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Bild und Kern berechen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:11 Do 20.12.2018
Autor: susannee

Aufgabe
Gegeben sei die folgende lineare Abbildung:
L: [mm] R_{\le2} \to R_{\le2}; ax^2+bx+c \to (a+b)x^2+a-b. [/mm]
(a) Bestimmen Sie die darstellende Matrix [mm] L_B [/mm] von L bzgl. der Basis
      B = [mm] {x^2+1,-2x,x-1}. [/mm]
(b) Bestimmen Sie Bild [mm] (L_B), [/mm] Bild(L) und dim(Bild(L))

Meine erste Frage wäre, ob meine Lösung so stimmt. Die zweite Frage kommt zum Schluss.

(a) Ich überspringe hier einmal die Rechnerei zum bilden von [mm] L_B. [/mm]

[mm] L_B [/mm] =  [mm] \pmat{ 1 & -2 & 1 \\ 1/2 & -2 & 1 \\ 1 & -4 & 2 }. [/mm]

Nun bringe ich [mm] L_B [/mm] auf NZSF damit ich das Bild direkt ablesen kann.
[mm] L_B [/mm] =  [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1/2 \\ 0 & 0 & 0 } [/mm]

Das Bild lautet:

[mm] Bild(L_B) [/mm] = span{ [mm] \pmat{ 1 \\ 1/2 \\ 1} [/mm] , [mm] \pmat{-2 \\ -2 \\ -4} [/mm] }

Bis hierhin bin ich mir sicher, dass es stimmen könnte, nun kommen die Probleme, bzw das Problem.
Ich will Bild(L) bestimmen.

Kurzer Ausflug:
Wenn ich den Kern von [mm] L_B [/mm]  bestimmen würde, dann könnte ich den Kern von L bestimmen, indem ich die Elemente der Spaltenvektoren als Koordinatenvektoren der Basiselemente nutze (hoffe ich beschreibe es richtig). Es funktioniert, nur warum weiß ich leider nicht so recht. :)

Dies würde ich nun auch beim Bild einmal Probieren:

Bild(L) = span{ [mm] 1*(x^2+1)+1/2*(-2x)+1*(x-1) [/mm] , [mm] (-2)*(x^2+1)+(-2)*(-2x)+(-4)*(x-1) [/mm] } = span{ [mm] x^2,-2x^2+2 [/mm] } (#)

=> Dim(Bild(L)) = 2, was ja nach dem Dimensionssatz auch stimmt, denn dim(Kern(L)) = 1  und dim(L) = 3.

Wenn dies stimmt, warum funktioniert der mit (#) markierte Bereich, genauso wie beim Kern?

Ich bedanke mich im Voraus.
Grüße Susanne

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Allerdings gibt es die Frage schon 100 mal :)


        
Bezug
Bild und Kern berechen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:43 Do 20.12.2018
Autor: angela.h.b.

Hallo,

[willkommenmr].

> Gegeben sei die folgende lineare Abbildung:
> L: [mm]R_{\le2} \to R_{\le2}; ax^2+bx+c \to (a+b)x^2+a-b.[/mm]
> (a)
> Bestimmen Sie die darstellende Matrix [mm]L_B[/mm] von L bzgl. der
> Basis
> B = [mm]{x^2+1,-2x,x-1}.[/mm]
> (b) Bestimmen Sie Bild [mm](L_B),[/mm] Bild(L) und dim(Bild(L))
> Meine erste Frage wäre, ob meine Lösung so stimmt. Die
> zweite Frage kommt zum Schluss.

>

> (a) Ich überspringe hier einmal die Rechnerei zum bilden
> von [mm]L_B.[/mm]

>

> [mm]L_B[/mm] = [mm]\pmat{ 1 & -2 & 1 \\ 1/2 & -2 & 1 \\ 1 & -4 & 2 }.[/mm]

Die erste Spalte ist bei mir anders!

Dementsprechend ist dann auch meine ZSF etwas anders.



>

> Nun bringe ich [mm]L_B[/mm] auf NZSF damit ich das Bild direkt
> ablesen kann.

Genau.


> [mm]L_B[/mm] = [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1/2 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm]

>

> Das Bild lautet:

Ich nehme jetzt zum Weitermachen Deine Matrizen.


>

> [mm]Bild(L_B)[/mm] = [mm] span\{ \pmat{ 1 \\ 1/2 \\ 1}, \pmat{-2 \\ -2 \\ -4} \} [/mm]


Ja.

>

> Bis hierhin bin ich mir sicher, dass es stimmen könnte,
> nun kommen die Probleme, bzw das Problem.
> Ich will Bild(L) bestimmen.

>

> Kurzer Ausflug:
> Wenn ich den Kern von [mm]L_B[/mm] bestimmen würde, dann könnte
> ich den Kern von L bestimmen, indem ich die Elemente der
> Spaltenvektoren als Koordinatenvektoren der Basiselemente
> nutze (hoffe ich beschreibe es richtig). Es funktioniert,
> nur warum weiß ich leider nicht so recht. :)


Weil [mm] L_B [/mm] die Abbildung in Koordinaten bzgl B beschreibt.
Alle Vektoren sind beim Arbeiten mit [mm] L_B [/mm] als Koordinatenvektoren bzgl B zu verstehen.


>

> Dies würde ich nun auch beim Bild einmal Probieren:

>

> Bild(L) = [mm] span\{ 1*(x^2+1)+1/2*(-2x)+1*(x-1) ,(-2)*(x^2+1)+(-2)*(-2x)+(-4)*(x-1)\} [/mm] = [mm] span\{ x^2,-2x^2+2\} [/mm]

Du machst es haargenau richtig.


> (#)

>

> => Dim(Bild(L)) = 2, was ja nach dem Dimensionssatz auch
> stimmt, denn dim(Kern(L)) = 1 und dim(L) = 3.

Mit dem L meinst Du sicher [mm] dim(R_{\le 2}] [/mm]

>

> Wenn dies stimmt, warum funktioniert der mit (#) markierte
> Bereich, genauso wie beim Kern?

Wie ich oben schrieb: [mm] L_B [/mm] beschreibt die Abbildung L in Koordinaten bzgl B.
Alle Vektoren, die dort im Spiel sind, sind Koordinatenvektoren bzgl B.

Wenn Du z.B. [mm] L(x^2-x-2)=L(1(x^2+1)+2*(-2x)+3(x-1)) [/mm] wissen möchtst, rechnest Du [mm] L_B*\vektor{1\\2\\3}. [/mm]
Das Ergebnis in ein Vektor in Koordinaten bzgl B, welchen Du dann wieder in ein Polynom umrechnen kannst.

Ich hoffe, daß ich Deine Fragen richtig verstanden habe.

LG Angela
>

> Ich bedanke mich im Voraus.
> Grüße Susanne

>

> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.

>

> Allerdings gibt es die Frage schon 100 mal :)

>

Bezug
                
Bezug
Bild und Kern berechen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:04 Do 20.12.2018
Autor: susannee

Hallo,
danke für die schnelle Antwort.

Bin jetzt erstmal froh, dass ich diese Aufgabe endlich richtig habe, bzw verstanden habe.


Eine Frage wäre da allerdings, du schreibst, dass der erste Spaltenvektor bei dir anders ist.
Ich kann den Fehler bei mir leider nicht finden.

Die Koordinatenabbildung bzgl b lautet:

[mm] K_B [/mm] = [mm] \vektor{a \\ (a-b-c)/2 \\ a-c} [/mm]

Die Abbildung vom ersten Basiselement lautet
[mm] L(x^2+1)= x^2+1 [/mm]

Und [mm] K_B(L(b_1)) [/mm] lautet

[mm] K_B(L(x^2+1)) [/mm] =  [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm]

Ups, du hast recht,auch dafür danke.

Dann lautet mein Bild von L

Bild(L) = [mm] {x^2+1, -2x^2+2} [/mm]

Bezug
                        
Bezug
Bild und Kern berechen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:32 Do 20.12.2018
Autor: angela.h.b.


>

> Die Abbildung vom ersten Basiselement lautet
> [mm]L(x^2+1)= x^2+1[/mm]

>

> Und [mm]K_B(L(b_1))[/mm] lautet

>

> [mm]K_B(L(x^2+1))[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0}[/mm]

>

> Ups, du hast recht,auch dafür danke.

>

> Dann lautet mein Bild von L

>

> Bild(L) = [mm]{x^2+1, -2x^2+2}[/mm]

Genau.

LG Angela
 

Bezug
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