Bijektivität von Kompositionen < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:17 Mi 12.11.2008 | | Autor: | hrttoz |
| Aufgabe | Seien [mm] A, B, C [/mm] gegebene Mengen, [mm] f: A \to B [/mm] und [mm] g: B \to C [/mm] Abbildungen. Dann ist auch [mm] h := g \circ f: A \to C [/mm] eine Abbildung (Warum?). Zeigen Sie:
a) f surjektiv und g surjektiv [mm] \Rightarrow [/mm] h surjektiv
b) f injektiv und g injektiv [mm] \Rightarrow [/mm] h injektiv
c) h surjektiv [mm] \Rightarrow [/mm] g surjektiv
d) h injektiv [mm] \Rightarrow [/mm] f injektiv |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo.
Teil a) habe ich - denke ich - gelöst. Ich wollte ich erkundigen, ob dies so OK ist und ich die anderen Teilaufgaben nach dem gleichen Prinzip lösen kann.
a)
zu jedem [mm] b \varepsilon B [/mm] gibt es ein [mm] a \varepsilon A [/mm] mit f(a)=b
zu jedem [mm] c \varepsilon C [/mm] gibt es ein [mm] b \varepsilon B [/mm] mit g(b)=c
zu zeigen: zu jedem [mm] c \varepsilon C [/mm] gibt es ein [mm] a \varepsilon A [/mm] mit f(a)=c
[mm] h(a) = g (f(a)) = g(b) = c [/mm]
Kann man das so schreiben? ist die Aussage dann schon gezeigt?
Gruß
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:36 Mi 12.11.2008 | | Autor: | hrttoz |
Hier noch Teil b)
ist f injektiv, dann gibt es zu jedem b [mm] \varepsilon [/mm] f(B) genau ein a [mm] \varepsilon [/mm] A mit f(a) = b
ist g injektiv, dann gibt es zu jedem c [mm] \varepsilon [/mm] g(C) genau ein b [mm] \varepsilon [/mm] B mit g(b) = c
zu zeigen:
ist h injektiv, dann gibt es zu jedem c [mm] \varepsilon [/mm] h(C) genau ein a [mm] \varepsilon [/mm] A mit h(a) =c
h(a) = g(f(a)) = g(b) = c
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:30 Sa 15.11.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:53 Mi 12.11.2008 | | Autor: | fred97 |
> Seien [mm]A, B, C[/mm] gegebene Mengen, [mm]f: A \to B [/mm] und [mm]g: B \to C[/mm]
> Abbildungen. Dann ist auch [mm]h := g \circ f: A \to C[/mm] eine
> Abbildung (Warum?). Zeigen Sie:
>
> a) f surjektiv und g surjektiv [mm]\Rightarrow[/mm] h surjektiv
> b) f injektiv und g injektiv [mm]\Rightarrow[/mm] h injektiv
> c) h surjektiv [mm]\Rightarrow[/mm] g surjektiv
> d) h injektiv [mm]\Rightarrow[/mm] f injektiv
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo.
>
> Teil a) habe ich - denke ich - gelöst. Ich wollte ich
> erkundigen, ob dies so OK ist und ich die anderen
> Teilaufgaben nach dem gleichen Prinzip lösen kann.
>
> a)
> zu jedem [mm]b \varepsilon B[/mm] gibt es ein [mm]a \varepsilon A[/mm] mit
> f(a)=b
> zu jedem [mm]c \varepsilon C[/mm] gibt es ein [mm]b \varepsilon B[/mm] mit
> g(b)=c
>
> zu zeigen: zu jedem [mm]c \varepsilon C[/mm] gibt es ein [mm]a \varepsilon A[/mm]
> mit f(a)=c
>
> [mm]h(a) = g (f(a)) = g(b) = c[/mm]
>
> Kann man das so schreiben? ist die Aussage dann schon
> gezeigt?
Nein. Vielleicht meinst Du das Richtige. Mache es so:
Sei c [mm] \in [/mm] C. Dann gibt es ein b [mm] \in [/mm] B mit c=g(b). Weiter gibt es ein a [mm] \in [/mm] A mit b = f(a).
Dann ist h(a) = g(f(a)) = g(b) = c
FRED
>
> Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:00 Mi 12.11.2008 | | Autor: | hrttoz |
Danke für die schnelle Antwort.
Ja, genau so habe ich es gemeint. Allerdings kann ich den Unterschied nicht erkennen, worin liegt der?
Und wäre in diese Schreibweise die Lösung zu b):
Sei $ c [mm] \in [/mm] g(C) $. Dann gibt es genau ein $ b [mm] \in [/mm] B $ mit $ c = g(b) $.
Weiter gibt es ein $ b [mm] \in [/mm] f(B) $ mit genau einem $ a [mm] \in [/mm] A $ mit
$ b=f(a) $
Dann gibt es zu jedem $ c [mm] \in [/mm] h(C) $ genau ein $ a [mm] \in [/mm] A $ mit
$ h(a)=g(f(a))=g(b)=c $
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:05 Mi 12.11.2008 | | Autor: | fred97 |
> Danke für die schnelle Antwort.
>
> Ja, genau so habe ich es gemeint. Allerdings kann ich den
> Unterschied nicht erkennen, worin liegt der?
In der Reihenfolge. Du mußt ein c in C vorgeben, dann in der Menge B operieren und dann in A
FRED
>
> Und wäre in diese Schreibweise die Lösung zu b):
> Sei [mm]c \in g(C) [/mm]. Dann gibt es genau ein [mm]b \in B[/mm] mit [mm]c = g(b) [/mm].
>
> Weiter gibt es ein [mm]b \in f(B)[/mm] mit genau einem [mm]a \in A[/mm] mit
> [mm]b=f(a)[/mm]
> Dann gibt es zu jedem [mm]c \in h(C)[/mm] genau ein [mm]a \in A[/mm] mit
> [mm]h(a)=g(f(a))=g(b)=c[/mm]
>
> Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:40 So 16.11.2008 | | Autor: | hrttoz |
Teil b) habe ich nun so gelöst:
Sei $ c [mm] \in [/mm] f(B) $ Dann gibt es genau ein $ b [mm] \in [/mm] B $ mit g(b)=c
Weiter gibt es zu jedem $ b [mm] \in [/mm] f(A) $ genau ein $ a [mm] \in [/mm] A $ mit f(a) = b
Dann gibt es zu jedem $ c [mm] \in [/mm] h(A) $ genau ein $ a [mm] \in [/mm] A $ mit
h(a) = g(f(a)) = g(b) = c
Ich finde es nur seltsam dass der Schluss ähnlich ist wie in Teil a)?
bei Teil c) und Teil d) bin ich etwas ins Straucheln geraten
c) Sei $ c [mm] \in [/mm] C $. Dann gibt es ein $ a [mm] \in [/mm] A $ mit h(a) = g (f (a)) = c.
Somit gibt es ein $ b [mm] \in [/mm] B $ mit g(b) = c
d) und bei d habe ich gar keine Idee die passen könnte.
Hat jemand einen Tip, wie ich bei d Anfangen kann und ob c und b so ok sind?
Gruß
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Hallo,
Du hast Funktionen
[mm] f:A\to [/mm] B
[mm] g:B\to [/mm] C
[mm] h:=g\circ [/mm] f: [mm] A\to [/mm] C.
Nun willst Du zeigen:
> > > b) f injektiv und g injektiv $ [mm] \Rightarrow [/mm] $ h injektiv .
Das A und O ist es, daß man sich vor dem Beweis die Voraussetzungen aufschreibt, und auch das, was zu zeigen ist.
Dies ist der Zeitpunkt, zu dem man sich spätestens mit den vorkommenden Begriffen vertraut machen muß. Hier: injektiv.
Erst dann ist es sinnvoll, mit dem Beweis zu beginnen.
> Teil b) habe ich nun so gelöst:
> Sei [mm]c \in f(B)[/mm]
Das ist doch schon deshalb Unfug, weil f eine Abbildung ist, deren Definitionsbereich lt. Voraussetzung die Menge A ist.
Du kannst f nicht auf Elemente der Menge B anwenden.
> Dann gibt es genau ein [mm]b \in B[/mm] mit g(b)=c
Hier arbeitest Du mit der Surjektivität, welche nicht vorausgesetzt war.
Ich zeig Dir jetzt mal, wie man den Beweis vorbereitet:
Voraussetzung: f injektiv und g injektiv, dh.
für alle [mm] a_i\in [/mm] A gilt: [mm] f(a_1)=f(a_2) [/mm] ==> [mm] a_1=a_2,
[/mm]
und
für alle [mm] b_i \in [/mm] B gilt: [mm] g(b_1)=g(b_2) [/mm] ==> [mm] b_1=b_2.
[/mm]
Zu zeigen: dann ist [mm] h:=g\circ [/mm] f injektiv, dh.
für alle [mm] a_i \in [/mm] A gilt: [mm] g\circ [/mm] f [mm] (a_1)=g\circ [/mm] f [mm] (a_2) [/mm] ==> [mm] a_1=a_2.
[/mm]
Beweis: Seinen [mm] a_1, a_2 \in [/mm] A und sei
[mm] g\circ [/mm] f [mm] (a_1)=g\circ [/mm] f [mm] (a_2) [/mm]
==>
g( [mm] f(a_1))=g(a_2) [/mm] ) nach def. der verkettung
==> .... Jetzt Du.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:21 Mi 19.11.2008 | | Autor: | hrttoz |
Hallo.
Danke für die Hilfe.
Beweis: Seinen $ [mm] a_1, a_2 \in [/mm] $ A und sei
[mm] g\circ [/mm] f [mm] (a_1)=g\circ [/mm] f $ [mm] (a_2) [/mm] $
<=>
[mm] $g$($f(a_1)) =$g$($f(a_2)) [/mm] nach def. der verkettung (ich glaube da war noch ein Tippfehler im rechten Teil der Gleichung)
==>
[mm] $f(a_1) [/mm] = [mm] $f(a_2) [/mm] da g injektiv ist ($ [mm] g(b_1)=g(b_2) [/mm] $ ==> $ [mm] b_1=b_2. [/mm] $)
==>
[mm] $a_1 [/mm] = [mm] $a_2 [/mm] da f injektiv ($ [mm] f(a_1)=f(a_2) [/mm] $ ==> $ [mm] a_1=a_2, [/mm] $)
Danke für den Tip. Der Anfang hat mir gefehlt.
Grüße
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