Bild & Urbild einer Abbildung < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:44 So 14.05.2017 | | Autor: | Olli1968 |
| Aufgabe | Definition: Sei f eine Abbildung von M nach N. Sei [mm]H \subseteq M [/mm] und [mm]Y \subseteq N[/mm].
Setze
[mm] f(H)=\{b|b \in N, b=f(x) [/mm] für ein geeignetes [mm] x \in H\} [/mm]
[mm] f(H) [/mm] heißt das Bild von H unter f.
Setze
[mm] f^{-}(Y)={a|a \in M mit f(a) \in Y} [/mm]
[mm] f^{-}(Y) [/mm] heißt das Urbild von Y unter f.
Warnung: Während f Elementen aus M Elemente aus N zuordnet, ordnet [mm]f^{-}[/mm] Teilmengen von N Teilmengen von M zu. Es ist also [mm]f^{-}[/mm] keine Abbildung von N nach M! Es ist [mm]f^{-}[/mm] eine Abbildung von P(N) nach P(M). (P(M) ist die Potenzmenge von M) |
Hallo liebe Mathefreunde,
bei der Bearbeitung meines Übungsblattes habe ich festgestellt, dass mir obige Definition alles andere als wirklich klar ist.
Also den ersten Teil [mm]f(H)[/mm] hatten wir in der Analysis mal als Wertemenge oder Wertevorrat bezeichnet. Beispiel: Sei [mm] f:IR \to IR, x \mapsto x^{2} [/mm] war [mm] f(IR)=IR^{\ge 0} [/mm] also alle positiven Zahlen aus IR.
Nur dieses [mm]f^{-}[/mm] sagt mir nicht wirklich etwas. Es handelt sich hierbei nicht um eine Umkehrfunktion [mm]f^{-1}[/mm], so viel steht fest, aber warum [mm]f^{-}[/mm] nun eine Abbildung von P(N) nach P(M) sein soll, sehe ich überhaupt nicht.
Ich habe zur obigen Definition 2,3 Fragen:
(1) Unter Warnung steht: f ordnet Elementen von M Elementen von N zu. Welches f? Meinen die nun die Abbildung [mm] f:M \to N[/mm]? Die wurde ja so definiert?! oder die Menge [mm]f(H)[/mm]?
(2) Wieso ist [mm]f^{-}[/mm] überhaupt eine Abbildung? Für mich ist [mm]f^{-}(Y)[/mm] einfach eine Menge ...
(3) ... und wenn [mm]f^{-}[/mm] eine Abbildung ist, was wäre denn dann [mm]f^{-}(f(H))[/mm] ???
Die Mengen [mm]f(H) \subseteq N[/mm] und [mm]f^{-}(Y) \subseteq M[/mm] sind mir anschaulich klar und warum diese Bild und Urbild heißen, aber den Rest verstehe ich absolut nicht :-(
Könnt ihr mir weiterhelfen??? Danke 
LG Olli
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Hallo,
> Definition: Sei f eine Abbildung von M nach N. Sei [mm]H \subseteq M[/mm]
> und [mm]Y \subseteq N[/mm].
> Setze
> [mm]f(H)=\{b|b \in N, b=f(x)[/mm] für ein geeignetes [mm]x \in H\}[/mm]
>
> [mm]f(H)[/mm] heißt das Bild von H unter f.
>
> Setze
> [mm]f^{-}(Y)={a|a \in M mit f(a) \in Y}[/mm]
> [mm]f^{-}(Y)[/mm] heißt das
> Urbild von Y unter f.
>
> Warnung: Während f Elementen aus M Elemente aus N
> zuordnet, ordnet [mm]f^{-}[/mm] Teilmengen von N Teilmengen von M
> zu. Es ist also [mm]f^{-}[/mm] keine Abbildung von N nach M! Es ist
> [mm]f^{-}[/mm] eine Abbildung von P(N) nach P(M). (P(M) ist die
> Potenzmenge von M)
> Hallo liebe Mathefreunde,
>
> bei der Bearbeitung meines Übungsblattes habe ich
> festgestellt, dass mir obige Definition alles andere als
> wirklich klar ist.
> Also den ersten Teil [mm]f(H)[/mm] hatten wir in der Analysis mal
> als Wertemenge oder Wertevorrat bezeichnet. Beispiel: Sei
> [mm]f:IR \to IR, x \mapsto x^{2}[/mm] war [mm]f(IR)=IR^{\ge 0}[/mm] also alle
> positiven Zahlen aus IR.
>
> Nur dieses [mm]f^{-}[/mm] sagt mir nicht wirklich etwas. Es handelt
> sich hierbei nicht um eine Umkehrfunktion [mm]f^{-1}[/mm], so viel
> steht fest, aber warum [mm]f^{-}[/mm] nun eine Abbildung von P(N)
> nach P(M) sein soll, sehe ich überhaupt nicht.
Nun, zu deiner Abbildung ist keine weitere Eigenschaft bekannt, insbesondere ist sie nicht bijektiv. Das erklärt die 'Warnung'.
>
> Ich habe zur obigen Definition 2,3 Fragen:
> (1) Unter Warnung steht: f ordnet Elementen von M
> Elementen von N zu. Welches f? Meinen die nun die Abbildung
> [mm]f:M \to N[/mm]? Die wurde ja so definiert?! oder die Menge [mm]f(H)[/mm]?
>
Es gibt nur ein f, das ist die Abildung f: [mm] M\to{N}.
[/mm]
> (2) Wieso ist [mm]f^{-}[/mm] überhaupt eine Abbildung? Für mich
> ist [mm]f^{-}(Y)[/mm] einfach eine Menge ...
>
Das hat ja auch mit deinem Verständnisproblem zu tun. Wenn [mm] f^{-} [/mm] eine Abbildung wäre, die Elementen aus N solche aus M zuordnet, dann gäbe es ein Problem mit der Eindeutigkeit. Nimmt man Teilmengen als Elemente, dann hat man dieses Problem nicht.
> (3) ... und wenn [mm]f^{-}[/mm] eine Abbildung ist, was wäre denn
> dann [mm]f^{-}(f(H))[/mm] ???
>
Darüber kann man IMO nichts sagen, so lange man keine weiteren Eigenschaften von f kennt.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:55 So 14.05.2017 | | Autor: | Olli1968 |
Erst mal Danke für die prompte Antwort ....
LG Olli
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:13 Mo 15.05.2017 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
> > (3) ... und wenn [mm]f^{-}[/mm] eine Abbildung ist, was wäre denn
> > dann [mm]f^{-}(f(H))[/mm] ???
> >
>
> Darüber kann man IMO nichts sagen, so lange man keine
> weiteren Eigenschaften von f kennt.
Naja… [mm] $f^{-}(f(H)) \supseteq [/mm] H$
Gruß,
Gono
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:35 Mo 15.05.2017 | | Autor: | Diophant |
Hallo Gono,
> > > (3) ... und wenn [mm]f^{-}[/mm] eine Abbildung ist, was wäre denn
> > > dann [mm]f^{-}(f(H))[/mm] ???
> > >
> >
> > Darüber kann man IMO nichts sagen, so lange man keine
> > weiteren Eigenschaften von f kennt.
>
> Naja… [mm]f^{-}(f(H)) \supseteq H[/mm]
>
Das stimmt natürlich. Ich hielt es für trivial, aber immerhin hat der TS danach gefragt. Danke also für die Ergänzung.
Gruß, Diophant
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Hiho,
> (2) Wieso ist [mm]f^{-}[/mm] überhaupt eine Abbildung? Für mich
> ist [mm]f^{-}(Y)[/mm] einfach eine Menge ...
Du hast völlig recht, dass [mm] $f^{-}(Y)$ [/mm] eine Menge ist… und damit insbesondere eine Teilmenge von M… und damit gilt insbesondere [mm] $f^{-}(Y) \in \mathcal{P}(M)$
[/mm]
Weiterhin ist Y ja eine Teilmenge von N und damit [mm] $Y\in\mathcal{P}(N)$
[/mm]
D.h. die Abbildung$ [mm] f^{-}$ [/mm] bildet [mm] $Y\in\mathcal{P}(N)$ [/mm] auf [mm] $f^{-}(Y) \in \mathcal{P}(M)$ [/mm] ab und damit ist $ [mm] f^{-}$ [/mm] schlichtweg eine Abbildung $ [mm] f^{-}: \mathcal{P}(N) \to \mathcal{P}(M)$
[/mm]
> (3) ... und wenn [mm]f^{-}[/mm] eine Abbildung ist, was wäre denn
> dann [mm]f^{-}(f(H))[/mm] ???
Du kannst dir überlegen, dass immer $H [mm] \subseteq f^{-}(f(H))$ [/mm] gilt.
Gruß,
Gono
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Ich versuche mal, dir den Sachverhalt mit Mengen anschaulich zu erklären.
Wir haben eine Menge M von Fotografen, und jeder Fotograf hat ein Handy, mit dem er Fotos machen kann.
Wir haben eine andere (größere oder kleinere) Menge N von Kindern, von denen Fotos gemacht werden können.
Nun soll jeder Fotograf aus M genau ein Foto von einem beliebigen Kind aus N machen. Das entspricht der Funktion f: Jedem Fotografen aus M wird genau ein Element aus N zugeordnet, nämlich das von ihm fotografierte Kind.
f(x)=y ist das Kind aus N, von dem x aus M ein Foto gemacht hat. Dies ist eine Abbildung von M nach N.
f(H) ist die Menge aller Kinder aus N, von denen ein Fotograf aus H ein Foto gemacht hatte. Manche Kinder wurden vielleicht mehrmals fotografiert, andere vielleicht gar nicht. Es ist so, als würdest du alle Handys der Fotografen aus H einsammeln und dann alle Kinder aus M zu dir bestellen, deren Foto du in diesen Handys findest.
Nun zu [mm] f^{-1}
[/mm]
Du greifst dir irgendeine Untermenge Y aus M heraus und fragst die Fotografen aus M: "Wer von euch hat eines dieser Kinder fotografiert?"
Von manchen Kindern gibt es evtl. gar kein Foto. Manche wurden evtl. mehrmals fotografiert. Alle Fotografen aus M, die sich nun melden, bilden die Menge [mm] f^{-1}(Y).
[/mm]
Auch wenn du nur Kinder nimmst, von denen es gar kein Foto gibt, so gibt es [mm] f^{-1}(Y)=\emptyset.
[/mm]
Wenn jedes Kind aus Y genau einen Fotografen hat, kannst du jedem Kind aus Y genau ein Element aus M zuordnen, und [mm] f^{-1}(y)=x [/mm] wäre eine Abbildung von M nach N ("Umkehrabbildung"). In diesem Fall wären y und x keine Mengen.
Im allgemeinen Fall gibt es aber Kinder mit mehreren oder gar keinem Fotografen, und die Umkehrung wäre nicht möglich, weil nicht jedem Element y aus Y genau ein Element aus M zugeordnet werden kann.
Deshalb ist das Gebilde [mm] f^{-1}(Y) [/mm] eine Abbildung, die der Menge Y dessen "Fotografenmenge" zuordnet. Sie bildet somit Untermengen von N auf Untermengen von M ab, also Elemente der Potenzmenge von N auf Elemente der Potenzmenge von M. Und da es zu jeder Untermenge von N genau eine (evtl. leere) Fotografenmenge gibt, ist dies eine Funktion.
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Was bedeutet nun [mm] f(f^{-1}(Y))?
[/mm]
[mm] f^{-1}(Y) [/mm] ist die Menge aller Fotografen der Kinder aus Y. Jeder von ihnen hat genau ein Foto gemacht, und die fotografierten Kinder sind somit alle in Y. Es können aber auch noch nicht fotografierte Kinder in Y sein. Somit ist [mm] f(f^{-1}(Y)) [/mm] die Menge aller Kinder aus Y, die (evtl. mehrmals) fotografiert wurden. Also weiß man nur: [mm] f(f^{-1}(Y))\subseteq [/mm] Y.
Was bedeutet [mm] f^{-1}(f(A))?
[/mm]
f(A) ist die Menge der Kinder auf den Handys der Fotografen aus A. [mm] f^{-1}(f(A)) [/mm] ist die Menge ihrer Fotografen. Dazu zählen natürlich alle Fotografen aus A. Es kann aber noch andere Fotografen geben, die nicht zu A gehören, auf deren Handys ebenfalls Kinder aus f(A) sind.
Somit weiß man nur: A [mm] \subseteq f^{-1}(f(A)).
[/mm]
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Zusammenfassend kann man sagen:
Die Abbildung f: M [mm] \mapsto [/mm] N induziert eine zusätzliche Abbildung
[mm] F:\mathcal{P}(M)\mapsto \mathcal{P}(N), [/mm] die wegen der Eindeutigkeit dann auch einfach nur mit f bezeichnet wird, sowie eine weitere Abbildung
[mm] F^{-1}:\mathcal{P}(N)\mapsto \mathcal{P}(M), [/mm] die wegen der Eindeutigkeit dann auch einfach nur mit [mm] f^{-1} [/mm] bezeichnet wird.
Ist Y eine Teilmenge von N mit Elementen, die alle genau 1 Foto haben, so induziert f noch die Umkehrabbildung
[mm] f^{-1}: [/mm] N [mm] \mapsto [/mm] M.
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