Biholomorphe Abbildung angeben < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich will zur Übung eine biholomorphe Abbildung von M={z [mm] \in \IC:|z|<1 }\backslash [/mm] { [mm] x\in \IR:0\le [/mm] x<1 } auf den Einheitskreis angeben und mir gelingt das an dem Beispiel nicht so. Wäre super, wenn mir jemand helfen könnte.
Das Prinzip wie ich vorgehe ist mir klar. Habe überlegt, erst M unter f(z)=-z abzubilden, um dann M={z [mm] \in \IC: [/mm] |z|<1 } [mm] \backslash [/mm] { [mm] x\in \IR [/mm] :-1< x [mm] \le [/mm] 0 } zu bekommen, nur ich will dahin kommen, die obere Halbebene zu kriegen, um dann im letzten Schritt mit der Cayleyabbildung abzubilden. Wenn ich nun mit [mm] g(z)=\wurzel{z} [/mm] arbeite, habe ich dann schonmal die obere Hälfte des Einheitskreises, oder ? Wie kann ich weitermachen?
Lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:47 Mo 23.07.2012 | | Autor: | felixf |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Moin!
> ich will zur Übung eine biholomorphe Abbildung von M={z
> [mm]\in \IC:|z|<1 }\backslash[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{ [mm]x\in \IR:0\le[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
x<1 } auf den
> Einheitskreis angeben und mir gelingt das an dem Beispiel
> nicht so. Wäre super, wenn mir jemand helfen könnte.
> Das Prinzip wie ich vorgehe ist mir klar. Habe überlegt,
> erst M unter f(z)=-z abzubilden, um dann M={z [mm]\in \IC:[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> |z|<1 } [mm]\backslash[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{ [mm]x\in \IR[/mm] :-1< x [mm]\le[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
0 } zu bekommen,
> nur ich will dahin kommen, die obere Halbebene zu kriegen,
> um dann im letzten Schritt mit der Cayleyabbildung
> abzubilden. Wenn ich nun mit [mm]g(z)=\wurzel{z}[/mm] arbeite, habe
> ich dann schonmal die obere Hälfte des Einheitskreises,
> oder ? Wie kann ich weitermachen?
Anstelle $g(z) = [mm] \sqrt{z}$ [/mm] wende doch mal den Hauptzweig des Logarithmus an.
LG Felix
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Es geht auch mit der Wurzel. Der Hauptzweig bildet den längs der Strecke von -1 nach 0 aufgeschlitzten Einheitskreis auf die rechte Hälfte des Einheitskreises ab. Wende dann die Abbildung
[mm]z \mapsto z - \frac{1}{z}[/mm]
an. Worauf bildet sie den rechten Halbkreis ab?
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