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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:15 Di 15.10.2013 | | Autor: | Illihide |
| Aufgabe | Sei Q = f(x; y) : x; y > 0 und f : Q -> Q diejenige Abbildung, die jedem (x; y) (element) Q den
Punkt (u; v) (element) Q zuordnet gemäß der Vorschrift:
u=x*y v=x/Y
a) Zeige das f eine Bijektion ist
b) Wie lautet die Umkehrfunktion f^-1
c) Skizziere die Bilder der in Q gelegenen Abschnitte der Geraden, die parallel zur
x-Achse bzw. y-Achse verlaufen. |
ich bin jz bei der bijektion soweit (bzw beim beweis):
(x,y)-> (u,v)=f(x,y)
u=x*y= f1(x,y) v=x/y= f2(x,y)
man kann eine bijektion beweisen indem: f^-1(f(x))=x
in diesem fall: f^-1(f1(x,y),f2(x,y))
so und genau hier komme ich nicht weiter und bräuchte hilfe.
LG Illihide
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Hallo Illihide
> Sei Q = f(x; y) : x; y > 0 und f : Q -> Q diejenige
> Abbildung, die jedem (x; y) (element) Q den
> Punkt (u; v) (element) Q zuordnet gemäß der
> Vorschrift:
> u=x*y v=x/Y
da scheint mir nicht alles klar zu sein.
Du schreibst einerseits Q=f(x;y) und andererseits ist
da die Rede von einer Funktion f von Q nach Q. Dies
kann kaum zusammenpassen !
Ist es nicht so, dass Q für die Menge der Zahlenpaare
(x,y) mit positiven x und y stehen soll ?
Richtig notiert wäre dies:
$\ Q\ =\ [mm] \{\,(x,y)\ |\ x>0\ \wedge\ y>0\,\}$
[/mm]
Graphisch könnte man sich die Menge Q dann als die
Menge aller Punkte im Inneren des ersten Quadranten
eines x-y-Koordinatensystems vorstellen.
> a) Zeige das f eine Bijektion ist
> b) Wie lautet die Umkehrfunktion f^-1
> c) Skizziere die Bilder der in Q gelegenen Abschnitte der
> Geraden, die parallel zur
> x-Achse bzw. y-Achse verlaufen.
> ich bin jz bei der bijektion soweit (bzw beim beweis):
> (x,y)-> (u,v)=f(x,y)
> u=x*y= f1(x,y) v=x/y= f2(x,y)
> man kann eine bijektion beweisen indem: f^-1(f(x))=x
> in diesem fall: f^-1(f1(x,y),f2(x,y))
> so und genau hier komme ich nicht weiter und bräuchte
> hilfe.
> LG Illihide
Wenn du nach deinem Plan vorgehen willst, überlegst du
dir am besten ziemlich konkret folgende Frage:
Wenn ich einen Punkt P(x,y) mit der Funktion f abgebildet
und den Bildpunkt f(P) mit den Koordinaten (u,v) habe,
wie rechne ich dann zurück von diesen Werten u und v
zu x und y ?
Falls es auf eindeutige Weise möglich ist, aus dem Zahlen-
paar (u,v) das Zahlenpaar (x,y) zu rekonstruieren, dann
ist die Abbildung f injektiv, und du hast auch schon das
Rezept für eine Umkehrfunktion. Für Bijektivität genügt
dies allerdings noch nicht. Was dann noch fehlt, sollte dir
aber bekannt sein, wenn ihr bei diesem Thema seid.
LG , Al-Chwarizmi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:09 Di 15.10.2013 | | Autor: | Illihide |
| Aufgabe | | ist x>0 und y>0 ein unterschied zu x,y>0? |
ist x>0 und y>0 ein unterschied zu x,y>0?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:40 Di 15.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Illihide,
> ist x>0 und y>0 ein unterschied zu x,y>0?
Nein. $x,y>0$ ist nur eine abkürzende Schreibweise für $x>0$ und $y>0$.
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:12 Di 15.10.2013 | | Autor: | Illihide |
vlltzur info noch : bei Q = ... fehlt sie gwschweifte klammer um die aussage als Q= (geschweifte klammer auf) ..... (geschweifte Klammer zu)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:41 Di 15.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
> vlltzur info noch : bei Q = ... fehlt sie gwschweifte
> klammer um die aussage als Q= (geschweifte klammer auf)
> ..... (geschweifte Klammer zu)
Und das f in deiner Angabe von Q ist ersatzlos zu streichen, wie Al-Chwarizmi bereits feststellte.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:26 Mi 16.10.2013 | | Autor: | Illihide |
Ich hatte bereits versucht das aus (u,v) (x,y) hevorgeht. ich hatte es durch ummformen versucht. kam jedoch zu keinem ergebnis....
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:32 Mi 16.10.2013 | | Autor: | Illihide |
Vllt nochmal zur umkehrfunktion: ich habe ja dann f1(x,y)=u=x*y und f2(x,y)=v=x/y. wie kann ich diese beiden verknüpfen zu f(x,y). und natürlich auch wie ist es möglich eine umkehrfunktion mit 2 Variablen umzukehren?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:34 Mi 16.10.2013 | | Autor: | Illihide |
Ich meinte: wie ist es möglich eine umkehrfunktion mit 2 variablen zu bilden?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:04 Mi 16.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
> Vllt nochmal zur umkehrfunktion: ich habe ja dann
> f1(x,y)=u=x*y und f2(x,y)=v=x/y.
Ja.
Du suchst zu gegebenem [mm] $(u,v)\in [/mm] Q$ dasjenige (im Falle, dass f wirklich bijektiv ist, existierende und eindeutig bestimmte) Paar [mm] $(x,y)\in [/mm] Q$ mit $f((x,y))=(u,v)$, d.h. mit $u=x*y$ und $v=x/y$.
Löse also das Gleichungssystem aus diesen beiden Gleichungen nach $x$ und $y$ auf.
Dazu könntest du z.B. zunächst eine der Gleichungen nach $x$ oder $y$ umstellen und dann in die andere Gleichung einsetzen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:58 Do 17.10.2013 | | Autor: | Illihide |
dann habe ich nach [mm] x=\wurzel{u*v} [/mm] und [mm] y=\wurzel{u/v} [/mm] errechnet.Hab ich damit jz die injektivität bewiesen?
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> dann habe ich nach [mm]x=\wurzel{u*v}[/mm] und [mm]y=\wurzel{u/v}[/mm]
> errechnet.Hab ich damit jz die injektivität bewiesen?
Fast.
Du solltest noch aufzeigen, dass (und weshalb) diese
Operationen in jedem Fall problemlos und eindeutig
ausführbar sind und jedenfalls zu den Werten zurück-
führen, von denen ursprünglich ausgegangen wurde
(du weißt ja, dass man in solchen Dingen bei quadra-
tischen Gleichungen wenigstens vorsichtig sein muss !)
LG , Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:22 Do 17.10.2013 | | Autor: | Illihide |
Also soll ich jz sozusagen noch die probe machen das ich wieder zurück auf u und v komme um das zu zeigen?
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> Also soll ich jz sozusagen noch die probe machen das ich
> wieder zurück auf u und v komme um das zu zeigen?
Das Wesentliche ist, dass du deine Formeln noch
begründest (Herleitung zeigen !). Dazu kommt
noch die Feststellung, dass man durch die Berechnung
der Wurzeln wirklich zu den ursprünglichen x und y
zurückkommt. Hier ist die Voraussetzung wichtig,
dass ja [mm] (x,y)\in [/mm] Q war (also im ersten Quadranten !)
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:05 Do 17.10.2013 | | Autor: | Illihide |
Und 2 fragen hätte ich noch: 1. Wie kann ich die surjektivität beweisen zumindest an diesem bsp?
2. wie schreibe ich f1(x,y) und f2(x,y) zu f(f1(x,y),f2(x,y))=..... sozusagen was shreibe ich da anstatt den pünktchen? Mir ist nicht bewusst wie ich die eiden verbinden kann.
LG Illihide
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Hallo Illihide
> Und 2 fragen hätte ich noch: 1. Wie kann ich die
> surjektivität beweisen zumindest an diesem bsp?
Grundmenge Q ist ja die Menge aller Punkte im
ersten Quadranten (ohne dessen Randstrahlen).
Für Surjektivität musst du zeigen, dass es zu
jedem Punkt B(u|v) in Q einen Punkt A in Q gibt mit f(A)=B .
> 2. wie schreibe ich f1(x,y) und f2(x,y) zu
> f(f1(x,y),f2(x,y))=..... sozusagen was schreibe ich da
> anstatt den pünktchen? Mir ist nicht bewusst wie ich die
> beiden verbinden kann.
Ich finde immer wieder, dass solche Indexschreibweisen
nicht unbedingt hilfreich für das Verständnis sind. Nach
meinem Geschmack würde ich also etwa die Elemente
von Q nicht mit der Variablen x bezeichnen, sondern
eben etwa als Punkte A, B etc., weil ich mir x und y
als Koordinatenbezeichnungen vorbehalten möchte.
So hätten wir etwa:
$\ f:\ [mm] A(x|y)\, \mapsto\ [/mm] \ B\ =\ f(A)\ =\ (u|v)$ mit $\ u:=x*y$ und $\ v:=x/y$
Für die Umkehrfunktion [mm] f^{-1} [/mm] hast du ja eigentlich
schon gefunden:
$\ [mm] f^{-1}:\ B(u|v)\, \mapsto\ [/mm] \ A\ =\ [mm] f^{-1}(B)\ [/mm] =\ (x|y)$ mit $\ [mm] x:=\sqrt{u*v}$ [/mm] und $\ [mm] y:=\sqrt{u/v}$ [/mm]
LG , Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:29 Do 17.10.2013 | | Autor: | Illihide |
Grundmenge Q ist ja die Menge aller Punkte im
ersten Quadranten (ohne dessen Randstrahlen).
> Grundmenge Q ist ja die Menge aller Punkte im
> ersten Quadranten (ohne dessen Randstrahlen).
> Für Surjektivität musst du zeigen, dass es zu
> jedem Punkt B(u|v) in Q einen Punkt A in Q gibt mit f(A)=B
kann ich das denn überhaupt ohne zahlen beweisen?
schon mal vielen dank für die Hilfe :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:37 Do 17.10.2013 | | Autor: | fred97 |
> Grundmenge Q ist ja die Menge aller Punkte im
> ersten Quadranten (ohne dessen Randstrahlen).
>
> > Grundmenge Q ist ja die Menge aller Punkte im
> > ersten Quadranten (ohne dessen Randstrahlen).
> > Für Surjektivität musst du zeigen, dass es zu
> > jedem Punkt B(u|v) in Q einen Punkt A in Q gibt mit
> f(A)=B
>
> kann ich das denn überhaupt ohne zahlen beweisen?
Na klar: Sei (u,v) [mm] \in [/mm] Q. Für (x,y) [mm] \in [/mm] Q gilt:
f(x,y)=(u,v)
[mm] \gdw
[/mm]
(*) u=xy und v=x/y
Zeige nun: das Gl-System (*) hat eine Lösung (x,y) [mm] \in [/mm] Q.
Damit hast Du die Surjektivität von f gezeigt.
Wenn Du es richtig machst, siehst Du sogar: (*) hat genau eine Lösung (x,y) [mm] \in [/mm] Q. Und das bedeutet: f ist injektiv.
FRED
P.S. hab grad gesehen, dass Al oben schon ähnliches geschrieben hat..
Pardon
>
>
> schon mal vielen dank für die Hilfe :)
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(x|y) steht bei dir jz nur als Koordinaten für die punkte A,B oder?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 Di 22.10.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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