Bild/Urbild einer Sigma-Algebr < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich soll zeigen, dass das Bild [mm] (\{f(A) : A \in \mathcal{A}\}) [/mm] bzw. Urbild [mm] (\{f^-^1(A) : A \in \mathcal{A}\}) [/mm] einer Sigma-Algebra [mm] \mathcal{A} [/mm] wieder eine Sigma-Algebra auf der selben Grundmenge [mm] \Omega [/mm] ist mit f : [mm] \Omega \to \Omega. [/mm]
Durch Online-Recherche vermute ich zu glauben, dass das Bild i.A. keine Sigma-Algebra ist, das Urbild hingegen schon.
Ich habe mir dann das Ganze mal versucht anhand einer ganz einfachen Grundmenge [mm] \Omega [/mm] = [mm] \{1 , 2 \} [/mm] mit Sigma-Algebra [mm] \{\emptyset , \{1\} , \{2\} , \{1 , 2 \} \} [/mm] vorzustellen, aber mir kommt mein Ansatz f einfach alles auf einen bestimmten Wert aus [mm] \Omega [/mm] (z.B. [mm] \{2\} [/mm] ) abbilden zu lassen, was dann das Bild von f definitiv nicht zu einer Sigma-Algebra macht, dann doch irgendwie zu einfach vor.
Außerdem frage ich mich, ob es der richtige Ansatz ist, wenn ich beim Urbild-Beweis versuche die Sigma-Algebra-Axiome nachzuweisen - also [mm] \emptyset \in \mathcal{A} [/mm] , A [mm] \in \mathcal{A} \Rightarrow A^C \in \mathcal{A} [/mm] , ...
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Vielen Dank für jedwede Hilfe,
Mathegandalf
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:32 Fr 22.10.2010 | | Autor: | pelzig |
> ich soll zeigen, dass das Bild [mm](\{f(A) : A \in \mathcal{A}\})[/mm]
> bzw. Urbild [mm](\{f^-^1(A) : A \in \mathcal{A}\})[/mm] einer
> Sigma-Algebra [mm]\mathcal{A}[/mm] wieder eine Sigma-Algebra auf der
> selben Grundmenge [mm]\Omega[/mm] ist mit f : [mm]\Omega \to \Omega.[/mm]
>
> Durch Online-Recherche vermute ich zu glauben, dass das
> Bild i.A. keine Sigma-Algebra ist, das Urbild hingegen
> schon.
Richtig.
> Ich habe mir dann das Ganze mal versucht anhand einer ganz
> einfachen Grundmenge [mm]\Omega[/mm] = [mm]\{1 , 2 \}[/mm] mit Sigma-Algebra
> [mm]\{\emptyset , \{1\} , \{2\} , \{1 , 2 \} \}[/mm] vorzustellen,
> aber mir kommt mein Ansatz f einfach alles auf einen
> bestimmten Wert aus [mm]\Omega[/mm] (z.B. [mm]\{2\}[/mm] ) abbilden zu
> lassen, was dann das Bild von f definitiv nicht zu einer
> Sigma-Algebra macht, dann doch irgendwie zu einfach vor.
Das ist aber genau richtig. Wenn [mm]f[/mm] nicht surjektiv ist, kann das ja schonmal gar nicht gehen.
> Außerdem frage ich mich, ob es der richtige Ansatz ist,
> wenn ich beim Urbild-Beweis versuche die
> Sigma-Algebra-Axiome nachzuweisen - also [mm]\emptyset \in \mathcal{A}[/mm]
> , A [mm]\in \mathcal{A} \Rightarrow A^C \in \mathcal{A}[/mm] , ...
Das ist genau der richtige Weg (einen anderen gibt es auch nicht)
Viele Grüße,
Robert
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Vielen Dank, Robert, du hast mir damit sehr geholfen.
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