Bild beschreiben unter Log(z) < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:29 Mo 14.09.2009 | | Autor: | kittie |
Hallo zusammen,
ich weiß nicht, ob ich mich gerade etwas blöd anstelle, aber ich habe zu folgender Aufgabe leider keinerlei Ansatz:
Beschreiben und skizzieren sie das Bild der Halbebene D={z: Re(z)>0} unter der Abblidung f(z)=Log(z). Mit Log(z) ist der Hauptzweig gemeint.
Wäre super, wenn mir jemand hierbei weiterhelfen könnte. Ich weiß lieder nicht, wie ich das anzugehen habe (Ohne Graphenprogramm), und muss dieses noch für mehrere Mengen machen.
Hoffe jemand kann mir weiterhelfen.
Vielen Dank im Voraus.
Liebe Grüße, die Kittie
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:59 Mo 14.09.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Kittie
> ich weiß nicht, ob ich mich gerade etwas blöd anstelle,
> aber ich habe zu folgender Aufgabe leider keinerlei
> Ansatz:
> Beschreiben und skizzieren sie das Bild der Halbebene
> D={z: Re(z)>0} unter der Abblidung f(z)=Log(z). Mit Log(z)
> ist der Hauptzweig gemeint.
> Wäre super, wenn mir jemand hierbei weiterhelfen könnte.
> Ich weiß lieder nicht, wie ich das anzugehen habe (Ohne
> Graphenprogramm), und muss dieses noch für mehrere Mengen
> machen.
Nun, du sollst alle $z [mm] \in \IC \setminus \IR_{\le 0}$ [/mm] finden mit [mm] $\exp(z) \in \{ t \mid \Re(t) > 0 \}$, [/mm] also mit [mm] $\Re \exp(z) [/mm] > 0$.
Schreib $z = x + i y$, dann ist [mm] $\exp(z) [/mm] = [mm] \exp(x) \exp(i [/mm] y) = [mm] \exp(x) (\cos [/mm] y + i [mm] \sin [/mm] y)$. Davon kannst du jetzt ganz einfach den Realteil ausrechnen und kannst beschreiben, fuer welche $(x, y)$ gilt [mm] $\Re \exp(z) [/mm] > 0$.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:24 Mo 14.09.2009 | | Autor: | kittie |
Hallo Felix,
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> Nun, du sollst alle [mm]z \in \IC \setminus \IR_{\le 0}[/mm] finden
> mit [mm]\exp(z) \in \{ t \mid \Re(t) > 0 \}[/mm], also mit [mm]\Re \exp(z) > 0[/mm].
Das verstehe ich leider nicht. was soll denn [mm] \Re \exp(z) [/mm] > 0 sein??
> Schreib [mm]z = x + i y[/mm], dann ist [mm]\exp(z) = \exp(x) \exp(i y) = \exp(x) (\cos y + i \sin y)[/mm].
> Davon kannst du jetzt ganz einfach den Realteil ausrechnen
> und kannst beschreiben, fuer welche [mm](x, y)[/mm] gilt [mm]\Re \exp(z) > 0[/mm]
Wo kommt den hier die Abbildung Log(z) ins spiel??
Kannst du mir nochmal helfen??
Das wäre wirklich klasse.
liebe grüße
>
> LG Felix
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:42 Mo 14.09.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo Kittie!
> Hallo Felix,
> >
> > Nun, du sollst alle [mm]z \in \IC \setminus \IR_{\le 0}[/mm] finden
> > mit [mm]\exp(z) \in \{ t \mid \Re(t) > 0 \}[/mm], also mit [mm]\Re \exp(z) > 0[/mm].
>
> Das verstehe ich leider nicht. was soll denn [mm]\Re \exp(z) > 0 [/mm] sein??
Na, der Realteil von [mm] $\exp [/mm] z$ soll größer als 0 sein.
[mm] $\exp$ [/mm] ist ja Umkehrfunktion von [mm] $\log$, [/mm] deswegen kannst du die ursprüngliche Aufgabe:
[mm] \{ w \in \IC \mid w = \log z, \mathop{\mathrm{Re}} z > 0 \} [/mm]
auch schreiben als:
[mm] \{ w \in \IC \mid z = \exp w , \mathop{\mathrm{Re}} z > 0 \} = \{ w \in \IC \mid \mathop{\mathrm{Re}} \exp w > 0 \}[/mm]
Und da kommt Felix' Tipp ins Spiel:
> > Schreib [mm]z = x + i y[/mm], dann ist [mm]\exp(z) = \exp(x) \exp(i y) = \exp(x) (\cos y + i \sin y)[/mm].
> > Davon kannst du jetzt ganz einfach den Realteil ausrechnen
> > und kannst beschreiben, fuer welche [mm](x, y)[/mm] gilt [mm]\Re \exp(z) > 0[/mm]
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:56 Mo 14.09.2009 | | Autor: | kittie |
ahhh, ok...
also ich habe dann für w=u+iv:
exp(w)=exp(u)cos(v)+iexp(u)sin(v)
also Re(exp(w))>0 [mm] \gdw [/mm] cos(v)>0, also v [mm] \in (-\pi/2+2k\pi, \oi/2+2k\pi) [/mm] mit k [mm] \in \IZ. [/mm] Stimmt das so??
Also wäre doch das Bild einfach die rechte Halbebene oder?
Hab ich das richtig gemacht?
Hoffe ja...
viele grüße, die Kittie
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:16 Mo 14.09.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo Kittie!
> ahhh, ok...
>
> also ich habe dann für w=u+iv:
>
> exp(w)=exp(u)cos(v)+iexp(u)sin(v)
>
> also [mm]Re(exp(w))>0 \gdw cos(v)>0[/mm], also [mm]v \in (-\pi/2+2k\pi, \pi/2+2k\pi)[/mm]
> mit [mm]k \in \IZ.[/mm] Stimmt das so??
Richtig.
> Also wäre doch das Bild einfach die rechte Halbebene oder?
Nein, schau dir die Grenzen deiner Intervalle nochmal genau an: von [mm] $-\pi/2$ [/mm] bis [mm] $+\pi/2$, [/mm] von [mm] $3\pi/2$ [/mm] bis [mm] $5\pi/2$, [/mm] usw.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:26 Mo 14.09.2009 | | Autor: | kittie |
ok die vorgehensweise habe ich jetzt verstanden. Vielen Dank dafür!
Leider komme ich mit der interpretation des Bildes nicht ganz so klar!
Kannst du mir nochmal auf die Sprünge helfen?
sind das nicht einfach 2 hoizontale parallele Linien, die sich immer um [mm] \pi [/mm] die imaginäre achse hinaufwandern? oder bin ich jetzt ganz falsch?
Viele Grüße die kittie
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Hallo!
> Kannst du mir nochmal auf die Sprünge helfen?
> sind das nicht einfach 2 hoizontale parallele Linien, die
> sich immer um [mm]\pi[/mm] die imaginäre achse hinaufwandern? oder
> bin ich jetzt ganz falsch?
Das Bild des Hauptzweigs des Logarithmus sieht so aus: (Wie du ausgerechnet hast!): y geht von [mm] -\pi/2 [/mm] bis [mm] +\pi/2.
[/mm]
[Dateianhang nicht öffentlich]
Grüße,
Stefan
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 06:23 Do 17.09.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Stefan
> Das Bild des Hauptzweigs des Logarithmus sieht so aus: (Wie
> du ausgerechnet hast!): y geht von [mm]-\pi/2[/mm] bis [mm]+\pi/2.[/mm]
Genau.
> [Dateianhang nicht öffentlich]
Da fehlt allerdings noch was, und zwar ist z.B. der Punkt $-1 + 0 [mm] \cdot [/mm] i$ auch drinnen. Salopp gesagt, der Streifen geht also auch links bis nach Unendlich.
LG Felix
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Hallo Felix,
stimmt, du hast recht, habe mich von dem [mm] \Re(z) [/mm] > 0 von oben irritieren lassen, was damit ja gar nichts zu tun hat 
Grüße,
Stefan
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