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Hallöchen an alle . Bis vor wenigen Minuten habe ich noch gedacht, ich hätte das ganze Zeugs von wegen Injektivität, Surjektivität und Bijektivität verstanden, aber hab da doch noch ne Aufgabe gefunden, mit der ich irgendwie Probleme habe.
Wir sollen zeigen, dass diese Funktion bijektiv ist.
[mm] f:\IR\setminus{{1}}\to\IR\setminus{-1}, x\to\bruch{1+x}{1-x}
[/mm]
Ich würde mich freuen, wenn mir jemand von euch helfen könnte, denn ich schreib am Samstag ne Klausur, und würde das Problem hier gerne noch Lösen.
Gruß Chiro
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:02 Do 16.12.2004 | | Autor: | Hanno |
Hallo Chironimus!
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Wie immer musst du zeigen, dass die Abbildung sowohl injektiv als auch surjektiv ist.
Injektiv:
Du musst zeigen, dass aus [mm] $\frac{1+x}{1-x}=\frac{1+y}{1-y}, (x,y\in\IR\setminus \{1\})$ [/mm] auch $x=y$ folgt. Das siehst du durch einfaches Ausrechnen ein.
Surjektiv:
Hier musst du zeigen, dass es zu jedem [mm] $y\in\IR\setminus \{-1\}$ [/mm] ein [mm] $x\in \IR\setminus [/mm] {1}$ mit [mm] $\frac{1+x}{1-x}=y$ [/mm] gibt. Auch dies folgt durch einfaches Ausrechnen und Beachten der Voraussetzungen.
Versuch es einfach mal und melde dich ggf. mit Rechnungen zurück.
Viel Erfolg!
Liebe Grüße,
Hanno
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Hey Hanno, zunächst mal vielen Dank für deine Antwort.
Keine Ahnung auf welchem Schlauch ich gestanden habe, auf jeden Fall hast du mich darunter geholt 
Eine Sache gibts da aber noch.
Und zwar betreffend der Surjektivität.
Wenn ich nach x aufgelöst habe, komm ich auf
x = [mm] \bruch{y - 1}{y + 1}. [/mm]
Reicht das nicht aus, um die Surjektivität zu zeigen ?? Was meinst du mit den Vorraussetzungen ? Was genau muß ich noch ergänzen ?
Grüße Chiro
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:34 Do 16.12.2004 | | Autor: | Hanno |
Hallo Chironismus!
Nur unter der Voraussetzung, dass [mm] $y\not= [/mm] 1$ ist, ist das $x$ in allen Fällen definiert (wenn für $y=-1$ ist der Bruch undefiniert). Das meinte ich damit. Du hast alles richtig gemacht ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") .
Liebe Grüße,
Hanno
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:05 Fr 17.12.2004 | | Autor: | Chironimus |
Ich danke dir !!
Grüße Chiro
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:56 Do 16.12.2004 | | Autor: | Seto |
Also bijektiv heißt ja surjektiv und injektiv,
sicher ist #IR -{1} = #IR -{-1} => surjektiv
Injetivität heißt für f( [mm] x_{1} [/mm] ) =f( [mm] x_{2} [/mm] ) => [mm] x_{1} [/mm] = [mm] x_{2}
[/mm]
bzw. (wems lieber is) f( [mm] x_{1} [/mm] ) [mm] \not= [/mm] f( [mm] x_{2} [/mm] )=> [mm] x_{1} \not= x_{2}
[/mm]
also einfach ausrechnen:
[mm] \bruch{1+x1}{1-x1} [/mm] = [mm] \bruch{1+x2}{1-x2}
[/mm]
(1+x1)(1-x2)=(1+x2)(1-x1)
1+x1-x2-x1x2=1+x2-x1-x1x2
x1-x2=x2-x1
2x1=2x2 => x1=x2 , d.h. Injektivität erfüllt
Manchmal ist es auch leichter eine Umkehrfunktion zu konstruieren
[mm] f^{-1} [/mm] : IR -{-1} [mm] \to [/mm] IR -{1} mit x [mm] \mapsto \bruch{-1}{y+1} [/mm]
Bew.
x= [mm] \bruch{1+y}{1-y}
[/mm]
y(1-x)-1-x=0
y-yx-1-x=0
x(-y-1)=1
x= [mm] \bruch{-1}{y+1} [/mm] q.e.d.
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![[]](/images/popup.gif){kind=small}
Kardinalzahl![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
