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| Aufgabe | Sei (V; [mm] \beta [/mm] ) endl.-dim. orthogonaler [mm] \IR-VR. [/mm] U,W sind Teilräme von V mit [mm] \beta [/mm] ist pos.-definit auf U und [mm] -\beta [/mm] pos.-definit auf W und U+W=V
Sei B eine Orthogonalbasis von V und r die Anzahl der [mm] v\in [/mm] B mit [mm] \beta(v,v) [/mm] > 0 und s die Anzahl der [mm] v\in [/mm] B mit [mm] \beta [/mm] (v,v) < 0.
zz.: dimU=r, dimW=s und [mm] \{W,U\} [/mm] ist direkte Zerlegung von V und [mm] \beta [/mm] ist n.a. |
Hallo,
ich weiss nicht so recht wie ich an die Dimension rankomme und ob das alles so korrekt ist.
Das mit dem r und s sieht nach dem Satz von Sylvester aus.
a.) Ich fang mal an mit der direkten Zerlegung.
Klar ist, dass [mm] U\bigcap [/mm] W [mm] =\{0_{V}\} [/mm] ist. (Nun bin ich doch shon fertig, da [mm] \beta [/mm] symm. ist oder?)
b.) [mm] \beta [/mm] ist n.a. ist auch klar, da nach a.) gilt: [mm] \forall v\in V\backslash \{0_{V}\} [/mm] : [mm] \beta [/mm] (v,v ) [mm] \not= [/mm] 0.
und [mm] 0_{V} [/mm] ist immer El von [mm] V^{\perp} [/mm] (stimmt dies tatsächlich - oder bilde´ich mir das nur ein?)
Nun zur Dimension.
Sei n:=dimV. Ich weiss nach a.) gilt dimU+dimW=dimV.
Und ich weiss immerhin, dass es eine Orthogonal-Basis [mm] B_{U} [/mm] von U gibt mit [mm] \beta(v,v)>0 [/mm] f.a. [mm] v\in B_{U}
[/mm]
Ebenso gibt es eine Orthogonal-Basis von [mm] B_{W} [/mm] von W mit [mm] \beta(v,v)<0 [/mm] f.a. [mm] v\in B_{W}
[/mm]
Darf ich nun sagen, dass [mm] B_{W}\bigcup B_{U} [/mm] Basis von V ist (da {U,W} dir. Zerlegung/Summe ist)?
Dann wäre mit dem Satz von Sylvester auch die Dimensionsfrage gelöst.
Ich bin mir aber bei der ganzen Sache nicht wirklich sicher.
Ich danke vielmals fürs drüberschauen!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 So 06.06.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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