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Bilden der Treppennormalform: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:26 So 26.01.2014
Autor: szgaming

Aufgabe
A =
1 3 -2 -2
1 3  2 -1
2 6  1  3
1 3 -1 -1

y=
8
12
21
9

Berechnen Sie die Treppennormalform der erweiterten Matrix(A,y) mit dem Verfahren von Gauß Jordan.

Guten Abend,

ich bin dabei gerade dabei als Übung eine Aufgabe zu rechnen, jedoch habe ich das Verfahren der Treppennormalform noch nicht ganz verstanden.

Die Matrix soll ja so aussehen:
1 * * *
0 1 * *
0 0 1 *
0 0 0 1

Bis jetzt habe ich das soweit gemacht:

1.Schritt
1 3 -2 -2 | 8 |  
0 0  4  1 | 4 | Z2 - Z1
0 0  5  7 | 5 | Z3 - 2*Z1
0 0  1  1 | 1 | Z4 - Z1

2.Schritt
1 3 -2 -2 | 8 |  
0 0  4  1 | 4 |
0 0  1  7/5 | 5 | *1/5
0 0  1  1 | 1 |

3.Schritt
1 3 -2 -2 | 8 |  
0 0  4  1 | 4 |
0 0  1  7/5 | 1 |
0 0  0 -2/5 | 0 | Z4 - Z3

4.Schritt
1 3 -2 -2 | 8 |  
0 0  4  1 | 4 |
0 0  1  7/5 | 5 |
0 0  0  1 | 0 | *(-5/2)

5.Schritt
1 3 -2 -2 | 8 |  
0 0  4  1 | 4 |
0 0  1  0 | 1 | Z3 - 7/5*Z3
0 0  0  1 | 0 |

Jetzt verstehe ich leider nicht, wie ich genau weiter mache, denn Zeile2 müsste ja so aussehen 0 1 * * oder nicht? Irgendwie kann man doch hier etwas ergänzen. Wie funktioniert das ganze, könnt ihr mir das vielleicht etwas erklären? Bis hierhin ist das korrekt, oder?

MfG

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Bilden der Treppennormalform: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:43 So 26.01.2014
Autor: moody


> Jetzt verstehe ich leider nicht, wie ich genau weiter
> mache, denn Zeile2 müsste ja so aussehen 0 1 * * oder
> nicht? Irgendwie kann man doch hier etwas ergänzen. Wie
> funktioniert das ganze, könnt ihr mir das vielleicht etwas
> erklären? Bis hierhin ist das korrekt, oder?

Was möchtest du denn da genau ergänzen? Die Matrix hat keinen vollen Rang, ergo kannst du nicht auf die Form

[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0& 0\\ 0 & 1 & 0& 0\\0 & 0 & 1& 0\\0 & 0 & 0& 1} [/mm]

kommen.

lg moody

Bezug
                
Bezug
Bilden der Treppennormalform: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:00 So 26.01.2014
Autor: szgaming

Dass ich nicht auf diese Form kommen kann, ist mir ja auch schon aufgefallen.

Ich habe hier auch die Lösung, jedoch habe ich nicht ganz verstanden, wie man darauf kommt. Dort steht, dass die durch "streichen und ergänzen" auf dieses Ergebnis gekommen sind:

1  3 0 0 | 10
0 -1 0 0 | 0
0  0 1 0 | 1
0  0 0 0 | 0

Ich verstehe nicht, warum man dort eine -1 ergänzen kann und warum sie in der 1. Zeile nach der 3 dort 2 Nullen haben. Denn laut der Treppennormalform darf doch dort jede Zahl stehen und somit könnte man das doch wie bei mir bei
1 3 -2 -2 | 8 lassen oder nicht?

Bezug
                        
Bezug
Bilden der Treppennormalform: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:58 So 26.01.2014
Autor: MathePower

Hallo szgaming,

> Dass ich nicht auf diese Form kommen kann, ist mir ja auch
> schon aufgefallen.
>  
> Ich habe hier auch die Lösung, jedoch habe ich nicht ganz
> verstanden, wie man darauf kommt. Dort steht, dass die
> durch "streichen und ergänzen" auf dieses Ergebnis
> gekommen sind:
>  
> 1  3 0 0 | 10
>  0 -1 0 0 | 0
>  0  0 1 0 | 1
>  0  0 0 0 | 0
>  

Die letzte Zeile muss doch so lauten:

[mm]\pmat{0 & 0 & 0 & \red{1} & | & 0}[/mm]


> Ich verstehe nicht, warum man dort eine -1 ergänzen kann
> und warum sie in der 1. Zeile nach der 3 dort 2 Nullen


Eine -1 ergänzt man auf der Diagonalen,
um die Lösung einfacher ablesen zu können.


> haben. Denn laut der Treppennormalform darf doch dort jede
> Zahl stehen und somit könnte man das doch wie bei mir bei
> 1 3 -2 -2 | 8 lassen oder nicht?


Im Prinzip hast Du ja Recht,
aber nicht nach Gauß-Jordan.

Nach Gauß-Jordan soll erreicht werden,
daß oberhalb der Diagonalelemente nur Nullen stehen,
damit die Lösung quasi schon da steht.


Gruss
MathePower

Bezug
                                
Bezug
Bilden der Treppennormalform: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 22:39 So 26.01.2014
Autor: szgaming

Vielen Dank für die Antworten.

Ich hätte noch eine Frage, für das bessere Verständnis.
Wenn jetzt egal bei welcher Matrix die zweite Zeile nicht lösbar wäre, füge ich das dann so ein?
0 -1 0 0 | 0
Also alle anderen Werte außer der -1 sind 0, richtig?

Bezug
        
Bezug
Bilden der Treppennormalform: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 05:54 Mo 27.01.2014
Autor: angela.h.b.


> A =
>  1 3 -2 -2
>  1 3  2 -1
>  2 6  1  3
>  1 3 -1 -1
>  
> y=
>  8
>  12
>  21
>  9
>  
> Berechnen Sie die Treppennormalform der erweiterten
> Matrix(A,y) mit dem Verfahren von Gauß Jordan.
>  Guten Abend,
>  
> ich bin dabei gerade dabei als Übung eine Aufgabe zu
> rechnen, jedoch habe ich das Verfahren der
> Treppennormalform noch nicht ganz verstanden.
>  
> Die Matrix soll ja so aussehen:
>  1 * * *
>  0 1 * *
>  0 0 1 *
>  0 0 0 1
>  
> Bis jetzt habe ich das soweit gemacht:
>  
> 1.Schritt
>  1 3 -2 -2 | 8 |  
> 0 0  4  1 | 4 | Z2 - Z1
>  0 0  5  7 | 5 | Z3 - 2*Z1
>  0 0  1  1 | 1 | Z4 - Z1
>  
> 2.Schritt
>  1 3 -2 -2 | 8 |  
> 0 0  4  1 | 4 |
> 0 0  1  7/5 | 1 | *1/5
>  0 0  1  1 | 1 |
>  
> 3.Schritt
>  1 3 -2 -2 | 8 |  
> 0 0  4  1 | 4 |
> 0 0  1  7/5 | 1 |
> 0 0  0 -2/5 | 0 | Z4 - Z3
>  
> 4.Schritt
>  1 3 -2 -2 | 8 |  
> 0 0  4  1 | 4 |
> 0 0  1  7/5 | 5 |
>  0 0  0  1 | 0 | *(-5/2)
>  
> 5.Schritt
>  1 3 -2 -2 | 8 |  
> 0 0  4  1 | 4 |
> 0 0  1  0 | 1 | Z3 - 7/5*Z3
>  0 0  0  1 | 0 |

Hallo,

Zeilen tauschen:

>  1 3 -2 -2 | 8 |  
> 0 0  1  0 | 1 |
>  0 0  0  1 | 0 |
> 0 0  4  1 | 4 |


4.Zeile - 4*2.Zeile

>  1 3 -2 -2 | 8 |  
> 0 0  1  0 | 1 |
>  0 0  0  1 | 0 |
> 0 0  0  1 | 0|


4.Zeile-3.Zeile

>  1 3 -2 -2 | 8 |  
> 0 0  1  0 | 1 |
>  0 0  0  1 | 0 |
> 0 0  0  0 | 0|


4.Zeile wegwerfen

>  1 3 -2 -2 | 8 |  
> 0 0  1  0 | 1 |
>  0 0  0  1 | 0 |

(Zeilenstufenform/Treppenform erreicht!)


1.Zeile +2*2.Zeile

>  1 3 0 -2 | 10 |  
> 0 0  1  0 | 1 |
>  0 0  0  1 | 0 |


1.Zeile +2*3.Zeile

>  1 3 0 0 | 10 |  
> 0 0  1  0 | 1 |
>  0 0  0  1 | 0 |

(reduzierte ZSF/Treppennormalform erreicht!)


Man sieht bereits an der Treppenform, daß das System lösbar ist, sonst hätte man nämlich eine Zeile wie 0 0 0 0 | 5.
Der Rang der Matrix ist 3, es gibt 4 Variablen, also hat der Kern (=Lösungsraum des homogenen Systems die Dimension 1),


Jetzt geht's weiter zum Ablesen der Lösung mit dem "-1-Trick":

Nullzeile(n) einschieben, so daß die Koeffizientenmatrix quadratisch ist und die führenden Einsen auf der Hauptdiagonalen stehen:

>  1 3 0 0 | 10 |  
>  0 0 0 0 | 0 |
>  0 0  1  0 | 1 |
>  0 0  0  1 | 0 |

Von der Koeffizientenmatrix die Einheitsmatrix abziehen:

>  0 3 0 0 | 10 |  
>  0 -1 0 0 | 0 |
>  0 0  0  0 | 1 |
>  0 0  0  0 | 0 |

Links liest man nun eine Basis des homogenen Systems ab, rechts eine spezielle Lösung, und man weiß, daß der Lösungsraum der Raum

[mm] \vektor{10\\0\\1\\0}+ <\vektor{3\\-1\\0\\0}> [/mm] ist,

dh. alle Lösungen des Systems haben die Gestalt

[mm] \vektor{10\\0\\1\\0}+ t*\vektor{3\\-1\\0\\0} \qquad [/mm] mit [mm] t\in \IR. [/mm]

LG Angela

















>
> Jetzt verstehe ich leider nicht, wie ich genau weiter
> mache, denn Zeile2 müsste ja so aussehen 0 1 * * oder
> nicht? Irgendwie kann man doch hier etwas ergänzen. Wie
> funktioniert das ganze, könnt ihr mir das vielleicht etwas
> erklären? Bis hierhin ist das korrekt, oder?
>  
> MfG
>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.


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