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Forum "Lineare Abbildungen" - Bild einer linearen Abbildung
Bild einer linearen Abbildung < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Bild einer linearen Abbildung: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:41 Di 26.02.2013
Autor: piriyaie

Aufgabe
[mm] A=\pmat{ 1 & 2 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 } [/mm]

Hallo,

ich möchte die Basis des Bildes obiger linearer Abbildung angeben.

Meine Strategie: Matrix transponieren dann Gauß anwenden und was nicht zur Nullzeile wird ist dann die Basis des Bildes der linearen Abbildung.

Hier mein Lösungsvorschlag:

[mm] A^{T}= \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 0 } [/mm] ~ 4. Zeile - 2 mal 1. Zeile; 2. Zeile - 2 mal 1. Zeile; 3. Zeile + 1. Zeile [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 } [/mm] ~ 2. Zeile + 4. Zeile; 3. Zeile + 4. Zeile [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 } [/mm]

[mm] \Rightarrow [/mm] w1 = [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] ; w2 = [mm] \vektor{0 \\ -1 \\ 0} [/mm]

Diese zwei Vektoren bilden gemeinsam die Basis des Bildes der obigen linearen Abbildung.

Ist das richtig????

Danke schonmal.

Grüße
Ali
        
Bezug
Bild einer linearen Abbildung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:09 Di 26.02.2013
Autor: steppenhahn

Hallo,


> [mm]A=\pmat{ 1 & 2 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 }[/mm]


> ich möchte die Basis des Bildes obiger linearer Abbildung
> angeben.
>  
> Meine Strategie: Matrix transponieren dann Gauß anwenden
> und was nicht zur Nullzeile wird ist dann die Basis des
> Bildes der linearen Abbildung.

[ok]



> Hier mein Lösungsvorschlag:
>  
> [mm]A^{T}= \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 0 }[/mm]
> ~ 4. Zeile - 2 mal 1. Zeile; 2. Zeile - 2 mal 1. Zeile; 3.
> Zeile + 1. Zeile [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 }[/mm]
> ~ 2. Zeile + 4. Zeile; 3. Zeile + 4. Zeile [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 }[/mm]
>  
> [mm]\Rightarrow[/mm] w1 = [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0}[/mm] ; w2 = [mm]\vektor{0 \\ -1 \\ 0}[/mm]
>  
> Diese zwei Vektoren bilden gemeinsam die Basis des Bildes
> der obigen linearen Abbildung.
>  
> Ist das richtig????


Alles wunderbar! [ok][ok][ok]

Du kannst statt [mm] w_2 [/mm] aber auch einfach [mm] $\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}$ [/mm] (also ohne Minus in der zweiten Komponente).

Viele Grüße,
Stefan
Bezug
                
Bezug
Bild einer linearen Abbildung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:18 Di 26.02.2013
Autor: piriyaie

supi. danke!
Bezug
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