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Forum "Uni-Komplexe Analysis" - Biholomorphe Funktionen
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Biholomorphe Funktionen: Abbildungen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:45 Sa 17.12.2005
Autor: kunzm

Aufgabe
Biholomorphe Funktionen

Es sei [mm] $f:\Omega \rightarrow \mathbb{C}$ [/mm] eine holomorphe Funktion auf dem Gebiet [mm] $\Omega$. [/mm] Wir identifizieren die komplexen Zahlen [mm] $\mathbb{C}$ [/mm] mit dem reellen Vektorraum [mm] $\mathbb{R}^2$ [/mm] und betrachten die Ableitung $f'$ als reell lineare Abbidung [mm] $Tf:\,\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}^2$. [/mm]

a) Welche Werte kann die Determinante [mm] $\det [/mm] Tf$ annehmen? Wann gilt [mm] $\det Tf\not=0$? [/mm]

b) Beweisen Sie, dass im Falle $f'(z) [mm] \not= [/mm] 0$ die Funktion $f$ in einer Umgebung von $z$ lokal (nicht notwendigerweeise holomorph) umkehrbar ist.

Hallo mal wieder,

Ich habe so angefangen, aber wie soll ich da eine Determinante bilden?


Sei [mm]z\in\mathbb{C}[/mm] und [mm]z\,=\,a+ib[/mm] [mm]a,b\in\mathbb{R}[/mm] und sei
[mm]f(z)\,=\,u(z)+iv(z)\,=\,u(a,b)+iv(a,b)[/mm] mit [mm]u,v:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}[/mm][mm] .\\[6pt] [/mm]
Dann lässt sich die Abbildung [mm]Tf:\,\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}^2[/mm] mit den C-R-DGLn schreiben als:

[mm] Tf(z)\,=\,\frac{1}{2} \left( \begin{array}[pos]{cc} \frac{\partial}{\partial a} & \frac{\partial}{\partial b}\\ \frac{\partial}{\partial b} & -\frac{\partial}{\partial a} \end{array} \right) \left( \begin{array}[pos]{cc} u(a,b)\\ v(a,b) \end{array} \right)\,=\,\frac{1}{2} \left( \begin{array}[pos]{cc} \frac{\pa u(a,b)}{\pa a}+\frac{\pa v(a,b)}{\pa b}\\ \frac{\pa v(a,b)}{\pa a}-\frac{\pa u(a,b)}{\pa b} \end{array} \right)\,=\,f'(z) [/mm]


Bitte um einen Hinweis zum Ansatz, so kanns ja wohl nicht gehen.
Danke, Martin.

        
Bezug
Biholomorphe Funktionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:03 Sa 17.12.2005
Autor: felixf


> [mm] \textbf{H1} Biholomorphe Funktionen\\[12pt] \textit{Es sei $f:\Omega \rightarrow \mathbb{C}$ eine holomorphe Funktion auf dem Gebiet $\Omega$. Wir identifizieren die komplexen Zahlen $\mathbb{C}$ mit dem reellen Vektorraum $\mathbb{R}^2$ und betrachten die Ableitung $f'$ als reell lineare Abbidung $Tf:\,\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}^2$.}\\[10pt] a) Welche Werte kann die Determinante $\det Tf$ annehmen? Wann gilt $\det Tf\not=0$?\\[6pt] [/mm]
>  
> Hallo mal wieder,
>
> Ich habe so angefangen, aber wie soll ich da eine
> Determinante bilden?
>  
>
> Sei [mm]z\in\mathbb{C}[/mm] und [mm]z\,=\,a+ib[/mm] [mm]a,b\in\mathbb{R}[/mm] und sei
>   [mm]f(z)\,=\,u(z)+iv(z)\,=\,u(a,b)+iv(a,b)[/mm] mit
> [mm]u,v:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}[/mm][mm] .\\[6pt][/mm]
>   Dann lässt
> sich die Abbildung [mm]Tf:\,\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}^2[/mm]
> mit den C-R-DGLn schreiben als:
>  
> [mm] Tf(z)\,=\,\frac{1}{2} \left( \begin{array}[pos]{cc} \frac{\partial}{\partial a} & \frac{\partial}{\partial b}\\ \frac{\partial}{\partial b} & -\frac{\partial}{\partial a} \end{array} \right) \left( \begin{array}[pos]{cc} u(a,b)\\ v(a,b) \end{array} \right)\,=\,\frac{1}{2} \left( \begin{array}[pos]{cc} \frac{\pa u(a,b)}{\pa a}+\frac{\pa v(a,b)}{\pa b}\\ \frac{\pa v(a,b)}{\pa a}-\frac{\pa u(a,b)}{\pa b} \end{array} \right)\,=\,f'(z) [/mm]
>  
>
> Bitte um einen Hinweis zum Ansatz, so kanns ja wohl nicht
> gehen.

Die Aufgabenstellung ist meiner Meinung nach fehlerhaft; schliesslich ist die Ableitung keine lineare Abbildung (allerhoechstens die Ableitung als Operator auf den holomorphen Funktionen, aber das ist hier sicher nicht gemeint). Was vielleicht eher gemeint ist, das man in jedem [mm] $z_0 [/mm] = [mm] a_0 [/mm] + i [mm] b_0 \in \Omega$ [/mm] die Funktion als $f(a + i b) = u(a, b) + i v(a, b)$ darstellt und die Matrix $T [mm] f'(z_0) [/mm] = [mm] \left(\begin{matrix} \frac{\partial u}{\partial a}(a_0, b_0) & \frac{\partial u}{\partial b}(a_0, b_0) \\ \frac{\partial v}{\partial a}(a_0, b_0) & \frac{\partial v}{\partial b}(a_0, b_0) \end{matrix}\right)$ [/mm] betrachtet und von _dieser_ dann die Determinante nimmt.

Wenn du die Aufgabe so interpretierst, kommst du wahrscheinlich mit Hilfe der Cauchy-Riemannschen Diffgleichungen weiter...

HTH & LG, Felix


Bezug
                
Bezug
Biholomorphe Funktionen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:08 Sa 17.12.2005
Autor: kunzm

Ja, sieht sinvoller aus. Danke, M.

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Biholomorphe Funktionen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:27 So 18.12.2005
Autor: kunzm

Aufgabe
b) beweisen Sie, dass im Falle [mm]f'(z) \not= 0[/mm] die Funktion [mm]f[/mm] in einer Umgebung von [mm]z[/mm] lokal (nicht notwendigerweeise holomorph) umkehrbar ist.

Hallo,

ich habe jetzt aus a) im wesentlichen gewonnen, dass die Determinante von [mm]Tf[/mm] die Werte [mm]u^{2}_{a}+u^{2}_{b}[/mm] (oder das entsprechende Pendant in [mm]v_{a}[/mm] und [mm]v_{b}[/mm] annehmen kann.

Und, dass gilt [mm]\det Tf \not=0[/mm] genau dann, wenn [mm]f'(z) \not=0[/mm].

Meine Fragen sind jetzt:

Ist das alles was ich zu a) schreiben kann, oder kann man das genauer formulieren?

Kann ich die Information, dass eine Matrix invertierbar ist wenn Ihre Determinante ungleich 0 ist auf die oben angegebene Aufgabe b) irgendwie anwenden?

Wie immer vielen Dank, Martin

Bezug
                        
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Biholomorphe Funktionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:11 Do 22.12.2005
Autor: felixf

Sorry das ich erst jetzt antworte, in der letzten Zeit hat die Suche nach eigenen Artikeln oft nicht funktioniert (Serverueberlastung) und ich hab nicht immer alle Foren abgegrast...

> b) beweisen Sie, dass im Falle [mm]f'(z) \not= 0[/mm] die Funktion [mm]f[/mm]
> in einer Umgebung von [mm]z[/mm] lokal (nicht notwendigerweeise
> holomorph) umkehrbar ist.
>  Hallo,
>  
> ich habe jetzt aus a) im wesentlichen gewonnen, dass die
> Determinante von [mm]Tf[/mm] die Werte [mm]u^{2}_{a}+u^{2}_{b}[/mm] (oder das
> entsprechende Pendant in [mm]v_{a}[/mm] und [mm]v_{b}[/mm] annehmen kann.
>
> Und, dass gilt [mm]\det Tf \not=0[/mm] genau dann, wenn [mm]f'(z) \not=0[/mm].
>  
> Meine Fragen sind jetzt:
>  
> Ist das alles was ich zu a) schreiben kann, oder kann man
> das genauer formulieren?

Ich denke das reicht. Oder vielleicht noch das [mm]u^{2}_{a}+u^{2}_{b}[/mm] immer [mm] $\ge [/mm] 0$ ist :-)

(Dies bedeutet uebrigens, dass holomorphe Funktionen orientierungstreu sind, d.h. wenn du sie als Abbildung [mm] $\IR^2 \to \IR^2$ [/mm] auffasst drehen sie nur und spiegeln nicht. Wobei das 'drehen' auch nur lokal in einer unendlich kleinen Umgebung so gesehen werden kann :-) )

> Kann ich die Information, dass eine Matrix invertierbar ist
> wenn Ihre Determinante ungleich 0 ist auf die oben
> angegebene Aufgabe b) irgendwie anwenden?

Ja, kannst du. Kennst du aus der reellen, mehrdimensionalen Analysis den Satz zur lokalen Umkehrbarkeit? Wenn ja, schau dir mal dessen Voraussetzungen an.

Hoffentlich war das jetzt nicht zu spaet,
Felix


Bezug
                                
Bezug
Biholomorphe Funktionen: Danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:47 Mi 04.01.2006
Autor: kunzm

Ich habe die Aufgabe zwar am Dienstag abgegeben und erst heute nochmal geschaut, aber es ist ein gutes gefühl zu wissen, dass es soweit passt. Ich habe den Satz vom lokalen Inversen angewandt, daher müsste es schon stimmen.

Danke auf jeden Fall, Martin

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