Bijektion, reelle Zahlen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:23 Mo 06.04.2015 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | | Ich beschäftige mich gerade mit dem Aufstellen einer Bijektion [mm] \IR \rightarrow\IR\setminus\{0\} [/mm] . |
Ich habe mich dazu eingelesen in den Satz von Schröder-Bernstein und die dazugehörige Konstruktion:
"Es seien A,B disjunkte Mengen und es gebe eine Injektion f : A [mm] \cup [/mm] B [mm] \rightarrow [/mm] A. Dann gibt es eine Bijektion g : A [mm] \cup [/mm] B [mm] \rightarrow [/mm] A.
Hierzu [mm] B:=\{0\} [/mm] A= [mm] \IR \setminus \{0\}
[/mm]
Nun muss ich eine Injektion f: [mm] \IR \rightarrow \IR \setminus \{0\} [/mm] angeben um dem Satz verwenden zu können. Das täte ja z.B die Exponentialfunktion.
[mm] f(x)=e^x
[/mm]
Um die Funktion zu konstruieren müsste ich f wieder und wieder anwenden:
S := [mm] \bigcup_{n\in\IN_0} f^n (\{0\})= [/mm] 0 [mm] \cup [/mm] 1 [mm] \cup [/mm] e [mm] \cup e^e \cup e^{e^e}\cup...
[/mm]
g: [mm] \IR \rightarrow \IR \setminus \{0\} [/mm] , x [mm] \mapsto \begin{cases} e^x, & \mbox{für } x \in S \\ x, & \mbox{sonst}\end{cases}
[/mm]
Wie komme ich auf die schöne Funktion $ [mm] f(x):=\begin{cases}x+1 & \text{ falls } x\in \IN_0 \\ x & \text{ sonst }\end{cases} [/mm] $, die man in Lehrbüchern findet?
Frage 2:
Dann habe ich noch einen alten Thred:Bijektion (https://matheraum.de/read?t=695790) gefunden
wo von Marcel die Funktion $ [mm] f(x):=\begin{cases}x\text{ für }x < 0 \\ 2[x]+1-x\text{ für }x \ge 0\end{cases}\,. [/mm] $ diskutiert wird als Bijektion von [mm] \IR \rightarrow\IR\setminus\{0\}, [/mm] ohne Schröder-Bernstein. Aber wie zur Hölle soll ich auf das Beispiel draufkommen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:59 Mo 06.04.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo Sissile,
> Wie komme ich auf die schöne Funktion
> [mm]f(x):=\begin{cases}x+1 & \text{ falls } x\in \IN_0 \\ x & \text{ sonst }\end{cases} [/mm],
> die man in Lehrbüchern findet?
da haben sich natürlich schon Leute Gedanken gemacht: Dir ist doch klar,
dass der "Teil"
[mm] $\IN_0 \ni [/mm] n [mm] \mapsto [/mm] n+1 [mm] \in \IN$
[/mm]
bijektiv ist. "Damit entfernt man die 0." Bei dem Rest benutzt man dann die
Identität.
Versuch' mal, Dir anschaulich klarzumachen, *was da passiert*. Und dann
beweise einfach mal, dass Du so eine bijektive Funktion [mm] $\IR \to \IR \setminus \{0\}$ [/mm] gefunden
hast. (Insbesondere ist zu begründen, warum [mm] $0\,$ [/mm] nicht als Funktionswert
angenommen wird; man muss sich ja auch im Klaren sein, dass $f [mm] \colon \IR \to \red{\,\IR \setminus \{0\}\,}$ [/mm]
hingeschrieben werden darf.)
> Frage 2:
> Dann habe ich noch einen alten Thred:Bijektion
> (https://matheraum.de/read?t=695790) gefunden
> wo von Marcel die Funktion [mm]f(x):=\begin{cases}x\text{ für }x < 0 \\ 2[x]+1-x\text{ für }x \ge 0\end{cases}\,.[/mm]
> diskutiert wird als Bijektion von [mm]\IR \rightarrow\IR\setminus\{0\},[/mm]
> ohne Schröder-Bernstein. Aber wie zur Hölle soll ich auf
> das Beispiel draufkommen?
Das habe ich (vermutlich) umgekehrt gemacht: Ich habe mir einen Graphen
zusammengebastelt, der das Gewünschte leistet. Für $x < [mm] 0\,$ [/mm] nehme ich die
Identität. Danach nehme ich "Geradenstückchen" wie folgt:
Der Startpunkt des ersten Geradenstückchens kann liegen, wo er will,
sofern sein $y$-Wert nur $> [mm] 0\,$ [/mm] ist; der x-Wert ist [mm] $x=0\,.$ [/mm] Nun lasse ich
diese Gerade auf die x-Achse zulaufen, soweit es geht, ohne sie zu
berühren. Dieses Geradenstückchen kopiere ich nun, verschiebe die Kopie
nun nach rechts und nach oben (die Steigung bleibt also gleich); der (nicht
wirklich vorhandene) RECHTE Endpunkt der Kopie soll auf den y-Wert des
LINKEN Startpunktes des ersten Geradenstücks zulaufen, um keine
"Lücken zu lassen".
Man kann dieses Konzept noch komplexer aussehen lassen; vielleicht hilft
Dir das folgende:
Plotte mal den Teil des Graphen der Funktion
[mm] $g(x)\,,$
[/mm]
die ich nicht komplett angeben, welche ich aber stückweise angebe:
1.) $g(x):=x$ für $x < [mm] 0\,$
[/mm]
2.) $g(x):=1-x$ für $0 [mm] \le [/mm] x < 1$
3.) $g(x):=7-3x$ für $1 [mm] \le [/mm] x < 2$
4.) [mm] $g(x):=4+\frac{3}{10}-\frac{1}{10}x$ [/mm] für $2 [mm] \le [/mm] x < 3$
Was siehst Du so schon? Wir haben (offenbar) Injektivität, und
1.) [mm] $g((-\infty,0)=(-\infty,0)$
[/mm]
2.) $g([0,1))=(0,1]$
3.) $g([1,2))=(1,4]$
4.) [mm] $g([2,3))=(4,\tfrac{41}{10}]$
[/mm]
Ist das Prinzip so klarer? Oder soll ich eine Skizze nachliefern?
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:33 Di 07.04.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo Sissile,
> Frage 2:
> Dann habe ich noch einen alten Thred:Bijektion
> (https://matheraum.de/read?t=695790) gefunden
> wo von Marcel die Funktion [mm]f(x):=\begin{cases}x\text{ für }x < 0 \\ 2[x]+1-x\text{ für }x \ge 0\end{cases}\,.[/mm]
> diskutiert wird als Bijektion von [mm]\IR \rightarrow\IR\setminus\{0\},[/mm]
> ohne Schröder-Bernstein. Aber wie zur Hölle soll ich auf
> das Beispiel draufkommen?
ich hoffe, Du hast meine Erklärung verstanden. Ich schreibe aber auch
mal ein anderes Beispiel hin, an dem Du vielleicht auch siehst, wie ich
auf "die kompakte Darstellung" gekommen bin:
Wir setzen
$g [mm] \colon \IR \to \IR \setminus \{0\}$
[/mm]
fest durch
1.) $g(x)=x$ für alle $x < [mm] 0\,$
[/mm]
2.) [mm] $g(x):=[x]+\left(x\,-\,\{1\,+\,[x]\}\right)^2$ [/mm] für alle $x [mm] \ge 0\,.$
[/mm]
Das, was ich "vorher mit Geradenstückchen gemacht habe", mache ich hier
nun mit "Bogenstückchen" (oder "Parabelstückchen"); ist Dir klar, was 2.)
"mit einem Scheitelpunkt" zu tun hat (wenn man sich ein solches
Bogenstück *ergänzt*?).
Schreibst Du den 2.) Teil als
(*) [mm] $g(x)=[x]+\left(\{1\,+\,[x]\}\,-\,x\right)^\red{2}$ [/mm] (das geht wegen [mm] $a^2=(-a)^2$)
[/mm]
so brauchst Du das nur geringfügig zu modifizieren, um auf obiges [mm] $f\,$
[/mm]
zu kommen.
P.S. Plotte Dir mal (*) (bzw. [mm] $g\,$); [/mm] und spiele auch mal an dem Exponenten
weiter rum. Jede natürliche Zahl ($> [mm] 0\,$) [/mm] kannst Du dort für Deine
Aufgabe benutzen; warum?
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:29 Mi 08.04.2015 | | Autor: | sissile |
Hallo,
Zusammenfassend:
Zunächst hab ich die Funktion aufgezeichnet, die für x<0 die Identität ist und für [mm] x\ge [/mm] 0 die parallelen Geradenstücke, wo das erste Geradenstück bei (0,1) ihren Startpunkt hat und ein "offenes Ende" bei (1,0). Das zweite Geradenstück hat dann ihren Startpunkt bei (1,2) und ihr "offenes Ende" bei (2,1) usw.
Ich konstruiere die beschriebene Funktion mit Hilfe von Parabeln, die ihren Scheitelpunkt für jedes x bei S=(1+[x],[x]) haben.
D.h. die Standart-Parabel [mm] y=x^2 [/mm] wird um [x] in y-Richtung nach oben und um 1+[x] in x-Richtung nach rechts verschoben.
Daraus leitet sich die Scheitelform: [mm] g(x)=[x]+(x-(1+[x]))^2 \forall [/mm] x [mm] \ge [/mm] 0 her.
$ [mm] g(x)=[x]+\left(\{1\,+\,[x]\}\,-\,x\right)^2 [/mm] $ (da $ [mm] a^2=(-a)^2 [/mm] $)
Ich sehe, dass für den Exponenten 1:
[mm] g(x)=[x]+\left(\{1\,+\,[x]\}\,-\,x\right)^1= [/mm] 2[x]+1-x= f(x) ist
Auch graphisch entspricht dass dann der obigen "Zeichung". Aber warum kann ich einfach den Exponenten 1 setzen und erhalte dann die Geraden? Es ist noch etwas "Magie" für mich, dass die Parabeln plötzlich ihre "Ausbuchtung" einziehen und die Geraden entsehen.
> Jede natürliche Zahl ($ > [mm] 0\, [/mm] $) kannst Du dort für Deine
Aufgabe benutzen; warum?
Die Frage verstehe ich nicht ganz, auf was willst du hinaus?
LG,
sissi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:41 Fr 10.04.2015 | | Autor: | sissile |
Ich würde die Frage gerne nochmal reaktivieren, vlt. halt Marcel oder wer anderer ja noch Zeit sie anzuschauen, denn wenn die Frage geschlossen ist verliert sie an Aufmerksamkeit.
LG,
sissi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:41 Fr 10.04.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo Sissile,
> Hallo,
> Zusammenfassend:
> Zunächst hab ich die Funktion aufgezeichnet, die für x<0
> die Identität ist und für [mm]x\ge[/mm] 0 die parallelen
> Geradenstücke, wo das erste Geradenstück bei (0,1) ihren
> Startpunkt hat und ein "offenes Ende" bei (1,0). Das zweite
> Geradenstück hat dann ihren Startpunkt bei (1,2) und ihr
> "offenes Ende" bei (2,1) usw.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Ich konstruiere die beschriebene Funktion mit Hilfe von
> Parabeln, die ihren Scheitelpunkt für jedes x bei
> S=(1+[x],[x]) haben.
> D.h. die Standart-Parabel [mm]y=x^2[/mm] wird um [x] in y-Richtung
> nach oben und um 1+[x] in x-Richtung nach rechts
> verschoben.
> Daraus leitet sich die Scheitelform:
> [mm]g(x)=[x]+(x-(1+[x]))^2 \forall[/mm] x [mm]\ge[/mm] 0 her.
> [mm]g(x)=[x]+\left(\{1\,+\,[x]\}\,-\,x\right)^2[/mm] (da [mm]a^2=(-a)^2 [/mm])
>
> Ich sehe, dass für den Exponenten 1:
> [mm]g(x)=[x]+\left(\{1\,+\,[x]\}\,-\,x\right)^1=[/mm]Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
2[x]+1-x=
> f(x) ist
> Auch graphisch entspricht dass dann der obigen "Zeichung".
> Aber warum kann ich einfach den Exponenten 1 setzen und
> erhalte dann die Geraden? Es ist noch etwas "Magie" für
> mich, dass die Parabeln plötzlich ihre "Ausbuchtung"
> einziehen und die Geraden entsehen.
Ich nehm' ja nur den Teil der Parabel $x \longmapsto x^2$, wo sich $x \in [-1,0)$ befindet.
Das ist halt $\left. x^2 \right|_{[-1,0)}\,.$ Dieses Stück wird immer nach rechts und nach
oben verschoben und "an den Graphen geklebt", um es mal kurz zu beschreiben.
Ich finde halt, bei der Parabel "sieht" man mehr, was da passiert. Schematisch
machen wir aber immer das Gleiche.
Generell kannst Du ja etwa auch folgendes machen: Nimm eine Funktion
$g\,$, die die Eigenschaft hat, dass sie auf einem Intervall
$[a,b)$ (mit $a < b\,$)
streng fällt und dort stetig ist:
$g_1:=\left. g \right_{[a,b)}$
soll also stetig und streng fallend sein.
$f\,$ baust Du so zusammen, dass $f(x)=x$ für $x < 0$ gilt (Du könntest da
auch spaßeshalber mal $f(x)=x^3$ wählen) - und jetzt guckst Du halt, wie Du
$f\,$ "mit dem Bogenstückchen, dass der Graph von $g_1$ ist", so zusammensetzen
kannst, dass die Funktion bijektiv(!) wird.
Würdest Du z.B. $g_1(x)=-x^5$ für $x \in [-1,2)$ betrachten, dann würdest Du im Folgenden etwa
$f(x)=\,-\;(x-1)^5+2^5$ für $x \in [0,3)$
setzen. (Beachte, dass das Intervall $[-1,2)$ die Länge 3 hat!)
Dann
$f(x)=\,-\;(x-4)^5+2^5+(2^5+1)=\,-\;(x-4)+2*2^5+1$ (beachte, dass das Intervall $g_1([-1,2))=(-2^5,1]$ die Länge $2^5+1$ hat )
für $x \in [3,6)\,$ ...
usw. usf.
> > Jede natürliche Zahl ([mm] > 0\, [/mm]) kannst Du dort für Deine
> Aufgabe benutzen; warum?
> Die Frage verstehe ich nicht ganz, auf was willst du
> hinaus?
Ich meinte, dass für jedes natürliche $n > 0$ die Funktion
[mm] $f=f_n \colon \IR \to \IR \setminus \{0\}$
[/mm]
mit
[mm] $f(x)=f_n(x)=x$ [/mm] für $x < [mm] 0\,$
[/mm]
und
[mm] $f(x)=f_n(x)=[x]+\left(\{1\,+\,[x]\}\,-\,x\right)^n$ [/mm] für $x [mm] \ge [/mm] 0$
bijektiv ist.
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:17 Fr 17.04.2015 | | Autor: | sissile |
Hallo,
Sry, ich war krank - deshalb erst heute meine Reaktion.
> Ich meinte, dass für jedes natürliche $ n > 0 $ die Funktion
> $ [mm] f=f_n \colon \IR \to \IR \setminus \{0\} [/mm] $
> mit
> $ [mm] f(x)=f_n(x)=x [/mm] $ für $ x < [mm] 0\, [/mm] $
> und
> $ [mm] f(x)=f_n(x)=[x]+\left(\{1\,+\,[x]\}\,-\,x\right)^n [/mm] $ für $ x [mm] \ge [/mm] 0 $
> bijektiv ist.
Dass es sich bei [mm] f_n [/mm] um eine Bijektion handelt hast du aber dadurch nicht mathematisch begründet oder? Die Nutzung der Parabeln zeigt ja nur eine Kontruktion ist aber als mathematischer Beweis für die Bijektion doch nicht gültig. Oder spielst du auf etwas anderes als Beweis an?
LG,
sissi
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:01 Sa 18.04.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo Sissile,
> Hallo,
> Sry, ich war krank - deshalb erst heute meine Reaktion.
oh, dann bist Du hoffentlich gut gesundet!
> > Ich meinte, dass für jedes natürliche [mm]n > 0[/mm] die Funktion
>
> > [mm]f=f_n \colon \IR \to \IR \setminus \{0\}[/mm]
>
> > mit
>
> > [mm]f(x)=f_n(x)=x[/mm] für [mm]x < 0\,[/mm]
>
> > und
>
> > [mm]f(x)=f_n(x)=[x]+\left(\{1\,+\,[x]\}\,-\,x\right)^n[/mm] für
> [mm]x \ge 0[/mm]
>
> > bijektiv ist.
>
> Dass es sich bei [mm]f_n[/mm]Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
um eine Bijektion handelt hast du aber
> dadurch nicht mathematisch begründet oder? Die Nutzung der
> Parabeln zeigt ja nur eine Kontruktion ist aber als
> mathematischer Beweis für die Bijektion doch nicht
> gültig. Oder spielst du auf etwas anderes als Beweis an?
Mir ging es nur darum, dass Du die Konstruktionsmethode verstehst. Wenn
man die verstanden hat, weiß man eigentlich auch, wie der Beweis funktionieren
wird, wobei man das formal natürlich genauer ausführen wird, als ich es
jetzt mal tun werde:
Bem.: Dass $\left. f \right|_{(-\infty,0)} \colon (-\infty,0) \longrightarrow (-\infty,0)$ bijektiv ist, ist klar.
I. Injektivität: Für $x,y \in \IR$ mit $x \neq y$ kann man o.E. $x < y\,$ annehmen:
1. Fall: $x\,$ und $y\,$ beide $<0\,:$ Hier ist $f(x)=x < y=f(y)$ - eigentlich reicht es
aber auch, auf die Bemerkung zu verweisen!
2. Fall: $x < 0\,$ und $y \ge 0$: Mach Dir klar, dass das ziemlich trivial ist, weil
hier $f(x)=x < 0\,$, aber $f(y) \ge 0$ sein wird.
3. Fall: Seien $x,y \ge 0$: Unterfall $\alpha)$: Falls $[x] < [y]$ ist, wird wieder alles
ziemlich trivial!
(Schau' Dir $f(\;[\,\lfloor a \rfloor],\,\lfloor a \rfloor+1)\;)$ für $a \in \IR$ an; das könnte auch für den 2. Fall
hilfreich sein!)
Unterfall $\beta)$: Falls $[x]=[y]\,$ ist, argumentiere mit $\left. f \right|_{[\,\lfloor x \rfloor,\;\lfloor x \rfloor+1)}\,.$ (Diese Einschränkung
ist streng monoton fallend, und damit injektiv!)
II. Surjektivität: Sei $y \in \IR\,.$ Für $y \in (-\infty,0)$: Siehe Bemerkung (oder setze
$x:=y\,,$ dann ist $f(x)=f(y)=\left. f \right|_{(-\infty,0)}(y)=y$).
Im Falle $y \ge 0$:
Unterfall $\alpha)$: Falls $y \notin \IN_0$ ist:
Argumentiere mit $\left. f \right|_{[\,\lfloor y \rfloor,\;\lfloor y \rfloor+1)}$ unter Verwendung des Zwischenwertsatzes!
(Hinweis: Be(tr)achte den rechtsseitigen Grenzwert von $f\,$ an der Stelle $[y]\,$
und den linksseitigen an der Stelle $[y]+1$).
Unterfall $\beta)$: Für $y \in \IN_0$: Betrachte mit $x:=y-1\,$ dann f(x)!
P.S. Ich habe sowohl $[x]$ als auch $\lfloor x \rfloor$ für die Gaußklammer von x
geschrieben!
P.P.S. Es kann natürlich sein, dass ich irgendwo noch (eine Kleinigkeit evtl.)
für die Argumentationen übersehen oder Kleinigkeiten durcheinandergebracht
habe. Ich denke, eigentlich sollte das so passen. Aber wenn man so mit
dieser *Anleitung* an das Aufschreiben eines sauberen Beweises geht,
merkt man das normalerweise an entsprechender Stelle. Und genau sowas
ist ja unter anderem auch ein Grund, warum Beweise immer so detailliert,
präzise und genau durchgeführt werden: Man will sich sicher sein, dass
man nicht doch an irgendeiner Stelle etwas übersehen hat. 
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:17 So 19.04.2015 | | Autor: | sissile |
Vielen Dank, dass du das Bsp so genau mit mir durchgegangen bist. Das hätte keine Nachhilfe/Professor besser machen können.
Schönen Sonntag!
LG,
sissi
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:10 So 19.04.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Vielen Dank, dass du das Bsp so genau mit mir durchgegangen
> bist. Das hätte keine Nachhilfe/Professor besser machen
> können.
Danke für die nette Rückmeldung.
> Schönen Sonntag!
Dir auch, und schonmal eine schöne Woche!
Gruß,
Marcel
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Ich halte die Frage mit den beiden Antworten von Marcel für vollständig beantwortet, aber trotzdem noch eine Anmerkung von mir:
Die "schöne" Funktion, von der du sprichst, tut einfach das, was Hilbert tut, als in seinem ![[]](/images/popup.gif) Hotel ein Gast unbedingt in Zimmer 2345089723458076234 einziehen möchte. Alle Gäste, die ein Zimmer mit dieser oder einen größeren Nummer haben, ziehen eins weiter und schon ist das Zimmer frei.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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