Biegemoment < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:57 Do 12.04.2007 | | Autor: | pyro |
Hallo!
Während Mathe ist ein kleines physikalisches Beispiel aufgetaucht, ich komme aber mit der Physik nicht ganz klar.
Es geht um einen Balken mit der Länge l, der auf 2 Stützen aufliegt, also am Anfanf bei x=0M und am Anede bei x=l.
Der Balken ist durch die konstante Streckenlast q gleichmäßig belastet.
Das Biegemoment Mb ergibt sich zu [mm]\bruch{q}{2}*(l*x-x^2)[/mm].
Und hier ist auch schon meine Frage. Statik wurde bei uns so nicht behandelt. Mich interessiert aber, wie ich zu dieser Formel komme.
Ankommen die Last sei 10N/M, und der Balken 10 Meter lang. An Position x=1m ergibt das ja dann als Biegemoment 5*(10-1)=45 Nm.
Aber wie kann ich das herleiten? Meine Überlegung bisher war, einfach jeden Meter eine Last von 10 Newton zu platzieren, um zu einer Näherung zu kommen. Dann weiß ich aber nicht, wie ich da weiter vorgehe mit den Drehmomenten, da so ein Balken ja auf beiden Seiten aufliegt? Also der Grundansatz fehlt mir eigentlich. Oder ist das schon falsch? Würde mich freuen, wenn ihr mir kurz schildern könntet, wie die Formel zustande kommt!
Danke!
gruß
pyro
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:15 Do 12.04.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo pyro!
Wie schön ... eine Aufgabe aus dem 1. Semester "Statik I"  .
Wir führen hier einen Rundschnitt und stellen dann eine der Gleichgewichtsbedingungen mit [mm] $\summe [/mm] M \ = \ 0$ auf.
Der entsprechende Drehpunkt ist dabei an der geschnittenen Stelle bei [mm] $M_b(x)$ [/mm] :
[Dateianhang nicht öffentlich]
Die Auflagerkraft beträgt bei einem Einfeldträger mit Gleichlast $A \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*q*L$ [/mm] .
Damit ergibt sich nun mit (unbekannten) $x_$ folgende Gleichgewichtsbedingung:
[mm] $\summe [/mm] M \ = \ 0 \ = \ [mm] -\green{M_b(x)}+\red{A}*x-\blue{q*x}*\bruch{x}{2} [/mm] \ = \ [mm] -M_b(x) [/mm] + [mm] \bruch{q*L}{2}*x-\bruch{q*x^2}{2}$
[/mm]
Wenn Du nun nach [mm] $M_b(x) [/mm] \ = \ ...$ umstellst, erhältst Du Dein gewünschtes Ergebnis.
Gruß
Loddar
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:50 Do 12.04.2007 | | Autor: | pyro |
Hallo!
Hm ist mir schon fast klar. Umstellen ist kein Ding. Nur die Formel.
[mm]A=\bruch{1}{2}*q*l[/mm] ist mir denke ich klar. Die kleinen Lasten werden in eine Punktlast umgeformt, die in der Mitte angreift. Heißt das also für l=10 Meter und q=10 N/m ist das äquivalent zu einer Masse von 100N in der Mitte? Also 50Nm Moment am am Auflagepunkt? Oder verstehe ich das falsch? Eine Seite dann als Lager denken.
Nun aber weiter.
[mm]-\green{M_b(x)}[/mm] Das ist die Kraft die den Balken zum Brechen bringt? Also eine Kraft die so gesehen von oben angreift?
[mm]+\red{A}\cdot{}x[/mm] Das ist das Moment, dass die Auflagefläche entgegenbringt? Oder der Balken? Wo ist die Kraft bzw. das Moment, welches die Auflagefläche entgegenbringt?
[mm]-\blue{q\cdot{}x}\cdot{}\bruch{x}{2}[/mm] Was ist das genau? Komme von der Logik her noch nicht ganz klar mit dem Einführen von x. Wäre toll wenn du nochmal ein oder zwei Sätze schreiben könntest :)
Vielen vielen Dank schonmal!!
pyro
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:53 Fr 13.04.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo pyro!
> [mm]A=\bruch{1}{2}*q*l[/mm] ist mir denke ich klar. Die kleinen
> Lasten werden in eine Punktlast umgeformt, die in der Mitte
> angreift. Heißt das also für l=10 Meter und q=10 N/m ist
> das äquivalent zu einer Masse von 100N in der Mitte?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Richtig!
> Also 50Nm Moment am am Auflagepunkt?
Nein, es handelt sich um eine Auflagerkraft, das heißt diejenige Kraft, welche am Auflager vom Träger übertragen wird.
Und da es sich bei unserem System um eine symmetrisches System mit symmetrischer Belastung handelt, "erhält" jedes der beiden Auflager die Hälfte der Resultierenden $R_$ (= Gesamtbelastung, die auf den Träger wirkt).
[mm] $R_{gesamt} [/mm] \ = \ q*L$ [mm] $\Rightarrow$ [/mm] $A \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*R_{gesamt} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*q*L$
[/mm]
> [mm]-\green{M_b(x)}[/mm] Das ist die Kraft die den Balken zum
> Brechen bringt? Also eine Kraft die so gesehen von oben
> angreift?
Nein, das ist das Biegemoment, das an der Stelle $x_$ auf den Träger wirkt. Dieses Biegemoment wird hervorgerufen durch die verschiedenen Kräfte (äußere Belastung, Auflagerkraft, Querkraft) mit den verschiedenen Hebelarmen.
> [mm]+\red{A}\cdot{}x[/mm] Das ist das Moment, dass die
> Auflagefläche entgegenbringt?
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Das ist das Drehmoment bezogen auf den Drehpunkt (bei Stelle $x_$, sie Skizze oben bei dem dicken Punkt), welches sich zusmmensetzt aus der Auflagerkraft $A_$ mit dem entsprechenden Hebelarm $x_$ : [mm] $M_A [/mm] \ = \ A*x \ = \ [mm] \bruch{q*L}{2}*x$ [/mm] .
> [mm]-\blue{q\cdot{}x}\cdot{}\bruch{x}{2}[/mm] Was ist das genau?
> Komme von der Logik her noch nicht ganz klar mit dem
> Einführen von x. Wäre toll wenn du nochmal ein oder zwei
> Sätze schreiben könntest :)
$x_$ ist der beliebige Abstand (mit $0 \ [mm] \le [/mm] \ x \ [mm] \le [/mm] \ L$) vom linken Auflager $(A)_$ . Und genau wie die Auflagerkraft $A_$ ein Drehmoment hervorruft, geschieht das mit der äußeren Belastung (= Streckenlast) $q_$ . Die entsprechende Resultierende infolge $q_$ auf dem Abschnitt zwischen $(A)_$ und $x_$ beträgt: [mm] $R_q [/mm] \ = \ q*x$ .
Und der entsprechende Hebelarm beträgt genau dem halben $x_$ : $e \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*x$ [/mm] .
Also lautet das Drehmoment infolge $q_$ : [mm] $M_q [/mm] \ = \ [mm] q*x*\bruch{1}{2}*x [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}*q*x^2$
[/mm]
Nun müssen wir noch berücksichtigen, dass die einzelnen Momente unterschiedliche Drehrichtungen haben. Daher haben [mm] $M_q$ [/mm] und [mm] $M_b(x)$ [/mm] dasselbe Vorzeichen und [mm] $M_A$ [/mm] das entgegengesetzte.
Gruß
Loddar
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 13:38 Fr 13.04.2007 | | Autor: | pyro |
Hallo!
Danke jetzt wird es mir schon viel klarer! Finde ich toll dass du dich da bemühst, mich interessiert das auch wirklich! Zwei Kleinigkeiten noch.
> [mm]x_[/mm] ist der beliebige Abstand (mit [mm]0 \ \le \ x \ \le \ L[/mm]) vom
> linken Auflager [mm](A)_[/mm] .
Hm. Also A ist die Auflagerkraft, und diese soll positiv sein. Wenn ich das richtig sehe ist also rechts unser Startpunkt, an dem die Drehmomente verschwinden. Die Kraft am Auflager erzeugt das Drehmoment positiv, d.h. gegen den Uhrzeigersinn. Richtig soweit?
Wieso ist dann mit x die Entfernung vom linken Auflagerpunkt gemeint? Ich würde sagen rechts. Allerdings ist es ja nachher sowieso symmetrisch? Oder sehe ich es noch falsch?
> Und genau wie die Auflagerkraft [mm]A_[/mm]
> ein Drehmoment hervorruft, geschieht das mit der äußeren
> Belastung (= Streckenlast) [mm]q_[/mm] . Die entsprechende
> Resultierende infolge [mm]q_[/mm] auf dem Abschnitt zwischen [mm](A)_[/mm]
> und [mm]x_[/mm] beträgt: [mm]R_q \ = \ q*x[/mm] .
>
> Und der entsprechende Hebelarm beträgt genau dem halben [mm]x_[/mm]
> : [mm]e \ = \ \bruch{1}{2}*x[/mm] .
>
> Also lautet das Drehmoment infolge [mm]q_[/mm] : [mm]M_q \ = \ q*x*\bruch{1}{2}*x \ = \ \bruch{1}{2}*q*x^2[/mm]
Das bedeutet also dass in entgegengesetzte Richtung zwei Kräfte wirken: Ersteinmal die Gegenkraft zum Moment verursacht durch das Gewicht des Balkens bis zur Stelle x (von rechts wenn da der Startpunkt ist??), und dann eben noch das Biegemoment, was ich ja so errechnen kann da die anderen 2 Momente ja bekannt sind?
> Nun müssen wir noch berücksichtigen, dass die einzelnen
> Momente unterschiedliche Drehrichtungen haben. Daher haben
> [mm]M_q[/mm] und [mm]M_b(x)[/mm] dasselbe Vorzeichen und [mm]M_A[/mm] das
> entgegengesetzte.
>
Ja hier ist wohl etwas meine Unsicherheit, wegen dem Startpunkt auch. Ist A*x das Moment, das auf das Auflager drückt, oder die Gegenkraft des Auflagers? Also in der Skizze ist der Pfeil ja links und nach oben, aber das wäre doch ein negatives Vorzeichen für das Moment? Ich hätte auf erstes getippt (auch wegen der Skizze, Punkt=0-Koordinate)?
Wenn das geklärt ist bin ich wünschlos glücklich!
Danke schonmal im Voraus!
gruß
pyro
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Mo 16.04.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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