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Bijektivität einer Funktion: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:27 Mo 19.09.2011
Autor: tanye

Aufgabe
Zeigen Sie, dass die Funktion sin : [−Pi/2, Pi/2] → [−1, 1]bijektiv ist und folglich eine differenzierbare Umkehrfunktion besitzt.

Hi Zusammen :) ,

Ich hab mir den Kosinus in diesem Intervall aufgezeichnet , dann habe ich gesehen , dass er nur oberhalb der X-Achse verläuft in dem Bereich von -Pi/2 bis Pi/2. Aber jetzt muss ich doch theoretisch den Bereich unterhalb der X-Achse und eine Seite der Y-Achse ausschließen sonst wäre die Funktion doch nicht bijektiv.Denn wenn ich an der Y-Achse eine Waagerechte lege hätte ich unterhalb der X-Achse keinen dazugehörigen Funktionswert und oberhalb der X-Achse hätte mehr als einen Funktionswert...Kann jmd helfen ?

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
viele Grüße und Dankeschön - Tanye

        
Bezug
Bijektivität einer Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:37 Mo 19.09.2011
Autor: fred97


> Zeigen Sie, dass die Funktion sin : [−Pi/2, Pi/2] →
> [−1, 1]bijektiv ist und folglich eine differenzierbare
> Umkehrfunktion besitzt.

Aber Achtung: diese Umkehrfunktion ist in den Punkten -1 und 1 nicht differenzierbar !!!

>  Hi Zusammen :) ,
>  
> Ich hab mir den Kosinus in diesem Intervall aufgezeichnet ,
> dann habe ich gesehen , dass er nur oberhalb der X-Achse
> verläuft in dem Bereich von -Pi/2 bis Pi/2. Aber jetzt
> muss ich doch theoretisch den Bereich unterhalb der X-Achse
> und eine Seite der Y-Achse ausschließen sonst wäre die
> Funktion doch nicht bijektiv.Denn wenn ich an der Y-Achse
> eine Waagerechte lege hätte ich unterhalb der X-Achse
> keinen dazugehörigen Funktionswert und oberhalb der
> X-Achse hätte mehr als einen Funktionswert...Kann jmd
> helfen ?

Ich verstehe nicht so recht, von was Du sprichst !

Sei f(x):=sin(x). Zeigen sollst Du:

               $f: [mm] [-\pi/2, \pi/2] \to [/mm] [-1,1]$ ist bijektiv.

Wegen $f'(x)= cos(x) [mm] \ge [/mm] 0$  für $x [mm] \in [-\pi/2, +\pi/2] [/mm] $ und  $f'(x)= cos(x) > 0$  für $x [mm] \in (-\pi/2, \pi/2) [/mm] $  ist f auf  [mm] [-\pi/2, \pi/2] [/mm]  streng wachsend und damit injektiv.

Wegen [mm] f(-\pi/2)=-1 [/mm] und [mm] f(\pi/2)=1 [/mm] und wegen des Zwischenwertsatzes folgt dann noch:

          $f: [mm] [\pi/2, -\pi/2] \to [/mm] [-1,1]$ ist surjektiv.

FRED

>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>  viele Grüße und Dankeschön - Tanye


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