Bijektion, erhält WS-keit < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:40 Fr 29.03.2013 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Wieso ist die Bijektion Wahrscheinlichkeitserhaltend bei endlichen Raum mit Gleichverteilung?
ALso für [mm] \phi [/mm] bijektion gilt P(A)= [mm] P(\phi(A)) [/mm] für alle A [mm] \in \mathcal{A}
[/mm]
[mm] \mathcal{A}.. [/mm] beobachtbare Ereignisse. |
Hallo
DIe Tatsache wird bei einen Beweis verwendet (Reflexionsprinzip).
Leider wird darauf nicht näher eingegangen als : "Dat ist halt so.."
Im Internet sowie in Büchern hab ich nichts zu einem Beweis oder zu Ansätzen gefunden.
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:21 Sa 30.03.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo sissile,
> Wieso ist die Bijektion Wahrscheinlichkeitserhaltend bei
> endlichen Raum mit Gleichverteilung?
> ALso für [mm]\phi[/mm] bijektion gilt P(A)= [mm]P(\phi(A))[/mm] für alle A
> [mm]\in \mathcal{A}[/mm]
>
> [mm]\mathcal{A}..[/mm] beobachtbare Ereignisse.
Da P eine Gleichverteilung auf einem endlichen Raum ist, gilt [mm] $P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}$ [/mm] und [mm] $P(\phi(A))=\frac{|\phi(A)|}{|\Omega|}$. [/mm] Somit ist die Behauptung gleichbedeutend mit [mm] $|A|=|\phi(A)|$.
[/mm]
Sei $n:=|A|$. Dann lässt sich $A$ in der Form [mm] $A=\{a_1,\ldots,a_n\}$ [/mm] mit paarweise verschiedenen [mm] $a_1,\ldots,a_n$ [/mm] schreiben. Es gilt [mm] $\phi(A)=\{\phi(a_1),\ldots,\phi(a_n)\}$ [/mm] und aufgrund der Injektivität von [mm] $\phi$ [/mm] sind [mm] $\phi(a_1),\ldots,\phi(a_n)$ [/mm] paarweise verschieden. Also [mm] $|\phi(A)|=n$.
[/mm]
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:40 Sa 30.03.2013 | | Autor: | sissile |
Hallo,
danke.
Also ist eigentlich nur die Injektivität dafür nötig und die Surj. wird dafür gar nicht gebraucht?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:46 Sa 30.03.2013 | | Autor: | tobit09 |
> Also ist eigentlich nur die Injektivität dafür nötig und
> die Surj. wird dafür gar nicht gebraucht?
Genau.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:55 So 31.03.2013 | | Autor: | fred97 |
Sei B eine nichtleere Menge und endlich, etwa
[mm] $B=\{b_1,...,b_n\} [/mm] $ mit [mm] b_i \ne b_j [/mm] für i [mm] \ne [/mm] j.
Sei weiter $f:B [mm] \to [/mm] B$ eine Abbildung. Dann gilt:
f ist injektiv [mm] \gdw [/mm] f ist bijektiv.
Beweis: [mm] "\Leftarrow" [/mm] ist klar.
Zu [mm] "\Rightarrow":
[/mm]
Es ist f(B) [mm] \subseteq [/mm] B und [mm] f(B)=\{f(b_1),...,f(b_n)\}. [/mm] Da f injektiv ist, haben wir:
[mm] f(b_i) \ne f(b_j) [/mm] für i [mm] \ne [/mm] j.
f(B) hat also n Elemente und somit ist f(B)=B.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:09 So 31.03.2013 | | Autor: | sissile |
Jap klar ;)
DANKE
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