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| Aufgabe | Gegeben sei die Funktion
[mm] f(x)=\bruch{1}{x} [/mm] mit f: [mm] \IR [/mm] \ {0} [mm] \to \IR
[/mm]
Bestimmen Sie die Bildmenge der Funktion. |
Hallo,
Mir ist nicht ganz klar, wie man die Bildmenge von Funktionen bestimmt.
Meine Idee wäre folgende:
Die Bildmenge ist:
[mm] f(\IR [/mm] \ {0} )= { f(x) | [mm] x\in\IR [/mm] \ {0} }
Ich habe einfach die Definition der Bildmenge genommen. Aber geht es nicht kürzer? Wäre das überhaupt ausreichend?
Mir ist klar, dass die Bildmenge der Funktion [mm] \IR [/mm] \ {0} ist. Aber das kann ich ja nicht einfach so hinschreiben, sondern müsste es wenn ja begründen können.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:38 Sa 24.11.2012 | | Autor: | Helbig |
> Gegeben sei die Funktion
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> [mm]f(x)=\bruch{1}{x}[/mm] mit f: [mm]\IR[/mm] \ {0} [mm]\to \IR[/mm]
>
> Bestimmen Sie die Bildmenge der Funktion.
> Hallo,
>
> Mir ist nicht ganz klar, wie man die Bildmenge von
> Funktionen bestimmt.
>
> Meine Idee wäre folgende:
>
> Die Bildmenge ist:
>
> [mm]f(\IR[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
\ {0} )= { f(x) | [mm]x\in\IR[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
\ {0} }
>
>
> Ich habe einfach die Definition der Bildmenge genommen.
> Aber geht es nicht kürzer? Wäre das überhaupt
> ausreichend?
> Mir ist klar, dass die Bildmenge der Funktion [mm]\IR[/mm] \ {0}
> ist. Aber das kann ich ja nicht einfach so hinschreiben,
> sondern müsste es wenn ja begründen können.
Das ist zwar alles richtig, aber dennoch nicht ausreichend. Gefragt ist eine Beschreibung der Bildmenge, in der $f(x)$ nicht mehr vorkommt, z. B [mm] $\{x\in \IR\colon 1\le x \}\,.$
[/mm]
(Dies stimmt nicht). Und ein Begründung, daß Deine Menge auch tatsächlich die Bildmenge ist.
Grüße,
Wolfgang
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> Das ist zwar alles richtig, aber dennoch nicht ausreichend.
> Gefragt ist eine Beschreibung der Bildmenge, in der [mm]f(x)[/mm]
> nicht mehr vorkommt
Mit
[mm] f(\IR [/mm] \ {0} )= { f(x) | [mm] x\in\IR [/mm] \ {0} }
habe ich doch eine Beschreibung der Bildmenge abgeliefert?!
Warum darf in meiner Bildmengenbeschreibung kein "f(x)" vorkommen?
Wie würde ich die Menge denn mit meiner obigen Bildmengenbeschreibung noch genauer bestimmen können (ohne "f(x)") wie von dir gefordert? Ich wüsste nicht, wie ich das (ohne Plot) machen sollte.
Die einzige mir bekannte Möglichkeit wäre die Umkehrfunktion (falls die Funktion denn umkehrbar ist) zu berechnen und mir den Definitionsbereich der Umkehrfunktion anzuschauen. Dieser ist dann nämlich zugleich die Bildmenge meiner Funktion. Da aber nicht alle Funktionen umkehrbar sind, ist dies keine Lösung für nicht-umkehrbare Funktionen.
(Auch wenn die obige Funktion umnkehrbar ist, würde ich gerne eine Methode wissen, die auch bei nicht-umkehrbaren Funktionen funktioniert)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:24 Sa 24.11.2012 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Ja, also die "Lösung" [mm] im(f)=f(\IR \setminus \{0\}) [/mm] ist ja nur die Definition, aber gelöst ist da noch nichts so richtig. Das ist, als wenn man sagt "Löse x+2=5." Und du lieferst als Antwort [mm] "L=\{x|x+2=5\}". [/mm] Natürlich ist die Lösungsmenge korrekt, aber x=3 sieht man da nirgends.
Ok, also von [mm] \frac{1}{x} [/mm] kennst du doch aber den Graphen, oder? Von daher solltest du [mm] im(f)=\IR\setminus\{0\} [/mm] nachweisen. Der Beweis ist dann diese Mengengleichheit.
Wenn du das komplett ohne Anschauung machen willst, dann musst du schauen, für welche y du [mm] \frac{1}{x}=y [/mm] nach x auflösen kannst. Für [mm] $y\not=0$ [/mm] würde [mm] $x=\dfrac{1}{y}$ [/mm] folgen. Also kriegst du schonmal alle Zahlen außer der 0 im Bild. Kannst du das auch für $y=0$ nach $x$ auflösen?
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> Hi!
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> Ja, also die "Lösung" [mm]im(f)=f(\IR \setminus \{0\})[/mm] ist ja
> nur die Definition, aber gelöst ist da noch nichts so
> richtig. Das ist, als wenn man sagt "Löse x+2=5." Und du
> lieferst als Antwort [mm]"L=\{x|x+2=5\}".[/mm] Natürlich ist die
> Lösungsmenge korrekt, aber x=3 sieht man da nirgends.
>
> Ok, also von [mm]\frac{1}{x}[/mm] kennst du doch aber den Graphen,
> oder? Von daher solltest du [mm]im(f)=\IR\setminus\{0\}[/mm]
> nachweisen. Der Beweis ist dann diese Mengengleichheit.
> Wenn du das komplett ohne Anschauung machen willst, dann
> musst du schauen, für welche y du [mm]\frac{1}{x}=y[/mm] nach x
> auflösen kannst. Für [mm]y\not=0[/mm] würde [mm]x=\dfrac{1}{y}[/mm]
> folgen. Also kriegst du schonmal alle Zahlen außer der 0
> im Bild. Kannst du das auch für [mm]y=0[/mm] nach [mm]x[/mm] auflösen?
Nein kann ich nicht, da ich sonst durch 0 teilen würde.
Den Ansatz den du gerade verwendest ist die Umkehrfunktion zu berechnen. Dieser Ansatz ist mir klar.
Was mache ich aber, wenn ich von einer Funktion, welche nicht umkehrbar ist, die Bildmenge bestimmen soll? Da kann ich dann ja nicht die Umkehrfunktion berechnen und "unterwegs" schauen, welche Zahlen schonmal nicht in der Bildmenge vorkommen. Wie würde ich das ganze bei nicht umkehrbaren Funktionen machen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:53 Sa 24.11.2012 | | Autor: | Teufel |
Du kannst auch öfter Sachen mit Stetigkeit und Limes begründen. Wenn du dir mal [mm] f(x)=x^3-x=x(x-1)(x+1) [/mm] nimmst. Das Ding ist ja nicht umkehrbar auf ganz [mm] \IR. [/mm] Aber weil das ein Polynom (und damit stetig) ist und der Limes für x gegen [mm] -\infty [/mm] auch [mm] -\infty [/mm] ist (und für [mm] x\rightarrow\infty [/mm] dann [mm] \infty) [/mm] weißt du, dass das Bild schon ganz [mm] \IR [/mm] sein muss (Zwischenwertsatz).
Solche Sachen kannst du auch immer mit einbringen.
Manchmal kann es auch helfen nach globalen Maxima oder Minima zu suchen.
Was du genau machen solltest würde ich aber immer erst entscheiden, wenn ich mir die Funktion skizziert habe. Dann muss man nicht blind irgendwas probieren. Skizzieren kann man so ein Ding immer ungefähr aus dem Ärmel, wenn man sich zum Beispiel irgendwelche Limiten anguckt (gegen [mm] \infty [/mm] oder [mm] -\infty [/mm] z.B.).
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Also die Bildmenge einer einfachen Funktion mithilfe der Differentialrechnung oder dem Limes zu bestimmen, halte ich für übertrieben. Das geht auch ohne.
Die Frage ist nur wie.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:07 So 25.11.2012 | | Autor: | Teufel |
Hm, also ich wüsste nicht, wie ich das z.B. bei [mm] f(x)=x^6+x^3-x+2 [/mm] anders machen sollte. Ich kann die Gleichung ja nicht nach x auflösen. Und dass der Bildbereich ca. [mm] [1,64,\infty] [/mm] ist, erkennt man ja auch nicht ohne weiteres. Ich denke, dass man ohne Differentialrechnung im Allgemeinen nicht weiterkommt. Es man Fälle geben, wo man durch etwas Umformen noch was reißen kann, aber manche Funktionen (sogar schon Polynome) können zu gemein sein.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 03:12 So 25.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Also die Bildmenge einer einfachen Funktion mithilfe der
> Differentialrechnung oder dem Limes zu bestimmen, halte ich
> für übertrieben.
im Gegenteil: Manchmal ist das sogar die eleganteste aller Methoden.
> Das geht auch ohne.
> Die Frage ist nur wie.
Funktionen können beliebig "komplex" sein - entsprechend auch deren
Bildbereich. Und das etwa [mm] $\sin: \IR \to \IR$ [/mm] erfüllt [mm] $\sin(\IR)=[-1,1]\,,$
[/mm]
kann man doch etwa ganz elegant rein mit dem Zwischenwertsatz
begründen.
Aber generell würde ich bei Funktionen [mm] $\IR \to \IR$ [/mm] auch, wie Teufel
schon sagte, mir erstmal den Graphen skizzieren oder plotten lassen.
Und umkehrbar muss da gar nichts sein, oft kann man aber sicher
mit "stückweise Umkehrbarkeit" schonmal Teilmengen des Bildbereichs
bestimmen.
Aber ich meine:
Setze [mm] $f(x):=|x|\,$ [/mm] für $x [mm] \le 0\,,$ [/mm] und [mm] $f(x):=\sin(x)$ [/mm] für $x [mm] \in [/mm] (0,10000]$
und [mm] $f(x):=2*(x-25000)^2-300$ [/mm] für $x [mm] \ge [/mm] 10000$ fest. Dieses "Ding" wird
sicher nicht umkehrbar sein. Dennoch ist das Bild von [mm] $\IR$ [/mm] unter [mm] $f\,$
[/mm]
mehr oder weniger relativ leicht anzugeben.
Ich behaupte: [mm] $Bild(f)=[-300,\;\infty)\,.$ [/mm] Und wie kann man das zeigen?
Naja, man zeigt $Bild(f) [mm] \subseteq [-300,\;\infty)$ [/mm] (durch
Fallunterscheidungen) und zudem [mm] $[-300,\infty) \subseteq Bild(f)\,.$
[/mm]
Letzteres ist trivial: Das folgt sofort aus [mm] $f(x):=2*(x-25000)^2-300$ [/mm] für
$x [mm] \ge 10000\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 03:29 So 25.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Hi!
> >
> > Ja, also die "Lösung" [mm]im(f)=f(\IR \setminus \{0\})[/mm] ist ja
> > nur die Definition, aber gelöst ist da noch nichts so
> > richtig. Das ist, als wenn man sagt "Löse x+2=5." Und du
> > lieferst als Antwort [mm]"L=\{x|x+2=5\}".[/mm] Natürlich ist die
> > Lösungsmenge korrekt, aber x=3 sieht man da nirgends.
> >
> > Ok, also von [mm]\frac{1}{x}[/mm] kennst du doch aber den Graphen,
> > oder? Von daher solltest du [mm]im(f)=\IR\setminus\{0\}[/mm]
> > nachweisen. Der Beweis ist dann diese Mengengleichheit.
> > Wenn du das komplett ohne Anschauung machen willst,
> dann
> > musst du schauen, für welche y du [mm]\frac{1}{x}=y[/mm] nach x
> > auflösen kannst. Für [mm]y\not=0[/mm] würde [mm]x=\dfrac{1}{y}[/mm]
> > folgen. Also kriegst du schonmal alle Zahlen außer der 0
> > im Bild. Kannst du das auch für [mm]y=0[/mm] nach [mm]x[/mm] auflösen?
>
> Nein kann ich nicht, da ich sonst durch 0 teilen würde.
die Antwort finde ich übrigens ein wenig unpassend von der Formulierung
her. Was Du meinst ist:
[mm] $$y=1/x\,$$
[/mm]
liefert [mm] $x=1/y\,,$ [/mm] aber doch nur für $y,x [mm] \in \IR \setminus \{0\}\,.$ [/mm] Denn
[mm] $1/x\,$ [/mm] darf ich nur für $x [mm] \not=0$ [/mm] hinschreiben, ebenso auch [mm] $1/y\,$ [/mm] nur
für $y [mm] \not=0\,.$
[/mm]
Vielmehr ist es so:
Die Gleichung [mm] $0=1/x\,$ [/mm] ist für kein $x [mm] \in \IR$ [/mm] lösbar. (Diese Formulierung
ist besser als Deine!)
Denn:
[mm] $x=0\,$ [/mm] kommt nicht in Frage, da [mm] $1/0\,$ [/mm] (in [mm] $\IR$) [/mm] nicht definiert ist. Wäre $x [mm] \not=0\,,$
[/mm]
so wäre aber auch $1/x [mm] \not=0$ [/mm] im Widerspruch zu [mm] $0=1/x\,.$
[/mm]
P.S.: Wenn Du ganz penibel sein willst, kannst Du auch etwa mit dem
Begriff "nullteilerfrei" die Aussage formulieren.
Wodrauf ich eigentlich hinaus wollte:
Sei $y [mm] \in \IR\,.$ [/mm] Wir suchen $x [mm] \in \IR$ [/mm] mit [mm] $y=1/x\,:$
[/mm]
Dann gilt [mm] $xy=1\,.$ [/mm] (Hier sieht man eigentlich auch schon $x,y [mm] \not=0\,.$)
[/mm]
Den nächsten Schritt:
"Dann folgt [mm] $x=1/y\,$..."
[/mm]
kannst Du nur machen, wenn Du dazuschreibst:
"...im Falle, dass $y [mm] \not=0\,$ [/mm] ist!"
Und Du kannst aber sagen: Es muss aber $y [mm] \not=0$ [/mm] sein, wenn [mm] $xy=1\,$
[/mm]
gilt. Aber dann muss an dieser Stelle auch schon $x [mm] \not=0\,$ [/mm] sein...
Gruß,
Marcel
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