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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 06:03 Do 23.02.2006 | | Autor: | shogo2 |
| Aufgabe | | Es seien A und B zwei n x m- Matrizen, und C eine invertierbare Matrix mit AC=B. Zeigen sie: Bild (A) = Bild (B) |
Hallo allerseits,
ich habe überhaupt keine Idee, wie ich diese Aufgabe lösen soll. Kann mir jemand helfen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo und guten Morgen,
die Matrizen kann man ja als Abbildungen
[mm] A,B\colon\IR^n\to\IR^m,\:\:\: x\mapsto A\cdot x\:\: bzw.\:\: x\mapsto B\cdot [/mm] x
auffassen,
und dann ist
[mm] Bild(A)=\{v\in \IR^m|\:\exists x\in\IR^n\:\: s.d.\:\: Ax=v\}
[/mm]
und Bild(B) analog definiert.
Zu zeigen ist: Bild(A)=Bild(B).
Wir zeigen [mm] ''\subseteq'', [/mm] dann geht [mm] ''\supseteq'' [/mm] analog.
Gelte also [mm] v=A\cdot [/mm] x, zu zeigen ist: Es gibt [mm] y\in\IR^n [/mm] mit By=v.
Wegen AC=B, also wegen der Invertierbarkeit von C
[mm] A=B\cdot C^{-1}
[/mm]
gilt somit
v=Ax= [mm] B\cdot C^{-1}\cdot [/mm] x, d.h. wir setzen y:= [mm] C^{-1}\cdot [/mm] x.
Gruss,
Mathias
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:57 Do 23.02.2006 | | Autor: | shogo2 |
Danke für die ausführliche Erklärung!
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