Bijektion, Surjektion und Inj. < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | a) Beweisen Sie, dass die Funktion f: [mm] \IR \to \IR [/mm] mit f(x)=3x + 2 für x [mm] \in \IR [/mm] eine Bijektion von [mm] \IR [/mm] auf [mm] \IR [/mm] ist.
b) Beweisen Sie, dass die Funktion f: [mm] \IN \to \IN [/mm] mit f(x)=3x + 2 für x [mm] \in \IN [/mm] eine Injektion von [mm] \IN [/mm] in [mm] \IN [/mm] ist, aber keine Bijektion von [mm] \IN [/mm] auf [mm] \IN. [/mm] |
Hallo liebe Comunity,
zu a) logisch betrachtet sieht man schnell das die Fkt eine Bijektion sein muss. Zu Beweisen, dass die Funktion injektiv ist geht ja auch relativ leicht, indem man f(x1)=f(x2) setzt. Nach vereinfachen steht dann noch x1=x2. Da man nach Definition x1 [mm] \not= [/mm] x2 setzt, muss auch y1 [mm] \not= [/mm] y2. Aber wie beseise ich denn das die Funktion surjektiv ist?
zu b) Eine Fkt ist nicht bijektiv wenn sie entweder nicht surjektiv oder nicht injektiv oder beides nicht ist. Ich möchte beweisen, dass es nicht surjektiv ist, indem ich ein Gegenbeispiel finde. z.B nehme ich x = 1 daraus folgt y=5. Es ist völlig logisch das 5 das kleinste y ist und somit W(f) [mm] \in \IN [/mm] aber immer größer/gleich 5 und somit wird durch die Fkt nicht alle Elemente der Menge [mm] \IN [/mm] dargestellt. Aber wie kann ich denn beweisen, dass 5 der kleinste Funktionswert ist? Die Begriffe monoton steigend haben wir noch nicht definiert. Das die Funktion injektiv ist, geht äquivalent zu a).
Ich danke euch schon mal im Voraus!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
lg kuemmelsche
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> a) Beweisen Sie, dass die Funktion f: [mm]\IR \to \IR[/mm] mit
> f(x)=3x + 2 für x [mm]\in \IR[/mm] eine Bijektion von [mm]\IR[/mm] auf [mm]\IR[/mm]
> ist.
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> b) Beweisen Sie, dass die Funktion f: [mm]\IN \to \IN[/mm] mit
> f(x)=3x + 2 für x [mm]\in \IN[/mm] eine Injektion von [mm]\IN[/mm] in [mm]\IN[/mm]
> ist, aber keine Bijektion von [mm]\IN[/mm] auf [mm]\IN.[/mm]
> Hallo liebe Comunity,
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> zu a) logisch betrachtet sieht man schnell das die Fkt eine
> Bijektion sein muss. Zu Beweisen, dass die Funktion
> injektiv ist geht ja auch relativ leicht, indem man
> f(x1)=f(x2) setzt. Nach vereinfachen steht dann noch x1=x2.
> Da man nach Definition x1 [mm]\not=[/mm] x2 setzt, muss auch y1
> [mm]\not=[/mm] y2. Aber wie beseise ich denn das die Funktion
> surjektiv ist?
Da du deinen Beweis für die Injektivität nicht aufgeschrieben hast, kann ich dir nicht sagen, ob du das richtig gemacht hast. Deine Schritte, die du beschrieben hast hören sich aber sehr richtig an!
Zur Surjektivität:
Zeige, dass es zu jedem beliebigen [mm] y\in \IR [/mm] ein x [mm] \in \IR [/mm] gibt, sodass f(x)=y.
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> zu b) Eine Fkt ist nicht bijektiv wenn sie entweder nicht
> surjektiv oder nicht injektiv oder beides nicht ist. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Ich
> möchte beweisen, dass es nicht surjektiv ist, indem ich ein
> Gegenbeispiel finde.
Gute Idee!!
> z.B nehme ich x = 1 daraus folgt y=5.
> Es ist völlig logisch das 5 das kleinste y ist und somit
> W(f) [mm]\in \IN[/mm] aber immer größer/gleich 5 und somit wird
> durch die Fkt nicht alle Elemente der Menge [mm]\IN[/mm]
> dargestellt. Aber wie kann ich denn beweisen, dass 5 der
> kleinste Funktionswert ist? Die Begriffe monoton steigend
> haben wir noch nicht definiert. Das die Funktion injektiv
> ist, geht äquivalent zu a).
>
Du meinst das richtige, aber mache es dir nicht zu kompliziert. Zeige einfach, dass es zu y=4 kein x [mm] \in \mathbb{N} [/mm] gibt. Also kann die Fkt nicht surjektiv sein, da nicht alle natürlichen Zahlen als Funktionswerte vorkommen.
> Ich danke euch schon mal im Voraus!
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> lg kuemmelsche
>
Grüße Patrick
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zu a) Wie zeige ich denn, dass es für jedes y genau ein x gibt sodass gilt f(x) = y?
danke im voraus!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:02 Mi 15.10.2008 | | Autor: | XPatrickX |
Also schnappen wir uns ein beliebiges [mm] y\in\IR [/mm] mit [mm] x:=\frac{y-2}{3} [/mm] gilt dann f(x)=y.
Das wars auch schon. Vielleicht mal etwas umgangssprachlicher:
Du suchst dir ein y aus, z.B. y=11, dann kann ich dir sagen, dass es dazu ein x gibt, nämlich x=3. Jetzt wählst du y=-28 und wieder bekommst du von mir direkt eine Antwort: x=-10.
Du siehst also, egal welches y du dir aussuchst ich kann dir immer ein x nennen, sodass f(x)=y gilt.
Somit ist [mm] f:\IR\to\IR [/mm] surjektiv.
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Ok, jetz hab ich verstanden wie es gemeint war. Danke! Die Frage wurde mal wieder schnell und gut gelöst!
Danke und bis zum nächsten Mal
lg Kai
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