Bildmenge einer Funktion < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Die Bildmenge (bezogen auf eine math. Funktion) ist die Menge von Werten der Zielmenge, die tatsächlich angenommen werden. |
Hallo Vorhilfe und gleich am Anfang ein frohes neues Jahr !!!
Seit Tagen zerbreche ich mir über die Bildmenge einer Funktion den Kopf. Für einfache Funktionen ist die Überlegung kein Problem, kommt es jedoch zu 'höheren' Funktionen (z.B. Polynom mit n>=3) treten Probleme auf.
Bei einer Funktion f(x) = 2x + 3 weiß ich, dass ich als Definitionsmenge die Reellen Zahlen einsetzen darf, ohne Einschränkung. Die Wertemenge wären [mm] \IR, [/mm] da ich immer einen Wert f(x) bekomme, egal was ich für x einsetze.
Nun, die Bildmenge wäre soweit ich es verstanden habe ganz [mm] \IR, [/mm] da sich die Funktion mit seinen eingesetzten Werten tatsächlich über ganz [mm] \IR [/mm] bewegt...
Wie einige bestimmt schon merken und ich auch gemerkt habe, ist die Definition bzw. das Erklären "Wieso und weshalb ist das die Bildmenge und warum genau das was ich sage" für mich ein Problem. Mit höheren Funktionen will ich garnicht anfangen.
Nun meine Frage:
Wie geht Ihr an die Sache heran ? Was schaut ihr euch zu erst an ?
Ich brauche, falls möglich, eine Beschreibung wie ihr an eine Aufgabe herantretet, in der die "Bildmenge" gesucht wird.
Erklärungen zur Bildmenge (event. sogar noch zum Urbild) wären klasse. Ich verstehe die Thematik einfach nicht und mache mir Sorgen, da es Grundlagen sind die man eig. von Grund auf verstehen sollte.
Herzlichen Dank
derfrederic
"Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt."
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> Die Bildmenge (bezogen auf eine math. Funktion) ist die
> Menge von Werten der Zielmenge, die tatsächlich angenommen
> werden.
> Hallo Vorhilfe und gleich am Anfang ein frohes neues Jahr
> !!!
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> Seit Tagen zerbreche ich mir über die Bildmenge einer
> Funktion den Kopf. Für einfache Funktionen ist die
> Überlegung kein Problem, kommt es jedoch zu 'höheren'
> Funktionen (z.B. Polynom mit n>=3) treten Probleme auf.
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> Bei einer Funktion f(x) = 2x + 3 weiß ich, dass ich als
> Definitionsmenge die Reellen Zahlen einsetzen darf, ohne
> Einschränkung. Die Wertemenge wären [mm]\IR,[/mm] da ich immer
> einen Wert f(x) bekomme, egal was ich für x einsetze.
Genau ganz salopp formuliert ist die Definitionsmenge die Werte der x-Achse und die Bildmenge die Werte der y-Achse. Bevor mich jetzt jemand schlägt, mache ich es doch noch genauer:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Hier siehst du für die lineare Funktion 2x+3 , dass du vom Graphen dieser Funktion eine senkrechte Verbindungslinie zur y-Achse herstellen könntest und du dabei jeden y-Wert treffen kannst. Vom Punkt (2,7) kommst du zur Stelle 7 an der y-Achse.
Bei der roten Funktion [mm]x^2+4[/mm] sieht es anders aus. Hier gibt es keine waagerechte Verbindungsline vom Graphen zur Stelle 2 an der y-Achse. Die 2 gehört also nicht zum Wertebereich.
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> Nun, die Bildmenge wäre soweit ich es verstanden habe ganz
> [mm]\IR,[/mm] da sich die Funktion mit seinen eingesetzten Werten
> tatsächlich über ganz [mm]\IR[/mm] bewegt...
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> Wie einige bestimmt schon merken und ich auch gemerkt habe,
> ist die Definition bzw. das Erklären "Wieso und weshalb
> ist das die Bildmenge und warum genau das was ich sage"
> für mich ein Problem. Mit höheren Funktionen will ich
> garnicht anfangen.
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> Nun meine Frage:
>
> Wie geht Ihr an die Sache heran ? Was schaut ihr euch zu
> erst an ?
> Ich brauche, falls möglich, eine Beschreibung wie ihr an
> eine Aufgabe herantretet, in der die "Bildmenge" gesucht
> wird.
Da wäre ein Eigenanteil gefragt:
[mm]\operatorname{Bild}(f)=\{y\;|\;\exists x:f(x)=y\}=\{f(x)\; |\;x\in\textrm{ Definitionsbereich}\}[/mm]
Bei [mm] $f(x)=x^2+4$ [/mm] wäre das konkret
[mm]\operatorname{Bild}(f)=\{x^2+4\; |\; x\in \IR\}=[4,\infty )[/mm]
Bei Urbild ist das auch nicht komplizierter:
[Dateianhang nicht öffentlich]
[mm] $f(x)=x^2+2$
[/mm]
Das Urbild von {y} ist die Menge aller x, die auf y abgebildet werden. Hier wäre das Urbild von {6} die Menge {-2,2}, weil f(-2)=6 und f(2)=6. Also
[mm] $f^{-1}(\{6\})=\{-2,2\}$. [/mm] Die Definition solltest du im Script haben.
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> Erklärungen zur Bildmenge (event. sogar noch zum Urbild)
> wären klasse. Ich verstehe die Thematik einfach nicht und
> mache mir Sorgen, da es Grundlagen sind die man eig. von
> Grund auf verstehen sollte.
>
> Herzlichen Dank
>
> derfrederic
>
> "Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt."
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Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Also um nochmal zusammenzufassen.
Definitionsbereich:
>> Ich schaue mir an, was ich für x einsetzen "darf".
Wertebereich:
>> Ich setze für x negative, positive Werte ein und schaue dann was >>für x = 0 passiert. Die Ergebnise f(x) = ... liefern mir dann >>nacheinander den Wertebereich.
Bild:
>>Ich schaue mir den Graph der Funktion an, oder stelle ihn mir >>vor... Wenn ich z.B. eine Normal-Parabel als Funktion habe, die >>bei S=(0;3) aufliegt, ist das Bild f(D) = [3 ; [mm] \infty) [/mm] ???
Urbild:
>>Schaue mir einen bestimmten X-Wert an, z.B (4;0) und gehe in Y-Richtung, bis ich die Funktion treffe. Nun lege ich eine horizontale-Gerade mit Steigung 0 in den Punkt. Diese Gerade stellt dann das Urbild zu einem bestimmten X-Wert dar ???
Hoffe ich habe alles richtig verstanden.
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Du machst ja wirklich eine Wissenschaft daraus. Es sollte doch intuitiv sein, dass für [mm]f(x)=\sqrt{x}[/mm] man keine negativen Werte einsetzen darf.
> Also um nochmal zusammenzufassen.
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> Definitionsbereich:
> >> Ich schaue mir an, was ich für x einsetzen "darf".
Das ist "richtig". Was soll man dazu sagen?
>
> Wertebereich:
> >> Ich setze für x negative, positive Werte ein und
> schaue dann was >>für x = 0 passiert. Die Ergebnise f(x) =
> ... liefern mir dann >>nacheinander den Wertebereich.
Nein, du setzt alle Werte aus dem Definitionsbereich ein.
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> Bild:
> >>Ich schaue mir den Graph der Funktion an, oder stelle
> ihn mir >>vor... Wenn ich z.B. eine Normal-Parabel als
> Funktion habe, die >>bei S=(0;3) aufliegt, ist das Bild
> f(D) = [3 ; [mm]\infty)[/mm] ???
Sofern die Parabel nach oben geöffnet ist ja. Zur deiner allgemeinen Verwirrung: Man kann auch das Bild von einer Menge bestimmen [mm]f(M)=\{f(x)\;|\;x\in M\}[/mm]. Das Bild einer Funktion ist der Spezialfall M=Definitionsbereich.
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> Urbild:
> >>Schaue mir einen bestimmten X-Wert an, z.B (4;0) und
> gehe in Y-Richtung, bis ich die Funktion treffe. Nun lege
> ich eine horizontale-Gerade mit Steigung 0 in den Punkt.
> Diese Gerade stellt dann das Urbild zu einem bestimmten
> X-Wert dar ???
Das musste ich mir jetzt dreimal durchlesen. Das Urbild eines Wertes y sind alle Werte x, die darauf abgebildet werden.
Das ist natürlich auch nur wieder ein Spezialfall für die einelementige Menge.
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> Hoffe ich habe alles richtig verstanden.
Es gibt Wikipedia.
http://de.wikipedia.org/wiki/Bild_%28Mathematik%29
http://de.wikipedia.org/wiki/Urbild_%28Mathematik%29
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Ich verstehe es einfach nicht wirklich...
Komme mit so ziemlich allem in der Mathematik klar, was ich bis heute durchgenommen habe. Sorge mich zur Zeit nur etwas um die Zukunft (Mehrdimensionale Funktionen etc.)...
Glaube, wenn ich die Grundlagen nicht perfekt drauf habe, dass ich irgendwann ziemlich untergehe...
Ich werde dann mal anderweitig schauen, wie ich mir dieses Thema etwas näher bringen kann. (Sind noch viele Dinge ungeklärt).
Ich werde mir deine Antworten noch ein paar mal anschauen und eventuell hilft das ja :)
Danke dir auf jeden Fall für deine Zeit und wünsche noch einen schönen Sonntag.
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