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Bildmaße, die erste: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:25 Fr 03.02.2017
Autor: tobi91_nds

Aufgabe
Gegeben sei ein Maßraum [mm] $\left(X,\mathcal{A},\nu\right)$ [/mm] und ein messbarer Raum [mm] $\left(Y,\mathcal{B}\right)$, [/mm] Des Weiteren sei [mm] $h:X\rightarrow [/mm] Y$ mit [mm] $h^{-1}\left(B\right)\in\mathcal{A} \forall B\in\mathcal{B}$. [/mm] Zeige: [mm] $\left(h*\nu\right)\left(B\right):= \nu\left(h^{-1}\left(B\right)\right), B\in\mathcal{B}$ [/mm] wird zu einere [mm] $\sigma$-additiven [/mm] Mengenfunktion definiert.

Für den Beweis verwende ich folgende Aussagen:

[mm] $\left(i\right)$ $h^{-1}\left(\cup_{k=1}^\infty B_k\right)=\cup_{k=1}^\infty h^{-1}\left(B_k\right)$ [/mm]

[mm] $\left(ii\right)$ $h^{-1}\left(B_i\right)\cap h^{-1}\left(B_j\right)=\emptyset \forall i\neq [/mm] j$

Sehe ich das richtig, dass die Aufgabe mit dem Beweis dieser beiden Punkte schon im wesentlichen erledigt ist und der rest aus den Eigenschaften (Sigma-Additivität) der Mengenfunktion [mm] $\nu$ [/mm] folgt? Die beiden Aussagen habe ich mal in den ersten Wochen des ersten Semesters bewiesen und das erscheint mir gerade verdächtig trivial.

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Bildmaße, die erste: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:34 Fr 03.02.2017
Autor: fred97


> Gegeben sei ein Maßraum [mm]\left(X,\mathcal{A},\nu\right)[/mm] und
> ein messbarer Raum [mm]\left(Y,\mathcal{B}\right)[/mm], Des Weiteren
> sei [mm]h:X\rightarrow Y[/mm] mit [mm]h^{-1}\left(B\right)\in\mathcal{A} \forall B\in\mathcal{B}[/mm].
> Zeige: [mm]\left(h*\nu\right)\left(B\right):= \nu\left(h^{-1}\left(B\right)\right), B\in\mathcal{B}[/mm]
> wird zu einere [mm]\sigma[/mm]-additiven Mengenfunktion definiert.
>  Für den Beweis verwende ich folgende Aussagen:
>  
> [mm]\left(i\right)[/mm] [mm]h^{-1}\left(\cup_{k=1}^\infty B_k\right)=\cup_{k=1}^\infty h^{-1}\left(B_k\right)[/mm]
>  
> [mm]\left(ii\right)[/mm] [mm]h^{-1}\left(B_i\right)\cap h^{-1}\left(B_j\right)=\emptyset \forall i\neq j[/mm]
>  
> Sehe ich das richtig, dass die Aufgabe mit dem Beweis
> dieser beiden Punkte schon im wesentlichen erledigt ist und
> der rest aus den Eigenschaften (Sigma-Additivität) der
> Mengenfunktion [mm]\nu[/mm] folgt?

Ja, das siehst Du richtig. Ich würde allerdings noch dazuschreiben, dass die Mengen [mm] B_1,B_2,B_3,.... [/mm] paarweise disjunkt sind (sonst stimmt nämlich $(ii)$ nicht.



> Die beiden Aussagen habe ich mal
> in den ersten Wochen des ersten Semesters bewiesen und das
> erscheint mir gerade verdächtig trivial.
>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.


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