Bild/Kern bestimmen < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:07 So 28.12.2008 | | Autor: | farnold |
| Aufgabe | Sei F: [mm] IR^3 [/mm] -> [mm] IR^2 [/mm] gegeben durch
[mm] \pmat{ 2 & 1 & 3 \\ -4 & -2& -6 }
[/mm]
Bestimme Bild/Kern und Rang |
zum Bild:
Vorgehensweise: die Matrix einfach auf Zeilenstufenform bringen und Basisvektoren ablesen:
[mm] \pmat{ 2 & 1 & 3 \\ -4 & -2 & -6 } [/mm] I * (-2) | I+II =>
[mm] \pmat{ 2 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 }
[/mm]
=> die Dimension des Bildes ist eins Basis des Bildes ist B:=<(2,1,3)>
zum Kern:
dank der Dimensionformel wissen wir, dass dimKer + dimIm = [mm] dimIR^3 [/mm] ist
=> dimKer = 2
zur Bestimmung der Basis vom Kern
[mm] \pmat{ 2 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 }
[/mm]
=> [mm] x_{2} [/mm] und [mm] x_{3} [/mm] belibig
K:=<(2,1,0),(0,1,3)>
ist das so richtig?
und was meint man wenn nach dem Rang gefragt wird, ist das einfach dimIm?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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.> Sei F: [mm]IR^3[/mm] -> [mm]IR^2[/mm] gegeben durch
> [mm]\pmat{ 2 & 1 & 3 \\ -4 & -2& -6 }[/mm]
> Bestimme Bild/Kern und
> Rang
> zum Bild:
>
> Vorgehensweise: die Matrix einfach auf Zeilenstufenform
> bringen und Basisvektoren ablesen:
>
> [mm]\pmat{ 2 & 1 & 3 \\ -4 & -2 & -6 }[/mm] I * (-2) | I+II =>
> [mm]\pmat{ 2 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm]
> => die Dimension des
> Bildes ist eins
Hallo,
das stimmt.
Basis des Bildes ist B:=<(2,1,3)>
Es kann (2,1,3) schon deshalb keine basis des Bildes sein, weil die Abbildung F in den [mm] \IR^{\red{2}} [/mm] abbildet.
Das Bild ist also eine Teilmenge des [mm] \IR^2.
[/mm]
Das Bild ist ja der Raum, der von den Spalten aufgespannt wird, die 3 Spaltenvektoren erzeugen das Bild, und Du sollst nun hiervon eine Basis angeben.
Die passenden Vorbereitungen, die ZSF, hast Du bereits getroffen, und Du weißt schon, daß das Bild die dim 1 hat.
Nimm Dir aus den drei Spaltenvektoren einen heraus, und schon hast Du die Basis.
Du kannst sie auch aus der ZSF sehen: das führende Element der Nichtnullzeile steht in der 1. Spalte. Also ist der 1. der ursprünglichen Spaltenvektoren eine Basis des Bildes.
Hättest Du irgendwann mal sowas als ZSF
[mm] \pmat{ 2 & 1 & 3 \\ 0&0&5\\0 & 0 & 0 },
[/mm]
also führende Elemente in der 1. und 3. Spalte, so wüßtest Du, daß der erste und dritte der ursprünglichen Spaltenvektoren eine Basis bilden.
> zum Kern:
>
> dank der Dimensionformel wissen wir, dass dimKer + dimIm =
> [mm]dimIR^3[/mm] ist
>
> => dimKer = 2
>
> zur Bestimmung der Basis vom Kern
> [mm]\pmat{ 2 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm]
> => [mm]x_{2}[/mm] und [mm]x_{3}[/mm]
> belibig
Soweit stimmt's.
> K:=<(2,1,0),(0,1,3)>
Die Basisvektoren stimmen nicht, sie werden ja gar nicht auf den Nullvektor abgebildet.
Du sagst [mm] x_2, x_3 [/mm] beliebig.
Wie ist dann [mm] x_1?
[/mm]
Und folglich die Elemente des Kerns [mm] \vektor{x_1\\x_2\\x_3}= [/mm] ... .
> und was meint man wenn nach dem Rang gefragt wird, ist das
> einfach dimIm?
Ja.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:51 So 28.12.2008 | | Autor: | farnold |
> Hallo,
>
>das stimmt.
>
>Basis des Bildes ist B:=<(2,1,3)>
>
>Es kann (2,1,3) schon deshalb keine basis des Bildes sein, >weil die Abbildung F in den $ [mm] \IR^{\red{2}} [/mm] $ abbildet.
>Das Bild ist also eine Teilmenge des $ [mm] \IR^2. [/mm] $
zuerst ist es eine Basis und dann wieder nicht?
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> > Hallo,
> >
> >das stimmt.
> >
> >Basis des Bildes ist B:=<(2,1,3)>
> >
> >Es kann (2,1,3) schon deshalb keine basis des Bildes
> sein, >weil die Abbildung F in den [mm]\IR^{\red{2}}[/mm] abbildet.
> >Das Bild ist also eine Teilmenge des [mm]\IR^2.[/mm]
>
> zuerst ist es eine Basis und dann wieder nicht?
Hallo,
nein zuerst ist die Dimension des Bildes =1,
und als nächstes ist das, was Du angibst, keine Basis des Bildes.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:45 So 28.12.2008 | | Autor: | farnold |
habmir nochmal paar gedanken zum Bild gemacht und bin auf folgenden Lösungsansatz gekommen:
die Anzahl der linear unabhängigen SPALTEN bildet ja die dimIm und die l.u. Spalten eine Basis
kann ich dann nicht einfach die MAtrix transponieren also :
$ [mm] \pmat{ 2 & 1 & 3 \\ -4 & -2& -6 } [/mm] $
=> Transponiert =>
$ [mm] \pmat{ 2 & -4 \\ 1 & -2 \\ 3 & -6 } [/mm] $
=>
$ [mm] \pmat{ 2 & -4 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 } [/mm] $
=> dimIm=1
und B:=(2,-4) bildet eine Basis des Bildes?
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> habmir nochmal paar gedanken zum Bild gemacht und bin auf
> folgenden Lösungsansatz gekommen:
>
> die Anzahl der linear unabhängigen SPALTEN bildet ja die
> dimIm und die l.u. Spalten eine Basis
> kann ich dann nicht einfach die MAtrix transponieren also
> :
>
>
> [mm]\pmat{ 2 & 1 & 3 \\ -4 & -2& -6 }[/mm]
> => Transponiert =>
>
> [mm]\pmat{ 2 & -4 \\ 1 & -2 \\ 3 & -6 }[/mm]
> =>
> [mm]\pmat{ 2 & -4 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 }[/mm]
> => dimIm=1
> und B:=(2,-4) bildet eine Basis des Bildes?
>
>
Hallo,
ja, das kannst Du machen - es ist bloß nicht unbedingt arbeitssparend, weil Du sämtliche Informationen - wie beschrieben - bereits der nichttransponierten ZSF entnehmen kannst.
Aber richtig ist's so.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:19 So 28.12.2008 | | Autor: | farnold |
bei der Bestimmung des BIldes, bist du auf die Matrix:
>$ [mm] \pmat{ 2 & 1 & 3 \\ 0&0&5\\0 & 0 & 0 }, [/mm] $
gekommen. Wie kommt man darauf? Hat diese aber nicht den Rang 2 aber das Bild hat nur den Rang 1?
Um die dimIm zu bestimmen darf ich da eigentlich nur Spaltenumformungen machen oder Zeilenumformungen oder beides? Weil wenn ich Zeilenumformungen mache, sehe ich ja nicht die l.u. Vektoren, bei Spaltenumformungen jedoch schon
> zum Kern:
>
> dank der Dimensionformel wissen wir, dass dimKer + dimIm =
> $ [mm] dimIR^3 [/mm] $ ist
>
> => dimKer = 2
>
> zur Bestimmung der Basis vom Kern
> $ [mm] \pmat{ 2 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 } [/mm] $
> => $ [mm] x_{2} [/mm] $ und $ [mm] x_{3} [/mm] $
> belibig
Soweit stimmt's.
> K:=<(2,1,0),(0,1,3)>
>Die Basisvektoren stimmen nicht, sie werden ja gar nicht >auf den Nullvektor abgebildet.
>Du sagst $ [mm] x_2, x_3 [/mm] $ beliebig.
>Wie ist dann $ [mm] x_1? [/mm] $
also ich wähle für [mm] x_{3} [/mm] = 1 und [mm] x_{2} [/mm] = 0
[mm] 2*x_{1} [/mm] + 1*0 + 3*1 = 0
=> [mm] x_{1} [/mm] = -3/2 = -1,5
=> (-1,5,0,1)
nun noch für [mm] x_{3} [/mm] = 0 und [mm] x_{2} [/mm] = 1
[mm] 2*x_{1} [/mm] + 1*1 + 3*0 = 0
=> [mm] x_{1} [/mm] = -1/2 => -0.5
=> (-0.5,1,0)
=> K:= <(-1,5,0,1),(-0.5,1,0)>
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> bei der Bestimmung des BIldes, bist du auf die Matrix:
>
> >[mm] \pmat{ 2 & 1 & 3 \\ 0&0&5\\0 & 0 & 0 },[/mm]
> gekommen. Wie
> kommt man darauf?
Hallo,
nein, ich habe da nichts gerechnet. Das ist einfach nur ein Beispiel, mit welchem ich das zuvor gesagte nochmal für den fall demonstrieren wollte, daß der Rang nicht =1 ist. Es hat mit Deiner Aufgabe nichts zu tun. Ich schrieb doch auch: hättest Du mal sowas.
> Hat diese aber nicht den Rang 2 aber das
> Bild hat nur den Rang 1?
Die oben präsentierte Matrix hat den Rang 2, also hat ihr Bild die Dimension 2. Wie man eine Basis des Bildes bekommt, hatte ich in dem betreffenden post beschrieben.
> Um die dimIm zu bestimmen darf ich da eigentlich nur
> Spaltenumformungen machen oder Zeilenumformungen oder
> beides?
Wenn es nur darum geht, die Dimension des Bildes zu bestimmen, darfst Du alles tun - aber ratsam ist das nicht, denn Du kannst dann nicht die Basisvektoren ablesen.
> Weil wenn ich Zeilenumformungen mache, sehe ich ja
> nicht die l.u. Vektoren,
Ablesen kannst Du sie wie beschrieben auch nach zeilenumformungen.
> bei Spaltenumformungen jedoch
> schon
das entspricht dann der Vorgehensweise: transponieren und Zeilen umformen.
Ich habe mir angewöhnt, grundsätzlich, egal ob ich Gleichungssysteme löse, Ränge oder Kerne bestimme, immer nur mit Zeilenumformungen zu arbeiten, um gar nicht erst ein Wirrwarr entstehen zu lassen.
>
>
>
> > zum Kern:
> >
> > dank der Dimensionformel wissen wir, dass dimKer + dimIm =
> > [mm]dimIR^3[/mm] ist
> >
> > => dimKer = 2
> >
> > zur Bestimmung der Basis vom Kern
> > [mm]\pmat{ 2 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm]
> > => [mm]x_{2}[/mm] und [mm]x_{3}[/mm]
>
> > belibig
>
> Soweit stimmt's.
>
> > K:=<(2,1,0),(0,1,3)>
>
> >Die Basisvektoren stimmen nicht, sie werden ja gar nicht
> >auf den Nullvektor abgebildet.
>
> >Du sagst [mm]x_2, x_3[/mm] beliebig.
> >Wie ist dann [mm]x_1?[/mm]
>
> also ich wähle für [mm]x_{3}[/mm] = 1 und [mm]x_{2}[/mm] = 0
> [mm]2*x_{1}[/mm] + 1*0 + 3*1 = 0
> => [mm]x_{1}[/mm] = -3/2 = -1,5
> => (-1,5,0,1)
>
> nun noch für [mm]x_{3}[/mm] = 0 und [mm]x_{2}[/mm] = 1
> [mm]2*x_{1}[/mm] + 1*1 + 3*0 = 0
> => [mm]x_{1}[/mm] = -1/2 => -0.5
> => (-0.5,1,0)
>
> => K:= <(-1,5,0,1),(-0.5,1,0)>
>
Ja, so ist's jetzt richtig.
Schreibt Ihr die Vektoren in der Vorlesung eigentlich als Zeilen? Ich finde, daß man in Zeilen manches nicht so gut sieht.
Gruß v. Angela
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