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Bijektivität komplexer Funktio: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:32 So 27.11.2005
Autor: veloxid

Hi

Ich hab soll folgende Funktion auf injektiv, surjektiv und bijektiv untersuchen.
Hab es aber nicht hinbekommen die Funktion so umzuformen, dass man das alles sehen kann.

Hier die Funktion:

f: [mm] \IC \backslash {z_{0}}\to \IC, z\mapsto \bruch{z+z_{0}}{z-z_{0}} [/mm] wobei [mm] z_{0} \in\IC [/mm]


Kann mir da irgendjemand helfen und mir nen Tipp geben wie ich sowas lösen muss? Hab das Problem bei reelen Funktionen nicht gehabt, sondern nur bei komplexen Funktionen.

Gruss Felix

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Bijektivität komplexer Funktio: Tipp
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:19 So 27.11.2005
Autor: kunzm

Hallo Felix,

wenn du Injektivität und Surjektivität nachgewiesen hast, ist die Funktion per definitionem bijektiv. Da [mm]f[/mm] auf [mm]\mathbb{C}[/mm] ohne [mm]z_{0}[/mm] stetig ist, musst Du für die Injektivität von [mm]f[/mm] (z.B. durch Gleichsetzen) beweisen, dass

[mm]f(z)\not= f(z') \forall z\not=z'[/mm], [mm]z,z'\in \mathbb{C}[/mm].

Dabei würde ich [mm]z=a+ib[/mm], [mm]a,b \in \mathbb{R}[/mm] verwenden.
Surjektivität kann man wie folgt definieren:

[mm]f:X \rightarrow Y[/mm], [mm]X[/mm], [mm]Y[/mm] beliebig. Ist [mm]f(X)=Y[/mm], gibt es also zu jedem [mm]y\in Y[/mm] mindestens ein [mm]x\in X[/mm] mit [mm]f(x)=y[/mm] heißt [mm]f[/mm] surjektiv.

Gruß, Martin

Bezug
        
Bezug
Bijektivität komplexer Funktio: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:21 So 27.11.2005
Autor: felixf


> Hier die Funktion:
>  
> f: [mm]\IC \backslash {z_{0}}\to \IC, z\mapsto \bruch{z+z_{0}}{z-z_{0}}[/mm]
> wobei [mm]z_{0} \in\IC[/mm]

Du kannst sie umformen zu [mm]z \mapsto 1 + \frac{2 z_0}{z - z_0}[/mm]. Hierdran kann man das alles ein wenig besser ablesen, bzw. erstmal einen Fall ausschliessen in dem es auf keinen Fall injektiv oder surjektiv ist. Wenn du den Fall ausgeschlossen hast kannst du durch anwenden von bijektiven Abbildungen vor oder hinter der Funktion sie auf eine viel einfachere Form bringen, und spaetestens da siehst du dann alle Eigenschaften... wenn nicht frag nochmal :-)

Gruss von einem anderen Felix :-)


Bezug
                
Bezug
Bijektivität komplexer Funktio: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 02:03 Mo 28.11.2005
Autor: veloxid

HI

Ich hab durch lösen der Gleichung  f(x)=f(y) rausgefunden dass x=y sein muss.
Daher bin ich schon mal weiter gekommen.
Meine Überlegungen zur Bijektivität sahen folgender maßen aus:

ich suche mir die Umkehrabbildung. und kann daran dann sehen, dass sie nicht surjektiv ist. Weil die Umkehrabbildung bei einem wert nicht definiert ist.
Ist solch ein vorgehen in ordnung?

gruss Felix

Bezug
                        
Bezug
Bijektivität komplexer Funktio: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:14 Mi 30.11.2005
Autor: felixf

Hi,

> Ich hab durch lösen der Gleichung  f(x)=f(y) rausgefunden
> dass x=y sein muss.

Fuer jedes [mm] $z_0$?! [/mm]

>  Daher bin ich schon mal weiter gekommen.
>  Meine Überlegungen zur Bijektivität sahen folgender maßen
> aus:
>  
> ich suche mir die Umkehrabbildung. und kann daran dann
> sehen, dass sie nicht surjektiv ist. Weil die
> Umkehrabbildung bei einem wert nicht definiert ist.
>  Ist solch ein vorgehen in ordnung?

Ich denke ja. Aufschreiben wuerd ich es allerdings wie folgt: gib an, welcher Wert nicht angenommen wird (das hast du ja rausgefunden, und falls es mehrere sind nimm den bei dem man es am einfachsten zeigen kann) und beweise diese Aussage.

HTH Felix



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