Bildung einer Umkehrfunktion < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | 1. Bilde die Umkehrfunktionsgleichung zu den gegebenen Funktionen!
a: f(x)= -3x+2
b: f(x)= [mm] \bruch{2x-4}{x+1} [/mm] |
Die erste Aufgabe scheint mir ja noch sinnig, einfach nach x auflösen woraus sich für mich ergebe:
y = -3x+2 |-y |+3x
3x= -y +2 |:3
x= [mm] \bruch{-y+2}{3}
[/mm]
Dann die Umbenennung:
f(y) [mm] =\bruch{-y+2}{3}
[/mm]
-->
[mm] f(x)=\bruch{-x+2}{3}
[/mm]
Sollte hier ein Fehler drin sein, bitte mitteilen!!
Dies ergibt ja noch nen Sinn für mich, aber wie muss ich dies bei Aufgabe b machen, wo ich von Anfang an einen Bruch habe??
Vielen Dank im voraus!
P.S. Ich hoffe ich habe es ins richtige Forum gestellt.
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> 1. Bilde die Umkehrfunktionsgleichung zu den gegebenen
> Funktionen!
> a: f(x)= -3x+2
> b: f(x)= [mm]\bruch{2x-4}{x+1}[/mm]
> Die erste Aufgabe scheint mir ja noch sinnig, einfach nach
> x auflösen woraus sich für mich ergebe:
>
> y = -3x+2 |-y |+3x
> 3x= -y +2 |:3
> x= [mm]\bruch{-y+2}{3}[/mm]
> Dann die Umbenennung:
> f(y) [mm]=\bruch{-y+2}{3}[/mm]
>
> -->
> [mm]f(x)=\bruch{-x+2}{3}[/mm]
>
> Sollte hier ein Fehler drin sein, bitte mitteilen!!
nein ist alles richtig!
>
> Dies ergibt ja noch nen Sinn für mich, aber wie muss ich
> dies bei Aufgabe b machen, wo ich von Anfang an einen Bruch
> habe??
erstmal auf beiden seiten mit dem nenner multiplizieren, dann klammern ausmultiplizieren und versuchen x zu isolieren
> Vielen Dank im voraus!
> P.S. Ich hoffe ich habe es ins richtige Forum gestellt.
gruß tee
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Ok, das macht jetzt mehr Sinn:
f(x) = [mm] \bruch{2x-4}{x+1}
[/mm]
y= [mm] \bruch{2x-4}{x+1}|*(x+1)
[/mm]
y*(x+1) = 2x-4
yx+y= 2x-4 |-yx |+4
y+4= 2x-yx
y+4= x*(2-y) |:(2-y)
[mm] \bruch{4+y}{2-y}= [/mm] x
Umbenennung:
[mm] x=\bruch{4+y}{2-y}
[/mm]
[mm] y=\bruch{4+x}{2-x}
[/mm]
Ist dies soweit richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:54 Sa 20.02.2010 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Legends,
> Multipliziere ich erst aus, erhalte ich:
> yx +y = 2x-4 |-2x
> -2x+yx+y = -4
Bis hierhin korrekt.
> -2x+yx+y = -4 |:y Problem: wenn ich jetzt das y
> rüberholen will, kommt es automatisch in eine
> Abhängigkeit von x, quasi:
> [mm]\bruch{-2x}{y}+x+1[/mm] = y-4
Auf der rechten Seite müsste es [mm] $\bruch{-4}y$ [/mm] heißen.
> Hole ich das y vorher rüber, wird es auch nicht besser...
> y(x+1)=2x-4 |:y
> x+1 = [mm]\bruch{2x-4}{y}[/mm]
> und habe somit fast dasselbe Problem....
> Was mache ich falsch? Wo ist der Denkfehler?
Einen Denkfehler hast du gar nicht mal, nur noch keine Idee, wie du die Gleichung nach x lösen kannst.
Starten wir nochmal bei $-2x+yx+y = -4$. Wir sehen y als gegebene Zahl an und wollen nach x auflösen. Wäre z.B. y=5, so hätten wir die Gleichung $-2x+5x+5=-4$ zu lösen. Wie würdest du da vorgehen? Genauso kannst du dann mit einer beliebigen Zahl y anstelle der Zahl 5 vorgehen.
(Eine Sache haben wir beide bisher völlig unterschlagen: Gleichungen darf man nur dann mit Termen multiplizieren oder durch Terme dividieren, wenn diese Terme ungleich 0 sind. Daher sind in diesen Situationen häufig Fallunterscheidungen nötig. Wenn du genauere Infos wünschst, frag einfach nach!)
Viele Grüße
Tobias
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| Aufgabe | | Bilde die Ableitungen je der Funktion und der Umkehrfunktion und bestätige , dass die Ableitungen der Umkehrfunktion nach Umbenennung der Kehrwert der Ableitung der Ursprungsfunktion ist. |
Fangen wir mit der Aufgabe a) an: x1 = Ursprungsfunktion, x2 = Umkehrfunktion
f(x1)= -3x+2
f'(x1)= -3
bei f(x2) greift die Quotientenregel:
f(x2) [mm] =\bruch{-x+2}{3}
[/mm]
f'(x2) = [mm] \bruch{1}{3}
[/mm]
Nur wie kann ich das jetzt bestätigen?
Bzw. was muss ich hier jetzt noch machen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:23 Sa 20.02.2010 | | Autor: | tobit09 |
> Fangen wir mit der Aufgabe a) an: x1 = Ursprungsfunktion,
> x2 = Umkehrfunktion
Wenn du [mm] $f(x_1)$ [/mm] schreibst, müsstest du auch beispielsweise [mm] $f(x_1)=-3x_{\blue1}+2$ [/mm] schreiben.
Ich würde nicht beide Funktionen mit dem gleichen Buchstaben f bezeichnen. Besser: f die ursprüngliche Funktion, g die Umkehrfunktion. Die Argumente können dann weiterhin stets x heißen. So möchte ich es gerne im Weiteren halten.
> f(x1)= -3x+2
> f'(x1)= -3
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> bei f(x2) greift die Quotientenregel:
> f(x2) [mm]=\bruch{-x+2}{3}[/mm]
>
> f'(x2) = [mm]\red-\bruch{1}{3}[/mm]
Hier musst du gar nicht die Quotientenregel anwenden: Es gilt [mm] $g(x)=\bruch{-x+2}{3}=-\bruch13x+\bruch23$. [/mm] Somit kannst du die Ableitung direkt ablesen.
> Nur wie kann ich das jetzt bestätigen?
> Bzw. was muss ich hier jetzt noch machen?
Es soll an diesem Beispiel gezeigt werden, dass die Regel über die Ableitung von Umkehrfunktionen richtig ist. Sie lautet (etwas sehr stark vereinfacht): Ist g die Umkehrfunktion einer Funktion f, so gilt [mm] $g'(x)=\bruch1{f'(g(x))}$. [/mm] Dann versuche, dass mal nachzuprüfen!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:49 Sa 20.02.2010 | | Autor: | tobit09 |
Um mein schlechtes Gewissen zu beruhigen, hier noch mal eine korrekte Fassung des Satzes über die Ableitung von Umkehrfunktionen:
Sei [mm] $f:C\to [/mm] D$ eine bijektive Funktion, wobei C und D Mengen reeller Zahlen seien. Sei g die Umkehrfunktion von f. Sei [mm] $x\in [/mm] D$, so dass g stetig in x und f differenzierbar in $g(x)$ ist mit [mm] $f'(g(x))\not=0$.
[/mm]
Dann ist g in x differenzierbar mit [mm] $g'(x)=\bruch1{f'(g(x))}$.
[/mm]
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| Aufgabe | | Weise nach, dass eine Tangente an den Graph der Ursprungsfunktion durch einen Punkt des Graphen die Tangente an den Graph der Umkehrfunktion durch den entsprechenden Punkt des Umkehrfunktionsgraphen in einem Punkt auf der 1. Winkelhalbierenden des Achsenkreuzes schneidet. |
Dies ist der letzte Teil der Aufgabe, nur weiß ich nicht, wie ich es nachweisen soll.
Bzw. was hier überhaupt verlangt ist...
Klar, ich weiß was die Winkelhalbierende des Achsenkreuzes ist, aber mehr weiß ich hier schon nicht -.-
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> Weise nach, dass eine Tangente an den Graph der
> Ursprungsfunktion durch einen Punkt des Graphen die
> Tangente an den Graph der Umkehrfunktion durch den
> entsprechenden Punkt des Umkehrfunktionsgraphen in einem
> Punkt auf der 1. Winkelhalbierenden des Achsenkreuzes
> schneidet.
> Dies ist der letzte Teil der Aufgabe, nur weiß ich nicht,
> wie ich es nachweisen soll.
> Bzw. was hier überhaupt verlangt ist...
> Klar, ich weiß was die Winkelhalbierende des
> Achsenkreuzes ist, aber mehr weiß ich hier schon nicht -.-
als die Lösung vorbereitende Maßnahme wäre es sinnvoll, würdest Du mal übersichtlich zusammengestellt aufschreiben
die Funktion (Funktionsvorschrift),
ihre Umkehrfunktion
Hallo,
redest Du von Aufgabe a) oder Aufgabe b) oder soll das allgemein gelöst werden?
Wie auch immer:
Sei [mm] x_0 [/mm] eine feste Stelle.
Mit den einander entsprechenden Punkten sind die Punkte [mm] P(x_0|f(x_0)) [/mm] und [mm] P'(f(x_0)| x_0) [/mm] gemeint.
Welhes ist die Ableitung (=Tangentensteigung) von f im Punkt [mm] x_0?
[/mm]
Welches ist die Ableitung vo [mm] f^{-1} [/mm] (Umkehrfunktion) im Punkt [mm] f(x_0)?
[/mm]
Wie lauten die beiden Gleichungen der Tangenten.
Nun sollst Du zeigen, daß sie sich auf der besagten Winkelhalbierenden schneiden.
Dazu könntest Du doch die beiden Tangentengleichungen gleichsetzen und den Schnittpunkt errechnen.
Überlege Dir, woran Du merkst, ob er auf der Winkelhalbierenden liegt.
Gruß v. Angela
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