Bild einer linearen Abbildung < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:21 Di 17.08.2010 | | Autor: | M-Ti |
Hallo!
Ich versuche gerade für folgende Matrix
[mm] A=\pmat{ 1 & 2 &3\\ 1&1 & 1\\ 0&1 & 2 }
[/mm]
Rang, Kern und "das Bild der durch A beschriebenen linearen Abbildung" zu bestimmen
Mit Gauß komme ich auf
[mm] \pmat{ 1 & 2 &3\\ 0&-1 & -2\\ 0&0 & 0 }
[/mm]
--> Der Rang ist also 2
Somit ist x3 frei wählbar, ich habe x3=-1 gesetzt und bekommen für den Kern:
[mm] Kern(A)=\vektor{-1 \\ 2\\ -1}
[/mm]
Bis dahin komme ich gut klar, nur beim Bild bin ich mir nicht sicher.
imA=span {Linearkombination der linear unabhängige Spaltenvektoren}
[mm] \alpha*\vektor{1 \\ 1\\0}+\beta\vektor{2 \\ 1\\1}=\vektor{3 \\ 2\\1} [/mm] mit [mm] \alpha=1 [/mm] und [mm] \beta=1
[/mm]
also ist die 3. Spalte linear abhängig von den ersten beiden Spalten.
Das Bild ist also:
imA= span [mm] {\alpha*\vektor{1 \\ 1\\0}+\beta\vektor{2 \\ 1\\1}=\vektor{3 \\ 2\\1}}, \alpha,\beta\in \IR
[/mm]
Aber es ist auch
[mm] \alpha*\vektor{1 \\ 1\\0}+\beta\vektor{3 \\ 2\\1}=\vektor{2 \\ 1\\1} [/mm] mit [mm] \beta=1 [/mm] und [mm] \alpha=-1
[/mm]
wäre es dann auch in der Prüfung richtig wenn ich als Lösung schreibe:
imA= span [mm] {\alpha*\vektor{1 \\ 1\\0}+\beta\vektor{3 \\ 2\\1},\alpha,\beta \in \IR}
[/mm]
weil ja auch der 2. Spaltenvektor abhängig vom 1. und 3 Spaltenvektor ist?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:59 Di 17.08.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Ich versuche gerade für folgende Matrix
>
> [mm]A=\pmat{ 1 & 2 &3\\ 1&1 & 1\\ 0&1 & 2 }[/mm]
>
> Rang, Kern und "das Bild der durch A beschriebenen linearen
> Abbildung" zu bestimmen
>
> Mit Gauß komme ich auf
>
> [mm]\pmat{ 1 & 2 &3\\ 0&-1 & -2\\ 0&0 & 0 }[/mm]
>
> --> Der Rang ist also 2
Ja.
> Somit ist x3 frei wählbar, ich habe x3=-1 gesetzt und
> bekommen für den Kern:
>
> [mm]Kern(A)=\vektor{-1 \\ 2\\ -1}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Bis dahin komme ich gut klar, nur beim Bild bin ich mir
> nicht sicher.
>
> imA=span {Linearkombination der linear unabhängige
> Spaltenvektoren}
>
> [mm]\alpha*\vektor{1 \\ 1\\0}+\beta\vektor{2 \\ 1\\1}=\vektor{3 \\ 2\\1}[/mm]
> mit [mm]\alpha=1[/mm] und [mm]\beta=1[/mm]
>
> also ist die 3. Spalte linear abhängig von den ersten
> beiden Spalten.
>
> Das Bild ist also:
> imA= span [mm]{\alpha*\vektor{1 \\ 1\\0}+\beta\vektor{2 \\ 1\\1}=\vektor{3 \\ 2\\1}}, \alpha,\beta\in \IR[/mm]
Nein. Das ist totaler Quark! Das Bild ist [mm] $span\{ \vektor{1 \\ 1\\0}, \vektor{2 \\ 1\\1} \}$, [/mm] oder es ist [mm] $\{ \alpha*\vektor{1 \\ 1\\0}+\beta\vektor{2 \\ 1\\1} \mid \alpha, \beta \in \IR \}$.
[/mm]
> Aber es ist auch
> [mm]\alpha*\vektor{1 \\ 1\\0}+\beta\vektor{3 \\ 2\\1}=\vektor{2 \\ 1\\1}[/mm]
> mit [mm]\beta=1[/mm] und [mm]\alpha=-1[/mm]
>
> wäre es dann auch in der Prüfung richtig wenn ich als
> Lösung schreibe:
>
> imA= span [mm]{\alpha*\vektor{1 \\ 1\\0}+\beta\vektor{3 \\ 2\\1},\alpha,\beta \in \IR}[/mm]
>
> weil ja auch der 2. Spaltenvektor abhängig vom 1. und 3
> Spaltenvektor ist?
Ja (wenn du es richig aufschreibst).
Es gibt unendlich viele verschiedene Basen vom Bild. Welche du angibst musst du selber wissen. Manche sind halt schoener als andere 
LG Felix
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