Bijektivität von Abbildung < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:39 So 28.10.2012 | | Autor: | acid |
| Aufgabe | Definiere [mm] \sigma [/mm] : [mm] \IN \to \IZ [/mm] durch
[mm] \sigma(2k) [/mm] := k, k=1,2,..., und [mm] \sigma(2k+1) [/mm] = -k, k = 0,1,2,...
Zeige, dass [mm] \sigma [/mm] bijektiv ist. Finde eine Darstellung für [mm] \sigma^{-1} [/mm] : [mm] \IZ \to \IN. [/mm] Prüfe damit [mm] \sigma \circ \sigma^{-1} [/mm] = [mm] id_{\IZ} [/mm] und [mm] \sigma^{-1} \circ \sigma [/mm] = [mm] id_{\IN}. [/mm] |
Hallo,
ich habe echt ein Problem mit dieser Aufgabe. Um zu zeigen, dass die Abbildung bijektiv ist, muss ich ja zeigen, dass sie surjektiv und injektiv ist.
Für injektiv wollte ich eigentlich [mm] \sigma(x_1) [/mm] = [mm] \sigma(x_2) \Rightarrow x_1 [/mm] = [mm] x_2 [/mm] zeigen, bloß weiß ich nicht, wie ich mit den unterschiedlichen Argumenten umgehen soll, eigentlich sind es ja zwei Abbildungen. Kann mir da vielleicht jemand einen Tipp geben?
Als Umkehrabbildungen habe ich [mm] \sigma^{-1}(k) [/mm] = 2k und [mm] \sigma^{-1}(-k) [/mm] = 2k+1. Stimmt das soweit?
Auch beim dritten Teil weiß ich nicht genau, was es da zu prüfen gibt - im Prinzip ist das doch schon eine Regel. Oder muss ich da die "richtigen" Abbildungen einsetzen und nach etwas auflösen? Wär nett, wenn mir das jemand erklären könnte, bin etwas ratlos.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Viele Grüße!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:03 So 28.10.2012 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Ich würde so vorgehen:
Injektivität: Zeige, dass die Abbildung auf den geraden Zahlen injektiv ist und auf den ungeraden Zahlen auch. Danach kannst du die Injektivität insgesamt durch eine Fallunterscheidung zeigen, z.B. indem du [mm] $x_1 \not= x_2 \Rightarrow \sigma(x_1)\not= \sigma(x_2)$ [/mm] zeigst. Dabei unterscheidest du zwischen [mm] x_1 [/mm] gerade/ungerade und [mm] x_2 [/mm] gerade/ungerade. Hilft dir das?
Surjektivität: Nimm dir einfach ein beliebiges $n [mm] \in \IZ$. [/mm] Zu zeigen: Es existiert ein k mit [mm] $\sigma(k)=n$. [/mm] Auch hier ist der Tipp eine Fallunterscheidung zu machen [mm] ($n\ge0$? [/mm] $n<0$?). Damit hast du dann auch schon direkt deine Umkehrfunktion.
Und ja, am Ende musst du wirklich nochmal diese Gleichheiten prüfen. Diese sollten natürlich perfekt aufgehen, weil du ja vorher schon gezeigt hast, dass [mm] \sigma [/mm] bijektiv ist. Rechne dann also z.B. [mm] \sigma(\sigma^{-1}(k)) [/mm] aus und schau, ob wirklich k rauskommt.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:33 So 28.10.2012 | | Autor: | acid |
Hallo,
vielen Dank für die Antwort, das hat auf jeden Fall schonmal geholfen! Ich habe es jetzt mal so versucht:
Injektivität
Für gerade Zahlen: [mm] \sigma(2k_1) [/mm] = [mm] \sigma(2k_2)
[/mm]
Dann ist ja nach der Abbildung immer [mm] k_1 [/mm] = [mm] k_2.
[/mm]
Für ungerade Zahlen: [mm] \sigma(2k_1+1) [/mm] = [mm] \sigma(2k_2+1)
[/mm]
Nach der Abbildung: [mm] -k_1 [/mm] = [mm] -k_2 \Rightarrow k_1 [/mm] = [mm] k_2.
[/mm]
Surjektivität
Für n [mm] \ge [/mm] 0: [mm] \sigma(2k) [/mm] = n [mm] \Rightarrow [/mm] k = n.
Das stimmt ja für k [mm] \in \IN [/mm] nicht für n = 0, oder?
Für n < 0: [mm] \sigma(2k+1) [/mm] = n [mm] \Rightarrow [/mm] -k = n, was ja für alle k [mm] \in \IN [/mm] stimmt.
Reicht das schon? Oder fehlt da noch etwas?
Für den zweiten Teil hätte ich jetzt an so etwas gedacht:
[mm] \sigma(\sigma^{-1}(k)) [/mm] = [mm] \sigma(2k) [/mm] = k
[mm] \sigma^{-1}(\sigma(2k)) [/mm] = [mm] \sigma^{-1}(k) [/mm] = 2k
Mich verwirrt nur, dass da dieses [mm] id_{\IN} [/mm] in der Aufgabe steht. Muss ich damit nichts mehr zeigen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:57 So 28.10.2012 | | Autor: | Teufel |
Sieht doch schon mal gut aus!
Bei der Injektivität fehlt allerdings noch der Fall, dass ein Argument gerade und das andere ungerade ist. Dieser Fall ist aber auch sehr einfach!
Vielleicht bietet sich hier an, die Injektivität diesmal zu zeigen, indem du [mm] $n_1 \not= n_2 \Rightarrow \sigma(n_1)\not= \sigma(n_2)$ [/mm] zeigst. Wenn du es aber machen willst, wie bei den anderen Fällen, geht das natürlich auch. Ich glaube nur, dass die Kontraposition hier etwas einfacher wäre.
Die Surjektivität würde ich noch etwas ausformulieren. In etwa wie "Sei $n>0$. Dann gilt [mm] \sigma(2n)=n." [/mm] Gib das Urbild also am besten direkt an. Das würde so auch schon reichen. Und falls [mm] $n\le [/mm] 0$, kannst du auch einfach ein Urbild angeben. Und nimm am besten die Fallunterscheidung für n, die ich gerade hier nochmal geschrieben habe. Habe vorher nicht genau geschaut, ob man durch eine gerade oder ungerade Zahl auf die 0 kommt.
Dann gib erst mal [mm] \sigma^{-1} [/mm] mit einer Vorschrift an. Also z.B. [mm] \sigma^{-1}(k)=2k [/mm] für k>0 usw. Aber ich sehe, dass du damit auch schon richtig gerechnet hast.
Um die letzten beiden Sachen zu zeigen, würde ich wieder eine Fallunterscheidung machen. Das ist hier alles etwas anstrengend, aber ich glaube, dass das hier nicht kürzer geht. :)
Zeigen wir z.B. $ [mm] \sigma \circ \sigma^{-1} [/mm] = [mm] id_\IZ$. $id_\IZ$ [/mm] ist einfach nur die Identität auf [mm] \IZ, [/mm] d.h. [mm] $id_\IZ: \IZ \rightarrow \IZ, [/mm] n [mm] \mapsto [/mm] n$. Solch eine Gleichheit von 2 Funktionen kann man ganz allgemein immer nachweisen, indem man das für alle Argumente nachprüft, d.h. du zeigst [mm] (\sigma \circ \sigma^{-1})(k) [/mm] = [mm] id_\IZ(k) \gdw \sigma(\sigma^{-1}(k))=k [/mm] für alle $k [mm] \in \IZ$. [/mm] Ich würde also wieder anfangen mit "Sei $k [mm] \in \IZ$ [/mm] und $k>0$. Dann gilt [mm] \sigma(\sigma^{-1}(k))=\sigma(2k)=k." [/mm] Für k>0 ist das also ok. Nun noch für alle anderen k.
Und bei der anderen Gleichung machst du auch wieder eine Fallunterscheidung nach gerade/ungerade.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:58 Mo 29.10.2012 | | Autor: | acid |
Hi, ein paar Fragen habe ich noch:
[mm] k_1 \not= k_2 \Rightarrow \sigma(2k_1) \not= [/mm] - [mm] \sigma(2k_2+1).
[/mm]
Das ist doch eigentlich nicht das, was ich bei der Injektivität zeigen wollte. Muss ich schon von [mm] -k_2 [/mm] ausgehen?
Zur Surjektivität steht da ja dann "Sei n > 0. Dann gilt [mm] \sigma(2n)=n \Rightarrow [/mm] n=n." Und damit ist das bewiesen? Für n [mm] \le [/mm] 0 würde dann ja da stehen [mm] \sigma(2n+1) [/mm] = n [mm] \Rightarrow [/mm] -n = n, was ja nicht sein kann. Da darf ich mir dann ein eigenes Urbild aussuchen, oder wie hast du das gemeint?
Den Rest habe ich aber soweit verstanden, vielen Dank schonmal! :)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:48 Mo 29.10.2012 | | Autor: | Teufel |
Zur Injektivität nochmal:
Mit [mm] n_1 [/mm] und [mm] n_2 [/mm] meinte ich einfach 2 natürliche, von denen eine gerade und die andere ungerade sein soll. Wenn die beiden ungleich sind (was ja nicht so verwunderlich sein solle ;)), dann will ich zeigen, dass auch die Bilder unterschiedlich sind. (das ist äquivalent dazu zu zeigen, dass aus gleichen Bildern gleiche Urbilder folgen).
Nun ist aber das eine Bild (echt) Positiv und das andere Bild negativ, also...
Zur Surjektivität:
Genau, für n>0 bist du fertig. Du kannst dir irgendein n>0 aussuchen und ich habe dir ein Urbild dafür angegeben, nämlich 2n. Vielleicht etwas systematischer: Falls n>0, dann weißt du, dass das Urbild gerade sein muss. Das heißt, dass es von der Form 2k ist. Und dann siehst du [mm] \sigma(2k)=k [/mm] und das soll =n sein [mm] \Rightarrow [/mm] k=n.
Nun für [mm] $n\le [/mm] 0$: Für ein beliebiges n suchst du ein l mit [mm] \sigma(l)=n. [/mm] Wegen [mm] $n\le [/mm] 0$ muss l ungerade sein, d.h. die Form 2k+1 haben. Dann ist [mm] \sigma(2k+1)=-k [/mm] und das soll =n sein. d.h. du hast k=-n. Damit ist dein Urbild sozusagen -2n+1. Das ist auch stets positiv, weil hier ja für n nur negative Werte zugelassen sind.
Alles klar?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:12 Mo 29.10.2012 | | Autor: | acid |
Okay, jetzt habe ich es soweit. Vielen Dank!
|
|
|
|
