Bijektion zw. Urbildmengen < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:43 So 09.11.2014 | | Autor: | JoeBloe |
| Aufgabe | Es sei [mm] \alpha [/mm] : G [mm] \to [/mm] H ein Gruppenhomomorphismus.
(a) Zeigen Sie, dass für alle h ∈ H und alle g,g' ∈ [mm] \alpha^{-1}({h}) [/mm] ein eindeutiges Element k ∈ Kern [mm] \alpha [/mm] existiert, so
dass g' = gk gilt.
(b) Es seien h,h' ∈ H, so dass [mm] \alpha^{-1}({h}) [/mm] und [mm] \alpha^{-1}({h'}) [/mm] nicht-leer sind. Geben Sie eine Bijektion zwischen [mm] \alpha^{-1}({h}) [/mm] und [mm] \alpha^{-1}({h'}) [/mm] an. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Meine Frage bezieht sich auf Aufgabenteil (b). Meine erste Überlegung war, wenn M := { g | g ∈ [mm] \alpha^{-1}({h}) [/mm] } und N := { g' | g' ∈ [mm] \alpha^{-1}({h'}) [/mm] } und |M| = |N| gilt, dass dann f: M [mm] \to [/mm] N, g [mm] \mapsto [/mm] g' eine Bijektion wäre, aber kann ich die Gleichheit der Kardinalitäten vorraussetzen? Nach meinem Verständnis müssen ja Homomorphismen weder surjektiv noch injektiv sein.
Und deckt diese Schreibweise auch ab, dass wirklich jedem g genau ein g' zugeordnet wird?
Vielen Dank im Voraus,
JoeBloe
|
|
| |
|
Hallo,
Das kannst du natürlich nicht voraussetzen, sondern das wäre fast schon die Behauptung. Außerdem ist nicht klar, was deine Zuordnungsvorschrift bedeuten soll. Wenn $ [mm] g\in\alpha^{-1} [/mm] (h) $, was soll denn dann $ g'$ sein?
Wähle ein festes $ [mm] g\in \alpha^{-1}(h) [/mm] $ und ein $ [mm] g'\in\alpha^{-1}(h') [/mm] $ und betrachte die Abbildung [mm] $\alpha^{-1}(h)\longrightarrow\alpha^{-1}(h') [/mm] $ mit $ [mm] x\longmapsto g'g^{-1} [/mm] x $. Zeige, dass das wohldefiniert ist, und gib eine Umkehrabbildung an.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
|
|
|
|
