Bijektion von Mengen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Finden Sie eine Formel für die Zahl der Bijektionen der Menge {1,2,....,n} auf sich selbst in Abhängigkeit von n und beweisen Sie diese Formel. (vollständige Induktion) |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich habe absolut keine Ahnung, da ich mit der Bijektion so meine Probleme habe...
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Hallo AnneKatrin,
überleg dir das doch mal heuristisch an Mengen mit 1, 2, 3 und 4 Elementen.
Nimm dir zuerst ne einelementige Menge [mm] $M_1=\{1\}$
[/mm]
Wieviele Möglichkeiten gibt es, die 1 bijektiv auf sich abzubilden?
Dann eine mit 2 Elementen [mm] $M_2=\{1,2\}$
[/mm]
Hier hast du 2 Möglichkeiten, zum einen die Bijektion [mm] f_1 [/mm] mit [mm] f_1(1)=1 [/mm] und [mm] f_1(2)=2
[/mm]
und zum anderen die Bijektion [mm] f_2 [/mm] mit [mm] f_2(1)=2 [/mm] und [mm] f_2(2)=1
[/mm]
Dann nimm dir eine 3-elementige Menge her:
[mm] $M_3=\{1,2,3\}$
[/mm]
Hier gibt dann wiviele Möglichkeiten?
Dann kannst du doch bestimmt vermuten, wie es sich allg. für n verhält.
Das musst du dann per VI beweisen
LG
schachuzipus
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Hallo,
Danke! Stimmt, da hätte man auch selbst drauf kommen können. Manchmal sieht man den Wald vor lauter Bäumen nicht. Mir war nur nicht ganz klar, dass bei n=0 die leere Menge auch ein Element enthält.
Ok, dann ist es n!. Wäre der Beweis abgeschlossen, wenn ich f(M(n)) --> n! als Vor. und damit f(M(n+1))= n! * (n+1) = (n+1)! schreibe?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:21 Sa 03.11.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:15 Fr 02.11.2007 | | Autor: | Breece |
Du schreibst bei einer Menge mit 2 Elementen gibt es 2 Möglichkeiten für 2 Bijektionen auf sich selbst.
Das sind doch dann 4 Bijektionen oder nicht?
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> Du schreibst bei einer Menge mit 2 Elementen gibt es 2
> Möglichkeiten für 2 Bijektionen auf sich selbst.
> Das sind doch dann 4 Bijektionen oder nicht?
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Nein, das sind wirklich nur zwei Bijektionen.
Bijektionen, wohlgemerkt, d.h. surjektiv.
Mit M:={1,2} hast Du zwei Bijektionen [mm] f_1, f_2 [/mm] def. durch
[mm] f_1(1):=1
[/mm]
[mm] f_1(2):=2
[/mm]
und
[mm] f_2(1):=2
[/mm]
[mm] f_2(2):=1.
[/mm]
Mehr nicht.
Gruß v. Angela
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