Bild und Kern (mit Basis) < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:22 Do 12.03.2009 | | Autor: | EvaNau |
Hallo,
Ich bin neu hier im Matheraum. Bei vielen Fragen, bzw. Anworten die ich dann in anderen Diskussion schon gefunden habe, konnte mir der Mathraum helfen. Aber ein Thema lässt mich verzweifeln, weil ich das Gefühl habe überall was anderes zu lesen.
Ich habe also keine spezielle Frage zu einer Aufgabe, sondern eine allgemeine Frage zu dem Thema: Kern und Bild (mit dazugehöriger Basis) einer linearen Abbildung bestimmen (die man ja dann, mit Hilfe der Bilder der Standardbasen, zu einer Matrix machen kann).
Also, dass bestimmen des Kerns und des Bildes (+ Basis) einer Matrix.
Ich schreib jetzt einfach mal auf, wie ich das machen würde und hoffe das mich jmd verbessern kann:
Bild:
gegebene matrix: A. man rechnet: Ax=b
schon diese form bereitet mir schwierigkeiten. jetzt habe ich aber gelesen, dass die spalten der matrix das bild erzeugen. wenn ich jetzt also die matrix A mit den drei spalten w1,w2,w2 habe, sind genau diese spalten mein bild der matrix bzw abbildung???
basis des bildes:
ich löse die matrix mittels gauß (ich lasse die matrix "ganz normal", das müsste dann doch zeilenform heißen oder?). dann hab ich gelesen: "die führenden elemente der nicht-nullzeile, sind (zB) in der 1.,3. und 4. spalte der umgeformten matrix. daraus kann man dann folgern,dass die 1.,3. und 4. spalte der ursprünglichen (!) matrix A, eine basis des bildes bilden??
stimmt das?das verwirrt mich sehr, weil ich auch schon gelesen habe, dass man dann einfach die nichtnullzeilen der transformierten matrix als basis nimmt?
Kern:
das ist (so glaube ichs zumindest) recht einfach. man setzt Ax=0 und löst dann das LGS nach x auf. die lösungen für zb. x1,x2,x3 sind dann mein kern. bei x1,x2,x3 wäre dass dann doch ein normaler vektor aus R3 oder?
Basis des Kerns:
eine basis des kerns, ist doch der vektor, der für den kern rausgekommen ist. kann man das so pauschal sagen?
wenn zb, meine kern: x=(6r-1, 3r+2, r)= ((6,3,1)r + (-1,2,0)) ist, dann müsste eine basis des kerns doch: B=< (6,3,1), (-1,2,0)> sein??
oder: kern= x= (4,2,3) es gab also eine eindeutige lösung bei dem LGS. ist dann die basis einfach B=<(4,2,3)>
Es wäre toll, wenn mir jmd feadback geben könnte. Nächste Woche Dienstag ist die Klausur...ich denke zwischendurch immer: Ah jetzt hast dus verstanden und dann les ich wieder irgendwo was anderes =(
Danke und viele Grüße, eva
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Hallo,
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> Ich bin neu hier im Matheraum.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
> Bei vielen Fragen, bzw.
> Anworten die ich dann in anderen Diskussion schon gefunden
> habe, konnte mir der Mathraum helfen.
Ich find#s prima, daß Du nicht gleich wild drauflosgefragt hast, sondern erstmal geschaut, ob Du etws passendes findest.
> Aber ein Thema lässt
> mich verzweifeln, weil ich das Gefühl habe überall was
> anderes zu lesen.
Du mußt hierbei bedenken, daß es oftmals mehrere Möglichkeiten gibt, eine Aufgabenstellung zu bearbeiten.
Dies ist auch bei den Kern-Bild-Geschichten der Fall.
> Also, dass bestimmen des Kerns und des Bildes (+ Basis)
> einer Matrix.
>
> Ich schreib jetzt einfach mal auf, wie ich das machen würde
> und hoffe das mich jmd verbessern kann:
>
> Bild:
> gegebene matrix: A. man rechnet: Ax=b
> schon diese form bereitet mir schwierigkeiten. jetzt habe
> ich aber gelesen, dass die spalten der matrix das bild
> erzeugen. wenn ich jetzt also die matrix A mit den drei
> spalten w1,w2,w3 habe, sind genau diese spalten mein bild
> der matrix bzw abbildung???
Fast. In den Spalten steht ein Erzeugendensystem des Bildes. Die Spalten spannen also das Bild auf, dh. jeden Vektor des Bildes kann man als Linearkombination der Spalten schreiben.
Eine Basis ist dieses Erzeugendensystem aus den Spaltenvektoren nicht unbedingt, es enthält jedoch eine Basis.
>
> basis des bildes:
> ich löse die matrix mittels gauß (ich lasse die matrix
> "ganz normal", das müsste dann doch zeilenform heißen
> oder?).
Ich weiß nicht genau, was Du meinst. Ich hoffe, Du meinst die Zeilenstufenform.
>dann hab ich gelesen: "die führenden elemente der
> nicht-nullzeile, sind (zB) in der 1.,3. und 4. spalte der
> umgeformten matrix. daraus kann man dann folgern,dass die
> 1.,3. und 4. spalte der ursprünglichen (!) matrix A, eine
> basis des bildes bilden??
Hm. Das klingt, als würdest Du mich zitieren. ich bin begeistert.
> stimmt das?
Ja.
> das verwirrt mich sehr, weil ich auch schon
> gelesen habe, dass man dann einfach die nichtnullzeilen der
> transformierten matrix als basis nimmt?
Beides ist möglich.
Es gibt verschiedene Berechnungsmöglichkeiten, und die Basis ist nicht eindeutig. Dh, daß Du viele verschiedene Basen zu ein und demselben Vektorraum finden kannst.
>
> Kern:
> das ist (so glaube ichs zumindest) recht einfach. man
> setzt Ax=0 und löst dann das LGS nach x auf. die lösungen
> für zb. x1,x2,x3 sind dann mein kern. bei x1,x2,x3 wäre
> dass dann doch ein normaler vektor aus R3 oder?
Der Kern ist die Menge aller Vektoren, die durch A auf die Null abgebildet werden, also die Vektoren x, für welche Ax=0 gilt.
Die Berechnung
> Basis des Kerns:
Geht mit dem gaußalgorithmus vonstatten, wie zuvor benötigt man hier die ZSF, oder, wenn man rein nach Schema vorgehen möchte, noch besser: die reduzierte ZSF, bei welcher die führenden Elemente allle =1 sind, und die Elemente über diesen Einsen =0.
> eine basis des kerns, ist doch der vektor, der für den
> kern rausgekommen ist. kann man das so pauschal sagen?
> wenn zb, meine kern: x=(6r-1, 3r+2, r)= ((6,3,1)r +
> (-1,2,0)) ist, dann müsste eine basis des kerns doch: B=<
> (6,3,1), (-1,2,0)> sein??
Ja.
> oder: kern= x= (4,2,3) es gab also eine eindeutige lösung
> bei dem LGS.
Dieses Ergebnis kann nicht vorkommen. Wenn der Kern nur ein Element enthält, ist dieses Element der Nullvektor, ansonsten ist der Kern größer.
Ich glaube, daß es gut wäre, würdest Du jetzt mal ein Beispiel hier vorrechnen und Deine Erkenntnisse präsentieren, dann kann man gucken, ob Du alles richtig verstanden hast.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:43 Do 12.03.2009 | | Autor: | EvaNau |
| Aufgabe | zB: A= [mm] \pmat{ 1 & 2 & 1\\ -1 & 1 & 2\\ 2 & -2 & 1}
[/mm]
und B= [mm] \pmat{ 0 & 1 & 3 & -1 & 2\\ 2 & -2 & 6 & 0 & 6\\ 1 & -2 & 0 & 1 & 1} [/mm] |
Hallo!
Vielen, vielen Dank für deine schnelle Antwort! Einige Sachen erscheinen mir jetzt etwas klarer...das mit dem Beispiel ist bestimmt eine gute Idee:
zu A: Bild und eine Basis des Bildes bestimmen:
Ax=b => image(A)= [mm] \{ (1,-1,2), (2,1,-2), (1,2,1)\}
[/mm]
das mit der basis des bildes ist mir jetzt (glaube ich zumindest etwas klarer) eigentlich könnte man durch anschauen des bildes schon sehen, dass die basis die 3 bildvektoren sind, da sie ja linear unabhängig sind und span(image(A))= image(A).
wenn man die lineare unabhängigkeit nicht sofort sehen würde, würde man dann folgendermaßen rechnen:
das homogene LGS: [mm] \pmat{ 1 & 2 & 1\\ -1 & 1 & 2\\ 2 & -2 & 1}
[/mm]
lösen...dann würde die letzte matrix so aussehen: [mm] \pmat{ 1 & 2 & 1\\ 0 & 3 & 3\\ 0 & 0 & 9} [/mm] der rang(A)= 3 daraus folgt, dass die dimension des bildes 3 ist. da die"führenden elemente der nicht-nullzeile" (in der tat von dir =) in der 1., 2. und 3. spalte stehen, bilden die 1., 2. und 3. spaltenvektoren, der ursprünglichen matrix A eine Basis (s.o.)
zu B: Kern und eine Basis des Kerns:
Bx=0
=> Das homogene LGS wird nach x aufgelöst
[mm] \pmat{ 1 & -2 & 0 & 1 & 1\\ 0 & 2 & 6 & -2 & 4\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0}
[/mm]
die nicht pivot-variablen können frei gewählt werden:
x5=r, x4=s, x3=t
die pivotvariablen werden durch r,s,t ausgedrückt:
x2= -3t+s-2r
x1= -6t+s-5r
dann wäre kern(A):= [mm] x=\{ t \vektor{-6 \\ -3 \\ 1 \\ 0 \\ 0} + s \vektor{1 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \\ 1} + r \vektor{-5 \\ -2 \\ 0 \\ 0 \\ 1}\}
[/mm]
die basis des kerns ist: B= [mm] \{ \vektor{-6 \\ -3 \\ 1 \\ 0 \\ 0}, \vektor{1 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \\ 1}, \vektor{-5 \\ -2 \\ 0 \\ 0 \\ 1}\}
[/mm]
stimmt das so???
das mit der basis des kerns habe ich irgendwie immer noch nicht richtig verstanden. also wenn der rechenweg so geht, ist das auch ok aber so richtig verstanden,dass ich weiß was ich da gemacht habe, leider nicht =(
Viele Grüße
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> zB: A= [mm]\pmat{ 1 & 2 & 1\\ -1 & 1 & 2\\ 2 & -2 & 1}[/mm]
>
> und B= [mm]\pmat{ 0 & 1 & 3 & -1 & 2\\ 2 & -2 & 6 & 0 & 6\\ 1 & -2 & 0 & 1 & 1}[/mm]
>
> zu A: Bild und eine Basis des Bildes bestimmen:
>
> Ax=b => image(A)= [mm]\{ (1,-1,2), (2,1,-2), (1,2,1)\}[/mm]
Hallo,
Du müßtest richtigerweise schreiben image(A)= [mm]span\{ (1,-1,2), (2,1,-2), (1,2,1)\}[/mm] (oder LH oder in eckige Klammenr, je nachdem, was bei Euch üblich ist.).
Man muß erkennen, daß Du kapierst, daß das Bild aus mehr als drei Vektoren besteht.
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> das mit der basis des bildes ist mir jetzt (glaube ich
> zumindest etwas klarer) eigentlich könnte man durch
> anschauen des bildes schon sehen, dass die basis die 3
> bildvektoren sind, da sie ja linear unabhängig sind und
> span(image(A))= image(A).
> wenn man die lineare unabhängigkeit nicht sofort sehen
> würde, würde man dann folgendermaßen rechnen:
>
> das homogene LGS: [mm]\pmat{ 1 & 2 & 1\\ -1 & 1 & 2\\ 2 & -2 & 1}[/mm]
>
> lösen...dann würde die letzte matrix so aussehen: [mm]\pmat{ 1 & 2 & 1\\ 0 & 3 & 3\\ 0 & 0 & 9}[/mm]
> der rang(A)= 3 daraus folgt, dass die dimension des bildes
> 3 ist. da die"führenden elemente der nicht-nullzeile" (in
> der tat von dir =) in der 1., 2. und 3. spalte stehen,
> bilden die 1., 2. und 3. spaltenvektoren, der
> ursprünglichen matrix A eine Basis (s.o.)
Ja. Paßt.
>
> zu B: Kern und eine Basis des Kerns:
>
> Bx=0
>
> => Das homogene LGS wird nach x aufgelöst
>
> [mm]\pmat{ 1 & -2 & 0 & 1 & 1\\ 0 & 2 & 6 & -2 & 4\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0}[/mm]
>
> die nicht pivot-variablen können frei gewählt werden:
> x5=r, x4=s, x3=t
>
> die pivotvariablen werden durch r,s,t ausgedrückt:
> x2= -3t+s-2r
> x1= -6t+s-5r
>
> dann wäre kern(A):= [mm]x=\{ t \vektor{-6 \\ -3 \\ 1 \\ 0 \\ 0} + s \vektor{1 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \\ 1} + r \vektor{-5 \\ -2 \\ 0 \\ 0 \\ 1}\red{| r,s,t\in \IR}\}[/mm]
>
> die basis des kerns ist: B= [mm]\{ \vektor{-6 \\ -3 \\ 1 \\ 0 \\ 0}, \vektor{1 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \\ 1}, \vektor{-5 \\ -2 \\ 0 \\ 0 \\ 1}\}[/mm]
>
> stimmt das so???
Die Zahlen habe ich nicht nachgerechnet , die Vorgehensweise ist richtig.
> das mit der basis des kerns habe ich irgendwie immer noch
> nicht richtig verstanden. also wenn der rechenweg so geht,
> ist das auch ok aber so richtig verstanden,dass ich weiß
> was ich da gemacht habe, leider nicht =(
Du hast herausgefunden, daß die Vektoren x , die auf die Null abgebildet werden, allesamt die Gestalt x= t [mm] \vektor{-6 \\ -3 \\ 1 \\ 0 \\ 0} [/mm] + s [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \\ 1} [/mm] + r [mm] \vektor{-5 \\ -2 \\ 0 \\ 0 \\ 1} [/mm] haben müssen. So sehen also die Elemente des Kerns aus.
Gebaut werden sie aus den drei Vektoren [mm] \vektor{-6 \\ -3 \\ 1 \\ 0 \\ 0}, \vektor{1 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \\ 1}, \vektor{-5 \\ -2 \\ 0 \\ 0 \\ 1}, [/mm] welche linear unabhängig sind, also eine basis des Kerns.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:48 Do 12.03.2009 | | Autor: | EvaNau |
Vielen, vielen Dank für deine schellen Antworten! Ich habs kapiert =)
Grüße
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