx_{1}^{2} [/mm] + [mm] C_{1}^{I}
[/mm]
mit [mm] M_{b}(x_{1}=l)=0
[/mm]
0 = [mm] F_{Ay} [/mm] * l - [mm] \bruch{1}{2}ql^{2} [/mm] + [mm] C_{1}^{I}
[/mm]
=> [mm] C_{1}^{I} [/mm] = [mm] -F_{Ay} [/mm] * l + [mm] \bruch{1}{2}ql^{2} [/mm] = -1,5kN*2m + [mm] \bruch{1}{2}*1\bruch{kN}{m}*(2m)^{2} [/mm] = -3kNm + 2kNm = -1kNm
Bereich II (senkrechter Balken mit [mm] x_{2} [/mm] bei A beginnend)
[mm] F_{qII} [/mm] = [mm] -F_{Ax} [/mm] = -F
[mm] M_{bII} [/mm] = [mm] -F_{Ax}*x_{2} [/mm] + [mm] C_{1}^{II}
[/mm]
mit [mm] M_{bII}(x_{2}=\bruch{1}{2}*l) [/mm] = 0
=> [mm] -\bruch{1}{2}Fl [/mm] + [mm] C_{1}^{II} [/mm] = 0
=> [mm] C_{1}^{II} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}Fl [/mm] = 1kNm
4. Biegelinie und Biegewinkel
Bereich I:
[mm] EIv_{I}'' [/mm] = [mm] -M_{bII} [/mm] = [mm] -F_{Ay} [/mm] * [mm] x_{1} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2}qx_{1}^{2} [/mm] + [mm] C_{1}^{I}
[/mm]
[mm] EIv_{I}' [/mm] = [mm] -\bruch{1}{2}F_{Ay} [/mm] * [mm] x_{1}^{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{6}qx_{1}^{3} [/mm] + [mm] C_{2}^{I}
[/mm]
[mm] EIv_{I} [/mm] = [mm] -\bruch{1}{6}F_{Ay} [/mm] * [mm] x_{1}^{3} [/mm] + [mm] \bruch{1}{24}qx_{1}^{4} [/mm] + [mm] C_{2}^{I}x_{1} [/mm] + [mm] C_{3}^{I}
[/mm]
mit [mm] v_{I}(x_{1}=0) [/mm] = 0 (Lager A) -> [mm] C_{3}^{I} [/mm] = 0
mit [mm] v_{I}(x_{1}=l) [/mm] = 0 (Lager B)-> [mm] -\bruch{1}{6}F_{Ay} [/mm] * [mm] l^{3} [/mm] + [mm] \bruch{1}{24}ql^{4} [/mm] + [mm] C_{2}^{I}l
[/mm]
=> [mm] C_{2}^{I} [/mm] = [mm] +\bruch{1}{6}F_{Ay} [/mm] * [mm] l^{2} [/mm] - [mm] \bruch{1}{24}ql^{3} [/mm] = [mm] +\bruch{1}{6}1,5kN [/mm] * [mm] (2m)^{2} [/mm] - [mm] \bruch{1}{24}1\bruch{kN}{m}(2m)^{3} [/mm] = [mm] 1kNm^{2} [/mm] - [mm] \bruch{1}{3}kNm^{2} [/mm] = [mm] \bruch{2}{3}kNm^{2}
[/mm]
BereichII:
[mm] EIv_{II}'' [/mm] = [mm] -M_{b} [/mm] = [mm] F_{Ax}*x_{2} [/mm] - [mm] C_{1}^{II}
[/mm]
[mm] EIv_{II}' [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}F_{Ax}*x_{2}^{2} [/mm] - [mm] C_{1}^{II}x_{2} [/mm] + [mm] C_{2}^{II}
[/mm]
[mm] EIv_{II} [/mm] = [mm] \bruch{1}{6}F_{Ax}*x_{2}^{3} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}C_{1}^{II}x_{2}^{2} [/mm] + [mm] C_{2}^{II}x_{2} [/mm] + [mm] C_{3}^{II}
[/mm]
mit [mm] v_{II}(x_{2} [/mm] = 0) = 0 (Lager A) -> [mm] C_{3}^{II} [/mm] = 0
mit [mm] v_{II}'(x_{2} [/mm] = 0) = [mm] v'_{I}(x_{1} [/mm] = 0) (rechter Winkel zwischen dem waargerechten und senkrechten Balken bleibt auch unter Last erhalten.)
-> [mm] C_{2}^{II} [/mm] = [mm] C_{2}^{I} [/mm] = [mm] \bruch{2}{3}kNm^{2}
[/mm]
Biegelinien
Bereich I:
[mm] EIv_{I}' [/mm] = [mm] -\bruch{1}{2}F_{Ay} [/mm] * [mm] x_{1}^{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{6}qx_{1}^{3} [/mm] + [mm] \bruch{2}{3}kNm^{2}
[/mm]
[mm] EIv_{I} [/mm] = [mm] -\bruch{1}{6}F_{Ay} [/mm] * [mm] x_{1}^{3} [/mm] + [mm] \bruch{1}{24}qx_{1}^{4} [/mm] + [mm] \bruch{2}{3}kNm^{2}x_{1}
[/mm]
Bereich II :
[mm] EIv_{II}' [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}F_{Ax}*x_{2}^{2} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}Flx_{2} [/mm] + [mm] \bruch{2}{3}kNm^{2}
[/mm]
[mm] EIv_{II} [/mm] = [mm] \bruch{1}{6}F_{Ax}*x_{2}^{3} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}\bruch{1}{2}Flx_{2}^{2} [/mm] + [mm] \bruch{2}{3}kNm^{2}x_{2}
[/mm]
Verschiebung bei C
[mm] v_{II}(x_{2}=\bruch{1}{2}l) [/mm] = [mm] \bruch{1}{EI}(\bruch{1}{6}1,5kN*(\bruch{1}{2}l)^{3} [/mm] - [mm] \bruch{1}{4}1kN*l(\bruch{1}{2}l)^{2} [/mm] + [mm] \bruch{2}{3}kNm^{2}\bruch{1}{2}l) [/mm] = [mm] \bruch{1}{EI}(-\bruch{1kN}{24}8m^{3} [/mm] + [mm] \bruch{2}{3}kNm^{3}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{EI}(\bruch{1}{3}kNm^{3}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2*10^{12}Nmm^{2}}(3,33*10^{11}Nmm^{3}) [/mm] = 0,17mm
Das Ganze ist dann leider doch etwas länger geworden.
Ich würde mich sehr freuen wenn sich jemand die Zeit nimmt mal drüber zu gucken und überprüft ob es von der Systematik her passt.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:39 Mi 18.11.2009 | | Autor: | Rene |
Moin, Moin
Die Lagerreaktion FB ist wertemäßig richtig, aber die Formel passt nicht. (Division durch l vergessen)
Ich hab die Schnittgrößen nachgerechnet, und komme auf die selben Ergebnisse.
zur Biegelinie:
Die Randbedingungen passen soweit. Bei der Biegelinie 1, hast du bei der 1. Integration die Integrationskonstante [mm]C^{I}_1[/mm] vergessen.
Ansonsten sollte das alles soweit passen.
Persönlich würde ich die Koordinatensysteme anders legen, um da ne Systematik reinzubekommen. Soll heißen ich würde vom Angriffspunkt der Kraft F beginnen Also Abschnitt F-A und A-B. Das Koordinatensystem für A-B würde ich dann durch Drehung aus dem Koordinatensystem F-A bestimmen. (lässt sich meiner Meinung nach später besser nachvollziehen und zeichnen. Aber viele Wege führen nach Rom)
Die Lagerreaktion FAy würde ich auch aus der Momentenbilanz um B bestimmen. Die resultierende Gleichung ist dann nur von gegebenen Größen abhängig. Folgefehler lassen sich somit vermeiden.
MFG
|
|
|
|
