Bild und Kern einer Matrix < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Seien K ein Korper und m; n [mm] \ge [/mm] 1 naturliche Zahlen. Sei A eine m [mm] \times [/mm] n-Matrix mit
Eintragen in K. Zeige, dass der Kern und das Bild von A Teilraume des [mm] K^n [/mm] bzw. [mm] K^m
[/mm]
sind. |
Der Kern beschreibt alle Lösungen des LGS A*x=0
denn: Kern(A) ={v [mm] \in [/mm] V | Av = 0}
Und das Bild von A sind doch alle Ergebnisse der Gleichung A*x=c
Stimmen diese beiden Aussagen?
Und was ist dann it [mm] K^n [/mm] bzw [mm] K^m [/mm] gemeint?
Ich weiss nicht wirklich, was ich machen muss. Ein wenig Hilfe würde mich freuen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:27 Mi 10.11.2010 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Wenn K ein Körper ist, dann sind [mm] K^n [/mm] und [mm] K^m [/mm] Vektorräume über diesem Körper. z.B. ist [mm] \IR [/mm] ein Körper und [mm] \IR^3 [/mm] ist ein vektorraum über [mm] \IR. [/mm]
Wenn du nun zeigen sollst, dass eine Menge U ein Unterraum (Teilraum) eines Vektorraums ist, dann musst du 3 Sachen prüfen:
(i) $0 [mm] \in [/mm] U$
(ii) $v, w [mm] \in [/mm] U [mm] \Rightarrow [/mm] v+w [mm] \in [/mm] U$
(iii) [mm] $\lambda \in [/mm] K, v [mm] \in [/mm] U [mm] \Rightarrow \lambda*v \in [/mm] U$
Und ja, die Aussagen stimmen!
|
|
|
| |
|
Genau, aber dafür muss ich ja zuerst Bild und Kern bestimmen, oder?
An dem Kern versuche ich mich gerade:
[mm] \pmat{ a_{1,1} & ...& a_{1,n} \\ ... & ... & ... \\ a_{m,1} & ... & a{m,n} } [/mm] *x=0
Leider ist das ja ein Ausdruck der dann sehr übersichtlich wird.
Wie mache ich das denn am besten?
Kann es sein, dass für m [mm] \ge [/mm] n es nur die triviale Lösung 0 gibt? Es sind ja mehr Zeilen als Spalten, von daher ist es doch eindeutig lösbar, und wenn ich mir vorstelle, dass ich auf der einen Seite einen Nullvektor habe, der sich bei Umformungen nicht verändert, wird das dann auch die Lösung sein.
Problematisch ist dann der andere Fall.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:57 Mi 10.11.2010 | | Autor: | Teufel |
Nein, du musst nichts konkretes bestimmen!
(i) zeigst du, indem du einfach v=0 als Vektor einsetzt und dann siehst, dass Av=0 ist.
Für (ii), nimm einfach an, dass du schon 2 Vektoren v, w hast, für die gilt:
Av=0 und Aw=0. Dann musst du zeigen, dass auch A(v+w)=0 ist. Aber aufgrund der Rechenregeln für Matrizen folgt das ja direkt, denn sind Av=0, Aw=0, dann ist auch Av+Aw=0 [mm] \gdw [/mm] A(v+w)=0.
So kannst du auch (iii) zeigen.
|
|
|
| |
|
Da bin ich auch schon angekommmen, aber ich gehe davon aus w,v [mm] \in [/mm] Kern(A), dann ist auch w+v [mm] \in [/mm] Kern(A). Ich versteh dann aber nicht wie das mit [mm] K^m [/mm] bzw [mm] K^n [/mm] gemeint
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:17 Mi 10.11.2010 | | Autor: | Teufel |
[mm] K^m [/mm] ist z.B. nur ein Tupel, bestehend aus m Einträgen aus K.
z.B. sind die Vektoren im [mm] \IR^3 [/mm] auch von der Form [mm] (x_1, x_2, x_3) [/mm] mit [mm] x_i\in\IR, [/mm] i=1,2,3.
Denn Matrizen kannst du ja (neben Skalaren und anderen Matrizen) nur mit Zeilen- oder Spaltenvektoren multiplizieren.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:23 Mi 10.11.2010 | | Autor: | Big_Head78 |
Ok, dann hab ich das verstanden, vielen Dank!
|
|
|
| |
|
Ich habe das jetzt noch für das Bild versucht:
Bild(A)= [mm] \{ r_{1} * \vektor{a_{11} \\ a_{m1}} +...+ r_{n} * \vektor{a_{1n} \\ a_{mn}} , r_{i} \in K \}
[/mm]
1. sei [mm] r_{1}=...=r_{n} [/mm] =0 [mm] \Rightarrow [/mm] Bild(0) = 0 [mm] \in [/mm] Bild(A)
2. seien v,w [mm] \in [/mm] Bild (A)
[mm] r_{1} [/mm] * [mm] \vektor{a_{11} \\ a_{m1}} [/mm] +...+ [mm] r_{n} [/mm] * [mm] \vektor{a_{1n} \\ a_{mn}} [/mm] + [mm] t_{1} [/mm] * [mm] \vektor{a_{11} \\ a_{m1}} [/mm] +...+ [mm] t_{n} [/mm] * [mm] \vektor{a_{1n} \\ a_{mn}}
[/mm]
[mm] v+w=(r_{1}+ t_{1}) [/mm] * [mm] \vektor{a_{11} \\ a_{m1}} [/mm] +...+ [mm] (r_{n}+t_{n}) [/mm] * [mm] \vektor{a_{1n} \\ a_{mn}} [/mm] , [mm] r_{i} [/mm] + [mm] t_{i} \in [/mm] K [mm] \Rightarrow [/mm] v+w [mm] \in [/mm] Bild(A)
3. so ähnlich wie 2. nur das hier [mm] \lambda *r_{i} \in [/mm] K und somit auch [mm] \lambda [/mm] * v [mm] \in [/mm] Bild(A)
Richtig so?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:00 Mi 10.11.2010 | | Autor: | Teufel |
Hmm, also mit deiner Schreibweise komme ich jetzt irgendwie nicht zurecht. Du brauchst auch nicht irgendwelche Spaltenvektoren einführen.
(i) 0 [mm] \in [/mm] Bild(A), weil A*0=0.
(ii) Seien v, w [mm] \in [/mm] Bild(A). Dann gibt es ein a mit A*a=v und ein b mit A*b=w.
Dann ist A*(a+b)=A*a+A*b=v+w [mm] \Rightarrow [/mm] v+w [mm] \in [/mm] Bild(A).
|
|
|
|
