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Bijektivität, Injektivität usw: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:53 Mo 27.01.2014
Autor: Ultramann

Hallo,

D → ℝ

Ich habe die Funktionen log(x) und [mm] x^{2}. [/mm]

Nun soll ich den Definitionsbereich und Bild angeben. Außerdem soll ich sagen ob die Funktion injektiv, surjektiv oder bijektiv ist.

Ich habe einen Lösungsansatz, weiß aber nicht ob das stimmt...



log(x)

Definitionsbereich würde ich jetzt ℝ sagen, in der Lösung steht aber ℝ ^{+} . Was auch immer das heißt... Kann mir das jemand erklären?

Bild weiß ich nicht. In der Lösung steht ℝ.  Ich verstehe das noch nicht zu 100% mit dem Bild. Muss ich da für x nicht irgendwelche Zahlen einsetzen und schauen in welchem Zahlenbereich ich lande?

Wie schaue ich nun ob log(x) in-, sur- und/oder bijektiv ist?



Dieselbe Verwirrung herrscht bei mir auch bei

[mm] x^{2} [/mm]

Müsste der Definitionsbereich nicht ℝ sein? Beim Bild habe ich wieder leider keine Ahnung. In der Lösung steht das Bild sei ℝ [mm] ^{+}_{0} [/mm] Was auch immer das heißen soll... ℝ sind ja eigentlich die rellen Zahlen, aber das Plus und die Null verwirren mich...

Und auch hier, wie schaue ich ob es in-, sur- und/oder bijektiv ist?


        
Bezug
Bijektivität, Injektivität usw: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:06 Mo 27.01.2014
Autor: Richie1401

Hallo,

> Hallo,
>  
> D → ℝ
>  
> Ich habe die Funktionen log(x) und [mm]x^{2}.[/mm]
>  
> Nun soll ich den Definitionsbereich und Bild angeben.
> Außerdem soll ich sagen ob die Funktion injektiv,
> surjektiv oder bijektiv ist.
>  
> Ich habe einen Lösungsansatz, weiß aber nicht ob das
> stimmt...
>  
>
>
> log(x)
>  
> Definitionsbereich würde ich jetzt ℝ sagen, in der
> Lösung steht aber ℝ ^{+} . Was auch immer das heißt...
> Kann mir das jemand erklären?

[mm] \IR^+ [/mm] meint alle reellen positiven Zahlen. Also: [mm] \IR^+=\{x\in\IR|\ x>0\} [/mm]

Grund: [mm] f(x)=\log(x) [/mm] ist nur auf der reellen x-Achse definiert. Es existiert übrigens auch nicht log(0).


>  
> Bild weiß ich nicht. In der Lösung steht ℝ.  Ich
> verstehe das noch nicht zu 100% mit dem Bild. Muss ich da
> für x nicht irgendwelche Zahlen einsetzen und schauen in
> welchem Zahlenbereich ich lande?

Im Prinzip setzt du den gesamten Definitionsbereich ein, und erhältst so Werte, die das Bild darstellen. Also mehr symbolisch:

$Bild=f(Wertebereich)$

>  
> Wie schaue ich nun ob log(x) in-, sur- und/oder bijektiv
> ist?

Weißt du denn, was injektiv, surjektiv, bijektiv bedeutet?

>  
>
>
> Dieselbe Verwirrung herrscht bei mir auch bei
>  
> [mm]x^{2}[/mm]
>  
> Müsste der Definitionsbereich nicht ℝ sein?

Ja, das stimmt. Kannst du das auch begründen?

> Beim Bild
> habe ich wieder leider keine Ahnung. In der Lösung steht
> das Bild sei ℝ [mm]^{+}_{0}[/mm] Was auch immer das heißen
> soll... ℝ sind ja eigentlich die rellen Zahlen, aber das
> Plus und die Null verwirren mich...

Du weißt ja nun, was [mm] \IR^+ [/mm] bedeutet. Der INdex Null sagt nun noch, dass die Null mit dazukommt.


Ist bis hierhin alles klar? Denn ansonsten sollten wir das erst einmal klären.

Liebe grüße

>  
> Und auch hier, wie schaue ich ob es in-, sur- und/oder
> bijektiv ist?
>  


Bezug
                
Bezug
Bijektivität, Injektivität usw: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:27 Mo 27.01.2014
Autor: Ultramann

Achso. R+ gilt nur für die positiven reellen Zahlen, ok das verstehe ich.

Wenn ich bei log(x) alle Zahlen aus dem Definitionsbereich einsetze (also alle positiven reellen zahlen) wie kann denn das Bild ganz R sein? Welche Zahl müsste denn eingesetzt werden um von R auf R+ zu kommen?

Dass der Definitionsbereich von [mm] x^{2} [/mm] R ist habe ich mehr oder weniger geraten. Muss man das auswenig lernen was für was definiert ist?
R+0 wiederum macht Sinn. R+, weil in R eine Zahl mit sich selbst multipliziert nie 0 ergibt. Aber warum auch die 0? Weil [mm] 0^{2} [/mm] = 0 ist? Aber laut Definitionsbereich, also R, darf ich die 0 doch gar nicht einsetzen...

Und zur Sur-, In- und Bijektivität.

Ich weiß was alles bedeutet. Nur weiß ich nicht genau wie ich das kontrollieren kann.
Zum Beispiel Kontrolle der Injektivität bei log(x).
Ich müsste irgendwie kontrollieren ob ein Wert aus R+ nur genau einmal in R angenommen wird. An Bildern, weiß ich ganz genau wie ich das zu verstehen habe, aber so theoretisch weiß ich leider nicht, wie ich die Aufgabe "anzupacken" habe....

Bezug
                        
Bezug
Bijektivität, Injektivität usw: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:01 Di 28.01.2014
Autor: meili

Hallo,

> Achso. R+ gilt nur für die positiven reellen Zahlen, ok
> das verstehe ich.
>  
> Wenn ich bei log(x) alle Zahlen aus dem Definitionsbereich
> einsetze (also alle positiven reellen zahlen) wie kann denn
> das Bild ganz R sein?

Ja, probier es doch mal aus.
Natürlich kannst du nicht alle $x [mm] \in \IR^+$ [/mm] einsetzen, aber nimm einige
Beispiele: x = 1, x = 2, x = 3, x = 10, x = 100, x = 10000,
x = 0,5, x = 0,1, x = 0,01, x = 0,001.

Was ist [mm] $\limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] log(x)$ ?

Was ist [mm] $\limes_{x\rightarrow 0} [/mm] log(x)$ ?

> Welche Zahl müsste denn eingesetzt
> werden um von R auf R+ zu kommen?

Mir scheint du vertauscht in Gedanken Definitionsbereich und Bild.

Für log dürfen die Zahlen nur aus [mm] $\IR^+_$ [/mm] sein (Definitionsbereich) $x [mm] \in \IR^+$. [/mm]
Das Bild ist aber [mm] $\IR$. [/mm] ($log(x) [mm] \in \IR$) [/mm]

Man könnte den Definitionsbereich weiter einschränken,
z.B. auf D = [mm] $\{ x \in \IR | x > 1\}$, [/mm] um als Bild dann [mm] $\IR^+$ [/mm] zu erhalten.

>  
> Dass der Definitionsbereich von [mm]x^{2}[/mm] R ist habe ich mehr
> oder weniger geraten. Muss man das auswenig lernen was für
> was definiert ist?

Mehr oder weniger schon.

Erst mal von [mm] $\IR$ [/mm] ausgehen, dann sehen, ob etwas nicht definiert ist,
wie teilen durch 0, Logarithmus aus 0 oder negative Zahlen.
Wie ist es mit Wurzeln?

>  R+0 wiederum macht Sinn. R+, weil in R eine Zahl mit sich
> selbst multipliziert nie 0 ergibt. Aber warum auch die 0?

Was gibt eine negative Zahl mit sich selbst multipliziert?

> Weil [mm]0^{2}[/mm] = 0 ist? Aber laut Definitionsbereich, also R,
> darf ich die 0 doch gar nicht einsetzen...

Wenn der Definitionbereich doch [mm] $\IR$ [/mm] ist, so kannst du doch 0 einsetzen ($0 [mm] \in \IR$). [/mm]
[mm] $0^2 [/mm] = 0$

>  
> Und zur Sur-, In- und Bijektivität.
>  
> Ich weiß was alles bedeutet. Nur weiß ich nicht genau wie
> ich das kontrollieren kann.
>  Zum Beispiel Kontrolle der Injektivität bei log(x).
>  Ich müsste irgendwie kontrollieren ob ein Wert aus R+ nur
> genau einmal in R angenommen wird. An Bildern, weiß ich

Nein, ob jeder Wert aus [mm] $\IR$ [/mm] nur genau einmal angenommen wird.

Vielleicht geht es mit einem Widerspruchsbeweis:
Sei log(x) = log(y).
Wenn du zeigen kannst, daraus folgt x = y.

> ganz genau wie ich das zu verstehen habe, aber so
> theoretisch weiß ich leider nicht, wie ich die Aufgabe
> "anzupacken" habe....

Gruß
meili

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