Bijektivität von tan < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass tan das Intervall [mm](-\bruch{\pi}{2}, \bruch{\pi}{2})[/mm] bijektiv auf [mm]\IR[/mm] abbildet. |
Hallo zusammen,
bijektiv bedeutet ja, dass eine Abbildung [mm]f : D \to M[/mm]
- sowohl injektiv ( [mm]f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow x_1 = x_2[/mm] für alle [mm]x_1,x_2 \in D[/mm] )
- als auch surjektiv ( [mm]f(D) = M[/mm] ) ist.
In diesem Fall muss ich also zeigen, dass [mm]tan : \left ( - \frac{\pi}{2} , \frac{\pi}{2} \right ) \to \IR[/mm] bijektiv ist.
Was die Injektivität angeht, müsste das dann ja heißen:
[mm]tan(x_1) = tan(x_2) \Rightarrow \bruch{sin(x_1)}{cos(x_1)} = \bruch{sin(x_2)}{cos(x_2)}[/mm]
Was aber muss ich tun, um (zunächst einmal) Letzteres zu zeigen?
Viele Grüße
Patrick
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:23 So 09.12.2012 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Multiplizier mal über Kreuz und bringe alles auf eine Seite. Danach Stichwort Additionstheoreme.
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Hi Teufel,
danke für Deine Hilfe.
> Multiplizier mal über Kreuz und bringe alles auf eine
> Seite. Danach Stichwort Additionstheoreme.
Dann komme ich auf
[mm]sin(x_1)*cos(x_2) - sin(x_2)*cos(x_1) = 0[/mm]
[mm]sin(x_1 - x_2) = 0[/mm]
Mittels arcsin auf beiden Seiten folgt dann:
[mm]x_1 - x_2 = 0[/mm]
[mm]x_1 = x_2[/mm]
Schlussendlich:
[mm]tan(x_1) = tan(x_2) \Rightarrow x_1 = x_2[/mm]
Wenn ich hier keinen Fehler gemacht habe, dann hätte ich damit zumindest schon einmal die Injektivität gezeigt.
Wie zeige ich jetzt die Surjektivität – ich würde mich freuen, wenn ich auch da einen Tipp bekommen würde.
Viele Grüße
Patrick
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:11 So 09.12.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
wo hast du das Def.intervall verwendet, allgemein ist das ja nicht richtig!
2. welche Werte nimmt tan denn in dem Intervall an?
gruss leduart
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Hallo leduart,
> wo hast du das Def.intervall verwendet, allgemein ist das
> ja nicht richtig!
das hab ich gar nicht verwendet (was sicher eine blöde Idee war). An welcher Stelle muss ich das Definitionsintervall denn verwenden?
> 2. welche Werte nimmt tan denn in dem Intervall an?
Als bijektive Funktion müsste der Wertebereich ja gleich dem Definitionsbereich sein: [mm]\IR \setminus \left \{ \bruch{\pi}{2} * (2k+1) | k \in \IZ \right \}[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:11 So 09.12.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. sin(x1-x2)=0 heisst i.A. [mm] x1-x2=n*\pi n=0,\pm1,....
[/mm]
dein Def. Bereich war doch [mm] (-\pi/2,\pi/2) [/mm] wird auf [mm] \IR [/mm] abgebildet, nicht auf sich selbst!
der Satz:"Als bijektive Funktion müsste der Wertebereich ja gleich dem Definitionsbereich sein: "
ist falsch!
Gruss leduart
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Hallo nochmals,
> 1. sin(x1-x2)=0 heisst i.A. [mm]x1-x2=n*\pi n=0,\pm1,....[/mm]
Das [mm]arcsin(sin(x_1-x_2)) = x_1-x_2[/mm] ist, sehe ich ein – aber warum ist [mm]arcsin(0) = n*\pi n[/mm] ?
> dein Def. Bereich war doch [mm](-\pi/2,\pi/2)[/mm] wird auf [mm]\IR[/mm]
> abgebildet, nicht auf sich selbst!
> der Satz:"Als bijektive Funktion müsste der Wertebereich
> ja gleich dem Definitionsbereich sein: "
> ist falsch!
Okay. Leider sehe ich nur nicht, was ich damit jetzt anfangen kann …
Viele Grüße
Patrick
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 So 09.12.2012 | | Autor: | Lustique |
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> Hallo nochmals,
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> > 1. sin(x1-x2)=0 heisst i.A. [mm]x1-x2=n*\pi n=0,\pm1,....[/mm]
>
> Das [mm]arcsin(sin(x_1-x_2)) = x_1-x_2[/mm] ist, sehe ich ein –
> aber warum ist [mm]arcsin(0) = n*\pi n[/mm] ?
>
Hallo, ich "beantworte" nur mal eben diese Frage mit einem Hinweis: sin ist periodisch.
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> Hallo nochmals,
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> > 1. sin(x1-x2)=0 heisst i.A. [mm]x1-x2=n*\pi n=0,\pm1,....[/mm]
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> Das [mm]arcsin(sin(x_1-x_2)) = x_1-x_2[/mm] ist, sehe ich ein –
> aber warum ist [mm]arcsin(0) = n*\pi n[/mm] ?
Hallo,
den arcsin sollten wir vorerst aus dem Spiel lassen.
Nur soviel:
arcsin(sin(100-10)) ist keinesfalls =90,
und aus sin(x)=0 folgt nicht, daß x=0.
Was willst Du? Du willst zeigen, daß der tan über dem Intervall [mm] \left ( - \frac{\pi}{2} , \frac{\pi}{2} \right [/mm] ) injektiv ist.
Seien also [mm] x_1,x_2\in \left ( - \frac{\pi}{2} , \frac{\pi}{2} \right [/mm] ) mit
[mm] tan(x_1) [/mm] = [mm] tan(x_2) [/mm] .
Im Thread wurde festgestellt, daß daraus folgt
[mm] sin(x_1-x_2)=0.
[/mm]
==> [mm] x_1-x_2=n*\pi [/mm] für ein [mm] n\in\IZ [/mm]
==> [mm] x_1=x_2+n*\pi [/mm] für ein [mm] n\in\IZ
[/mm]
Da nun [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] nach Voraussetzung aus [mm] \left ( - \frac{\pi}{2} , \frac{\pi}{2} \right [/mm] ) sind,
muß n was sein?
Also ist der tan über dem fraglichen Intervall injektiv.
> > dein Def. Bereich war doch [mm](-\pi/2,\pi/2)[/mm] wird auf [mm]\IR[/mm]
> > abgebildet, nicht auf sich selbst!
> > der Satz:"Als bijektive Funktion müsste der
> Wertebereich
> > ja gleich dem Definitionsbereich sein: "
> > ist falsch!
>
> Okay. Leider sehe ich nur nicht, was ich damit jetzt
> anfangen kann …
???
Du könntest Dich z.B. von dem Irrglauben trennen, daß Def.- und Wertebereich gleich sein müssen.
Ich glaub', Du hast etwas verwechselt: wenn man nämlich eine Funktion mit Umkehrfunktion hat, ist der Def.bereich der einen der Wertebereich der anderen und umgekehrt.
LG Angela
>
> Viele Grüße
> Patrick
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Hallo Angela,
> den arcsin sollten wir vorerst aus dem Spiel lassen.
> Nur soviel:
> arcsin(sin(100-10)) ist keinesfalls =90,
> und aus sin(x)=0 folgt nicht, daß x=0.
danke für Klarstellung.
> Was willst Du? Du willst zeigen, daß der tan über dem
> Intervall [mm]\left ( - \frac{\pi}{2} , \frac{\pi}{2} \right[/mm] )
> injektiv ist.
>
> Seien also [mm]x_1,x_2\in \left ( - \frac{\pi}{2} , \frac{\pi}{2} \right[/mm]
> ) mit
>
> [mm]tan(x_1)[/mm] = [mm]tan(x_2)[/mm] .
>
> Im Thread wurde festgestellt, daß daraus folgt
>
> [mm]sin(x_1-x_2)=0.[/mm]
>
> ==> [mm]x_1-x_2=n*\pi[/mm] für ein [mm]n\in\IZ[/mm]
> ==> [mm]x_1=x_2+n*\pi[/mm] für ein [mm]n\in\IZ[/mm]
>
> Da nun [mm]x_1[/mm] und [mm]x_2[/mm] nach Voraussetzung aus [mm]\left ( - \frac{\pi}{2} , \frac{\pi}{2} \right[/mm]
> ) sind,
> muß n was sein?
Vielleicht mache ich mir das zu einfach, aber ich würde n so darstellen:
[mm]n = \bruch{x_1-x_2}{\pi}[/mm]
Somit steht dann da
[mm]x_1 - x_2 = \bruch{x_1-x_2}{\pi} * \pi = x_1 - x_2[/mm]
> Also ist der tan über dem fraglichen Intervall injektiv.
>
> Du könntest Dich z.B. von dem Irrglauben trennen, daß
> Def.- und Wertebereich gleich sein müssen.
>
> Ich glaub', Du hast etwas verwechselt: wenn man nämlich
> eine Funktion mit Umkehrfunktion hat, ist der Def.bereich
> der einen der Wertebereich der anderen und umgekehrt.
Das hört sich tatsächlich sogar intuitiv richtig an: Definitionsbereich und Wertebereich werden quasi gespiegelt.
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> > Du willst zeigen, daß der tan über dem
> > Intervall [mm]\left ( - \frac{\pi}{2} , \frac{\pi}{2} \right[/mm] )
> > injektiv ist.
> >
> > Seien also [mm]x_1,x_2\in \left ( - \frac{\pi}{2} , \frac{\pi}{2} \right[/mm]) mit
> >
> > [mm]tan(x_1)[/mm] = [mm]tan(x_2)[/mm] .
> >
> > Im Thread wurde festgestellt, daß daraus folgt
> >
> > [mm]sin(x_1-x_2)=0.[/mm]
> >
> > ==> [mm]x_1-x_2=n*\pi[/mm] für ein [mm]n\in\IZ[/mm]
> > ==> [mm]x_1=x_2+n*\pi[/mm] für ein [mm]n\in\IZ[/mm]
> >
> > Da nun [mm]x_1[/mm] und [mm]x_2[/mm] nach Voraussetzung aus [mm]\left ( - \frac{\pi}{2} , \frac{\pi}{2} \right[/mm] ) sind,
> > muß n was sein?
>
> Vielleicht mache ich mir das zu einfach, aber ich würde n
> so darstellen:
>
> [mm]n = \bruch{x_1-x_2}{\pi}[/mm]
Hallo,
die Umformung ist natürlich richtig, aber sie bringt Dich nicht vorwärts.
Wir hatten: [mm] $sin(x_1-x_2)=0$
[/mm]
An welchen Stellen ist der sin denn =0?
An allen ganzzahligen Vielfachen von [mm] \pi, [/mm] schau's Dir ggf. am Graphen an.
Also ist [mm] x_1-x_2 [/mm] ein ganzzahligens Vielfaches von [mm] \pi.
[/mm]
Dh es ist
[mm] \vdots
[/mm]
[mm] x_1-x_2=-3\pi
[/mm]
oder
[mm] x_1-x_2=-2\pi
[/mm]
oder
[mm] x_1-x_2=-\pi
[/mm]
oder
[mm] x_1-x_2=0
[/mm]
oder
[mm] x_1-x_2=\pi
[/mm]
oder
[mm] x_1-x_2=2\pi
[/mm]
oder
[mm] x_1-x_2=3\pi
[/mm]
oder
[mm] \vdots.
[/mm]
Bedenke nun, daß [mm] x_1, x_2 [/mm] beide aus dem Intervall [mm] (-\pi/2,\pi/2) [/mm] sind.
Wie weit konnen die max auseinanderliegen.
Welche von obigen Gleichungen ist also die einzige, die in Anbetracht der Voraussetzung infrage kommt?
LG Angela
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[mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] können so maximal [mm] \pi [/mm] auseinander liegen, oder? Denn dann würden sie an den Rändern des Intervals liegen.
Wobei [mm] -\pi/2 [/mm] und [mm] \pi/2 [/mm] ja gar nicht im Intervall liegen. So gesehen wäre [mm] \pi [/mm] dann doch wieder falsch.
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> [mm]x_1[/mm] und [mm]x_2[/mm] können so maximal [mm]\pi[/mm] auseinander liegen,
> oder? Denn dann würden sie an den Rändern des Intervals
> liegen.
>
> Wobei [mm]-\pi/2[/mm] und [mm]\pi/2[/mm] ja gar nicht im Intervall liegen. So
> gesehen wäre [mm]\pi[/mm] dann doch wieder falsch.
Hallo,
eben.
Somit bleibt doch von den ganzen Möglichkeiten, die ich sogar gelistet habe, nur eine übrig.
LG Angela
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Hallo Angela,
vielen Dank für Deine Bemühungen.
> Somit bleibt doch von den ganzen Möglichkeiten, die ich
> sogar gelistet habe, nur eine übrig.
Dann bleibt wohl nur [mm]x_1-x_2 = 0[/mm] übrig.
Also könnte ich das wie folgt festhalten, oder?
(Denn damit ist ja gezeigt, dass tan im angegebenen Intervall surjektiv ist.)
[mm]tan(x_1) = tan(x_2) \Rightarrow sin(x_1-x_2) = 0 \underbrace{\gdw}_{x_1,x_2 \in \left ( -\bruch{\pi}{2}, \bruch{\pi}{2} \right )} sin(0) = 0[/mm]
Viele Grüße
Patrick
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>
> Hallo Angela,
>
> vielen Dank für Deine Bemühungen.
>
> > Somit bleibt doch von den ganzen Möglichkeiten, die ich
> > sogar gelistet habe, nur eine übrig.
>
> Dann bleibt wohl nur [mm]x_1-x_2 = 0[/mm] übrig.
Hallo,
ja.
Sofern [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] aus dem fraglichen intervall sind, folgt aus [mm] tan(x_1)=tan(x_2) [/mm] also über einige Zwischenschritte,
daß [mm] x_1-x_2=0, [/mm] dh. [mm] x_1=x_2.
[/mm]
Damit ist die Injektivität des tan auf dem besagten Intervall gezeigt.
>
> Also könnte ich das wie folgt festhalten, oder?
> (Denn damit ist ja gezeigt, dass tan im angegebenen
> Intervall surjektiv ist.)
>
> [mm] tan(x_1) [/mm] = [mm] tan(x_2) \Rightarrow sin(x_1-x_2) [/mm] = 0
Soweit ist das richtig.
> [mm] \underbrace{\gdw}_{x_1,x_2 \in \left ( -\bruch{\pi}{2}, \bruch{\pi}{2} \right )} [/mm] sin(0) = 0
Das ist Quatsch.
sin(0)=0, weil das halt so ist, und nicht, weil das aus [mm] sin(x_1-x_2)=0 [/mm] folgt.
Ich hab' oben ja geschrieben, wie die richtige Argumentation ist.
LG Angela
>
> Viele Grüße
> Patrick
>
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Hallo Angela,
> > [mm]tan(x_1)[/mm] = [mm]tan(x_2) \Rightarrow sin(x_1-x_2)[/mm] = 0
>
> Soweit ist das richtig.
>
>
> > [mm]\underbrace{\gdw}_{x_1,x_2 \in \left ( -\bruch{\pi}{2}, \bruch{\pi}{2} \right )}[/mm]
> sin(0) = 0
>
> Das ist Quatsch.
>
> sin(0)=0, weil das halt so ist, und nicht, weil das aus
> [mm]sin(x_1-x_2)=0[/mm] folgt.
> Ich hab' oben ja geschrieben, wie die richtige
> Argumentation ist.
Ich wollte damit eigentlich auch nur darstellen, dass [mm]x_1-x_2 = 0[/mm], aber das ist wohl nichts geworden.
Bei der Surjektivität würde ich Euch ebenfalls noch einmal um Hilfe bitten.
Zu zeigen ist:
Zu jedem [mm]y \in \IR[/mm] gibt es ein <span class="math">[mm]x \in \left ( -\bruch{\pi}{2}, \bruch{\pi}{2} \right )[/mm] mit <span class="math">[mm]tan(x) = y[/mm] .
Ich habe mich bereits daran versucht und bin auf <span class="math"><span class="math">[mm]x = arctan(y) + \pi*n[/mm] gekommen, was aber sicher nicht das gesuchte x sein kann.
Viele Grüße
Patrick</span></span></span></span>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:35 Mi 12.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
>
> Hallo Angela,
>
> > > [mm]tan(x_1)[/mm] = [mm]tan(x_2) \Rightarrow sin(x_1-x_2)[/mm] = 0
> >
> > Soweit ist das richtig.
> >
> >
> > > [mm]\underbrace{\gdw}_{x_1,x_2 \in \left ( -\bruch{\pi}{2}, \bruch{\pi}{2} \right )}[/mm]
> > sin(0) = 0
> >
> > Das ist Quatsch.
> >
> > sin(0)=0, weil das halt so ist, und nicht, weil das aus
> > [mm]sin(x_1-x_2)=0[/mm] folgt.
> > Ich hab' oben ja geschrieben, wie die richtige
> > Argumentation ist.
>
> Ich wollte damit eigentlich auch nur darstellen, dass
> [mm]x_1-x_2 = 0[/mm], aber das ist wohl nichts geworden.
ich hab' das ganze jetzt eher überflogen, aber vielleicht meinst Du ja
einfach folgendes:
Sind [mm] $x_1,x_2$ [/mm] so, dass [mm] $x_1-x_2 \in (-\pi/2,\pi/2)$ [/mm] gilt, dann gilt [mm] $\sin(x_1-x_2)=0$ [/mm] genau dann, wenn [mm] $x_1-x_2=0\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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> Bei der Surjektivität würde ich Euch ebenfalls noch
> einmal um Hilfe bitten.
>
> Zu zeigen ist:
> Zu jedem [mm]y \in \IR[/mm] gibt es ein [mm]x \in \left ( -\bruch{\pi}{2}, \bruch{\pi}{2} \right )[/mm]
> mit <span class="math">[mm]tan(x) = y[/mm] .
>
> Ich habe mich bereits daran versucht und bin auf <span <br=""><span class="math">[mm]x = arctan(y) + \pi*n[/mm]
> gekommen, was aber sicher nicht das gesuchte x sein kann.
Hallo,
die Sache ist die: solange Du nicht gezeigt hast, daß tan bijektiv ist, ist es sinnlos, über die Umkehrfunktion arctan zu reden, denn die kann man ja nur definieren, wenn der tan bijektiv ist.
Wenn Du die Surjektivität zeigen möchtest, indem Du ein x angibst, so daß tan(x)=y für zuvor gewähltes y, wirst Du Schiffbruch erleiden.
Man muß hier raffinierter vorgehen.
Ich nehme ja an, daß einige Eigenschaften des tan bereits gezeigt wurden, z.B. stetig, diffbar, die Ableitung, die Grenzwerte an den Intervallgrenzen.
Dann gibt es noch einen Satz, der einem etwas über Monotonie und Bijektivität berichtet...
LG Angela
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> Viele Grüße
> Patrick</span></span></span>
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