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Bijektive Abbildung entwickeln: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:42 So 17.09.2006
Autor: Binky

Aufgabe
Geben Sie eine bijektive Abbildung f: [mm] \IN [/mm] -> [mm] \IZ [/mm] an.
f(n)= ?

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Hallo. Mir ist klar, was eine bijektive Abbildung ist und habe auch ein Ergebnis durch rumprobieren erhalten.
Kann man sich diese Ausprobiererei auch durch ein bestimmtes Verfahren erleichtern?

Ich habe z.B. [mm] f(n)=\begin{cases} -n/2, & \mbox{für } n \mbox{ gerade} \\ (n-1)/2, & \mbox{für } n \mbox{ ungerade} \end{cases} [/mm]

Schon mal vielen Dank für die Mühen.
Gruß
Alex

        
Bezug
Bijektive Abbildung entwickeln: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:36 Mo 18.09.2006
Autor: Palin

Hi wenn ich mich nicht ganz vertuhe, gibt es keine Bijektive Abb. von N->Z

da für jedes y aus Z genau ein x aus N geben muss.
Da aber die Menge Z "mehr" Elemente hat als N muss es mindestens ein y1 und y2 geben die auf das selbe x Abgebildet werden.
Also nicht bijektiv.

Bezug
                
Bezug
Bijektive Abbildung entwickeln: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:48 Mo 18.09.2006
Autor: Binky

Es ist bijektiv. Soweit ist es klar für mich.

[mm] \IN [/mm]  8  6  4  2 1 3 5 7 9
[mm] \IZ [/mm] -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

So findet man es in den Lehrbüchern. [mm] \IN \to \IR [/mm] ist z.B. nicht bijektiv.
Meine Frage bezieht sich allerdings darauf, wie ich solch eine Abbildung entwickeln kann.
Bisher probiere ich rum. Stelle mir solch eine Abbildung s.o. als Tabelle dar und finde irgendwann eine Lösung.
Gibt es also dafür auch ein Verfahren?

Gruß

Binky

Bezug
                        
Bezug
Bijektive Abbildung entwickeln: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:35 Mo 18.09.2006
Autor: mathiash

Hallo zusammen,

im einfachen Sinne ein Verfahren gibt es leider nicht, man muss jeweils sich die zur Diskussion stehenden Mengen anschauen und aus
ihrer Struktur heraus solch eine Abbildung konstruieren.

Jedoch gibt es natürlich Hilfsmittel. So gibt es einen Satz, der besagt, dass, wenn es zu zwei Mengen A und B Injektionen [mm] f\colon A\to [/mm] B und [mm] g\colon B\to [/mm] A gibt. dann auch eine Bijektion von A nach B existiert, und derr Beweis ist in gewissem Sinne konstruktiv.

Eine Injektion von [mm] \IN [/mm] nach [mm] \IZ [/mm] ist einfach, und dann würde es halt reichen, nur noch eine Injektion von [mm] \IZ [/mm] nach [mm] \IN [/mm] zu konstruieren, anstatt sich über eine
''ganze Bijektion'' Gedanken machen zu müssen.

Gruss,

Mathias


Bezug
                                
Bezug
Bijektive Abbildung entwickeln: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:45 Mo 18.09.2006
Autor: Binky

Tja, dann belassen wir es an dieser Stelle mal dabei.
Ich versuche dann weiterhin die Zusammenhänge direkt zu erkennen.

Danke und Gruß
Alex

Bezug
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