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Forum "Algebra" - Bijektion [0,1] auf [0,1)
Bijektion [0,1] auf [0,1) < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Bijektion [0,1] auf [0,1): Bijektion finden
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:46 Sa 02.07.2011
Autor: karlkarl

Aufgabe
Geben Sie eine Bijektion f:[0,1]->[0,1) an.

Guten Abend,

ich suche eine Bijektion von [0,1]→[0,1). Leider funktioniert die Identität hier nicht. Auf was soll ich die 1 abbilden?

Ich beschäftige mich schon sehr lange mit dieser Aufgabe.

Hoffentlich kann mir jemand helfen, auch wenn es nur eine Idee ist.

Karl


Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.onlinemathe.de/forum/Bijektion-01-auf-01

        
Bezug
Bijektion [0,1] auf [0,1): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:51 Sa 02.07.2011
Autor: felixf

Moin Karl!

> Geben Sie eine Bijektion f:[0,1]->[0,1) an.
>  Guten Abend,
>  
> ich suche eine Bijektion von [0,1]→[0,1). Leider
> funktioniert die Identität hier nicht. Auf was soll ich
> die 1 abbilden?
>  
> Ich beschäftige mich schon sehr lange mit dieser Aufgabe.
>  
> Hoffentlich kann mir jemand helfen, auch wenn es nur eine
> Idee ist.

Kennst du eine Bijektion von [mm] $\IN [/mm] = [mm] \{ 0, 1, 2, 3, \dots \}$ [/mm] nach [mm] $\{ 1, 2, 3, \dots \}$? [/mm]

Und kannst du eine Bijektion von [mm] $\{ 0, 1, 2, 3, \dots, \} \cup \{ X, Y, Z \}$ [/mm] nach [mm] $\{ 1, 2, 3, 4, \dots \ } \cup \{ X, Y, Z \}$ [/mm] angeben?

Das gleiche Prinzip kannst du bei $[0, 1] [mm] \to [/mm] [0, 1)$ auch verwenden. Du musst nur [mm] $\{ 0, 1, 2, 3, 4, \dots \}$ [/mm] bzw. [mm] $\{ 1, 2, 3, 4, 5, \dots \}$ [/mm] durch eine passende Teilmenge von $[0, 1]$ bzw. $[0, 1)$ ersetzen.

(Falls du uebrigens []Hilberts Hotel noch nicht kennst, sei dir dies als Stichwort gegeben ;-) )

LG Felix


Bezug
                
Bezug
Bijektion [0,1] auf [0,1): Hotel Real
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:30 So 03.07.2011
Autor: Al-Chwarizmi

Hallo Felix,

schön, dass man die weitaus überwiegende Zahl der
Gäste in diesem []Hotel Real durch die Umordnungs-
aktion überhaupt nicht behelligen muss.
Ich nehme jedoch einmal an, dass Zimmer mit
einfachen rationalen Nummern wie z.B. [mm] \frac{1}{2^n} [/mm] (mit [mm] n\in\IN) [/mm]
günstiger als andere angeboten werden, weil in
ihnen die Wahrscheinlichkeit, durch derart lästige
Aktionen behelligt zu werden, allenfalls positiv ist.
Oder wird der Besitz einer einfachen Zimmernummer,
die man sich sogar merken kann, vielleicht schon
als so großer Vorteil betrachtet, dass man dabei
die Umzugsaktionen gerne in Kauf nimmt ?

LG   Al  


  


Bezug
                        
Bezug
Bijektion [0,1] auf [0,1): Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 01:59 So 03.07.2011
Autor: felixf

Moin Al,

> schön, dass man die weitaus überwiegende Zahl der
>  Gäste in diesem
> []Hotel Real
> durch die Umordnungs-
>  aktion überhaupt nicht behelligen muss.
>  Ich nehme jedoch einmal an, dass Zimmer mit
>  einfachen rationalen Nummern wie z.B. [mm]\frac{1}{2^n}[/mm] (mit
> [mm]n\in\IN)[/mm]

ich persoenlich finde die Zimmern mit den Nummern [mm] $\pi^{-n}$ [/mm] schoener. Eine voellig irrationale Entscheidung, ich weiss, aber nicht ganz unnatuerlich.

Als [mm] $\TeX$-Fan [/mm] koennte man aber auch [mm] $\frac{1}{\pi_n}$ [/mm] nehmen, wobei [mm] $\pi_n [/mm] = [mm] 10^{-n} \lfloor 10^n \pi \rfloor$ [/mm] ist.

LG Felix


Bezug
                        
Bezug
Bijektion [0,1] auf [0,1): Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:27 So 03.07.2011
Autor: karlkarl

Meinst du die Teilmenge [mm] $\left\{ \frac1{2^n}~|~ n\in\mathbb N \right\} \subset [/mm] [0,~1]$ ?

Bezug
                                
Bezug
Bijektion [0,1] auf [0,1): Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:30 So 03.07.2011
Autor: felixf

Moin,

> Meinst du die Teilmenge [mm]\left\{ \frac1{2^n}~|~ n\in\mathbb N \right\} \subset [0,~1][/mm]
> ?

ja, die meint er.

LG Felix


Bezug
                                        
Bezug
Bijektion [0,1] auf [0,1): Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:02 So 03.07.2011
Autor: karlkarl

Hmm,
Ich soll also [mm] \{0,1,2,3,4,...\} [/mm] durch eine Teilmenge von [0,1] und [mm] \{1,2,3,4,...\} [/mm] durch eine Teilmenge von [0,1) ersetzen?

Dann nehme ich die zuvor genannte Teilmenge (sie ist aber Teilmenge von [0,1] und [0,1).)

Wie soll man dann weitermachen?

Bezug
                                                
Bezug
Bijektion [0,1] auf [0,1): Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:13 So 03.07.2011
Autor: Al-Chwarizmi


> Hmm,
>  Ich soll also [mm]\{0,1,2,3,4,...\}[/mm] durch eine Teilmenge von
> [0,1] und [mm]\{1,2,3,4,...\}[/mm] durch eine Teilmenge von [0,1)
> ersetzen?
>  
> Dann nehme ich die zuvor genannte Teilmenge (sie ist aber
> Teilmenge von [0,1] und [0,1).)
>  
> Wie soll man dann weitermachen?

Bilde 1 auf [mm] \frac{1}{2} [/mm] ab, [mm] \frac{1}{2} [/mm] auf [mm] $\frac{1}{4}$ [/mm] , [mm] $\frac{1}{4}$ [/mm] auf [mm] $\frac{1}{8}$ [/mm] , etc. und alle übrigen
Zahlen des Intervalls auf sich selbst.

LG   Al-Chw.


Bezug
                                                        
Bezug
Bijektion [0,1] auf [0,1): Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:27 So 03.07.2011
Autor: karlkarl

Aha,
dann definiere ich
$A:= [mm] \left\{ \frac1{2^n}~|~ n\in\mathbb N \right\} [/mm] $ , wobei [mm] $0\notin\mathbb [/mm] N$, also [mm] $A=\left\{\frac12,\ \frac14,\ \frac18,\ \cdots \right\}$. [/mm]

Nun werden alle Elemente aus $A$ auf das nächste Element in der unendlichen Menge $A$, also die Hälfte, abgebildet.

Zusammenfassend:
[mm] $f(x)=\begin{cases} \frac{x}{2}, & \mbox{wenn } x\in A \\ x, & \mbox{wenn } x\notin A\end{cases}$. [/mm]

Ich hoffe, das ist soweit richtig.

Danke für die Hilfe :)

Karl


Bezug
                                                                
Bezug
Bijektion [0,1] auf [0,1): Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:32 So 03.07.2011
Autor: felixf

Moin Karl!

> Aha,
>  dann definiere ich
>  [mm]A:= \left\{ \frac1{2^n}~|~ n\in\mathbb N \right\}[/mm] , wobei
> [mm]0\notin\mathbb N[/mm], also [mm]A=\left\{\frac12,\ \frac14,\ \frac18,\ \cdots \right\}[/mm].
>  
> Nun werden alle Elemente aus [mm]A[/mm] auf das nächste Element in
> der unendlichen Menge [mm]A[/mm], also die Hälfte, abgebildet.
>  
> Zusammenfassend:
>  [mm]f(x)=\begin{cases} \frac{x}{2}, & \mbox{wenn } x\in A \\ x, & \mbox{wenn } x\notin A\end{cases}[/mm].
>  
> Ich hoffe, das ist soweit richtig.

Jetzt hast du eine Bijektion $[0, 1] [mm] \to [/mm] [0, 1] [mm] \setminus \{ \frac{1}{2} \}$. [/mm] Ganz passt es also noch nicht :-)

(Du musst nur deine Menge $A$ ein klitzekleines bisschen aendern.)

LG Felix


Bezug
                                                                        
Bezug
Bijektion [0,1] auf [0,1): Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:04 So 03.07.2011
Autor: karlkarl

Aha, ich bildete also auf [mm] $[0,1]\setminus\left\{ \frac12 \right\}$ [/mm] ab, ich wollte auf [mm] $[0,1]\setminus \{1\}$. [/mm]

Dann muss ich also die Menge $A$ um [mm] $\left{1\right}$ [/mm] erweitern:
Also: $ A:= [mm] \left\{ \frac1{2^n}~|~ n\in\mathbb N_0 \right\} [/mm] $ , wobei [mm] $0\in\mathbb N_0$. [/mm]

Dann ist $ [mm] A=\left\{1,\ \frac12,\ \frac14,\ \frac18,\ \cdots \right\} [/mm] $.

Und die Abbildung ist folgende:
  $ [mm] f(x)=\begin{cases} \frac{x}{2}, & \mbox{wenn } x\in A \\ x, & \mbox{wenn } x\notin A\end{cases} [/mm] $.

Also:
[mm] $f(1)=\frac12$ [/mm]
[mm] $f\left(\frac12\right)=\frac14$ [/mm]
[mm] $f\left(\frac14\right)=\frac18$ [/mm]
...

Ist es nun richtig?

VIELEN DANK :)

Bezug
                                                                                
Bezug
Bijektion [0,1] auf [0,1): Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:20 So 03.07.2011
Autor: felixf

Moin,

> Aha, ich bildete also auf [mm][0,1]\setminus\left\{ \frac12 \right\}[/mm]
> ab, ich wollte auf [mm][0,1]\setminus \{1\}[/mm].
>  
> Dann muss ich also die Menge [mm]A[/mm] um [mm]\left{1\right}[/mm]
> erweitern:
>  Also: [mm]A:= \left\{ \frac1{2^n}~|~ n\in\mathbb N_0 \right\}[/mm]
> , wobei [mm]0\in\mathbb N_0[/mm].
>  
> Dann ist [mm]A=\left\{1,\ \frac12,\ \frac14,\ \frac18,\ \cdots \right\} [/mm].
>
> Und die Abbildung ist folgende:
>    [mm]f(x)=\begin{cases} \frac{x}{2}, & \mbox{wenn } x\in A \\ x, & \mbox{wenn } x\notin A\end{cases} [/mm].
>
> Also:
>  [mm]f(1)=\frac12[/mm]
>  [mm]f\left(\frac12\right)=\frac14[/mm]
>  [mm]f\left(\frac14\right)=\frac18[/mm]
>  ...
>  
> Ist es nun richtig?

ja, jetzt passt es :)

LG Felix


Bezug
                                                                                        
Bezug
Bijektion [0,1] auf [0,1): Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:24 So 03.07.2011
Autor: karlkarl

OK,

Vielen Dank für deine Hilfe :)

Karl

Bezug
                
Bezug
Bijektion [0,1] auf [0,1): Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:00 So 03.07.2011
Autor: karlkarl

Hallo,

> Kennst du eine Bijektion von [mm]\IN = \{ 0, 1, 2, 3, \dots \}[/mm]
> nach [mm]\{ 1, 2, 3, \dots \}[/mm]?

Ja, die wäre [mm]f(x)=x+1[/mm].

> Und kannst du eine Bijektion von [mm]\{ 0, 1, 2, 3, \dots, \} \cup \{ X, Y, Z \}[/mm]
> nach [mm]\{ 1, 2, 3, 4, \dots \} \cup \{ X, Y, Z \}[/mm] angeben?

Ich gehe davon aus, dass [mm]X,Y,Z\not\in\mathbb N[/mm].
Dann könnte man eine Fallunterscheidung angeben, dass [mm]X,Y,Z[/mm] fest bleiben (identische Abbildung) und die natürlichen Zahlen wie oben abgebildet werden:
[mm]g(x)=\begin{cases} x+1, & \mbox{für } x \in\mathbb N \\ x, & \mbox{sonst } \end{cases}[/mm]

> Das gleiche Prinzip kannst du bei [mm][0, 1] \to [0, 1)[/mm] auch
> verwenden. Du musst nur [mm]\{ 0, 1, 2, 3, 4, \dots \}[/mm] bzw. [mm]\{ 1, 2, 3, 4, 5, \dots \}[/mm]
> durch eine passende Teilmenge von [mm][0, 1][/mm] bzw. [mm][0, 1)[/mm]
> ersetzen.

Hmmm, hier wüsste ich nicht, welche Teilmenge ich von [mm][0, 1][/mm] bzw. [mm][0, 1)[/mm] betrachten sollte.
Vielleicht alle rationalen Zahlen, irrationalen Zahlen in diesem Intervall (?)
  

> (Falls du uebrigens
> []Hilberts Hotel
> noch nicht kennst, sei dir dies als Stichwort gegeben ;-)
> )

Hilberts Hotel kenne ich :)

Vielen Dank für deine Hilfe !

Karl

Bezug
                        
Bezug
Bijektion [0,1] auf [0,1): Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:34 So 03.07.2011
Autor: Al-Chwarizmi


> > Das gleiche Prinzip kannst du bei [mm][0, 1] \to [0, 1)[/mm] auch
> > verwenden. Du musst nur [mm]\{ 0, 1, 2, 3, 4, \dots \}[/mm] bzw. [mm]\{ 1, 2, 3, 4, 5, \dots \}[/mm]
> > durch eine passende Teilmenge von [mm][0, 1][/mm] bzw. [mm][0, 1)[/mm]
> > ersetzen.

>  Hmmm, hier wüsste ich nicht, welche Teilmenge ich von [mm][0, 1][/mm]
> bzw. [mm][0, 1)[/mm] betrachten sollte.
>  Vielleicht alle rationalen Zahlen, irrationalen Zahlen in
> diesem Intervall (?)


Hallo Karl,

schau dir nochmal meine Mitteilung Hotel Real an.
Dort habe ich quasi schon ein mögliches Rezept verraten ...

LG    Al-Chw.


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