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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:43 Mi 19.09.2012 | | Autor: | heinze |
| Aufgabe | [mm] \Phi_A [/mm] sei eine Bilinearform [mm] \Phi_A(x,y)=x^T*A*y
[/mm]
[mm] A=\pmat{ 0 & a & b \\ a & 0 & a \\ b & a & 0 }
[/mm]
a) bestimme [mm] a,b\in \IR [/mm] so, dass [mm] \phi_A [/mm] positib definit ist.
b)bestimme [mm] a,b\in \IR [/mm] so, dass [mm] \phi_A [/mm] nicht ausgeartet ist.
[mm] c)a,b\in \IR [/mm] seien so, dass [mm] \Phi_A [/mm] nicht ausgeartet. Bestimme eine Orthogonalbasis [mm] \Phi_A [/mm] die [mm] e_1+e_2=(1,1,0)^T [/mm] enthält |
a) Positiv definit ist die Bilinearform, wenn alle Eigenwerte größer Null sind. Eigenwerte bestimmt man über das charakteristische Polynom, was hier lauten muss:
p(x)= [mm] -x^3+2a^2b+b^2x+2a^2x
[/mm]
Alles weitere hängt jetzt am Rechnen, da mir das bei dem Beispiel ohne Zahlen recht schwer fällt.
b)Könnt ihr mir nochmal erklären wie man zeigt, dass eine Bilinearform nicht ausgeartet ist? Es muss gelten [mm] \Phi_A(x,y)=0 [/mm]
LG
heinze
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:21 Mi 19.09.2012 | | Autor: | fred97 |
> [mm]\Phi_A[/mm] sei eine Bilinearform [mm]\Phi_A(x,y)=x^T*A*y[/mm]
>
> [mm]A=\pmat{ 0 & a & b \\ a & 0 & a \\ b & a & 0 }[/mm]
>
> a) bestimme [mm]a,b\in \IR[/mm] so, dass [mm]\phi_A[/mm] positib definit
> ist.
>
> b)bestimme [mm]a,b\in \IR[/mm] so, dass [mm]\phi_A[/mm] nicht ausgeartet
> ist.
>
> [mm]c)a,b\in \IR[/mm] seien so, dass [mm]\Phi_A[/mm] nicht ausgeartet.
> Bestimme eine Orthogonalbasis [mm]\Phi_A[/mm] die [mm]e_1+e_2=(1,1,0)^T[/mm]
> enthält
> a) Positiv definit ist die Bilinearform, wenn alle
> Eigenwerte größer Null sind. Eigenwerte bestimmt man
> über das charakteristische Polynom, was hier lauten muss:
>
> p(x)= [mm]-x^3+2a^2b+b^2x+2a^2x[/mm]
[mm] \Phi_A [/mm] ist für keine Wahl von a,b positiv definit ! Denn für [mm] \xi:=(u,v,w)^T \in \IR^3 [/mm] ist
[mm] $\Phi_A(\xi,\xi)= [/mm] 2auv+2buw+2avw$
Ist z.B. [mm] \xi=(1,0,0)^T, [/mm] so ist [mm] $\Phi_A(\xi,\xi)=0$,
[/mm]
Wäre [mm] \Phi_A [/mm] pasitiv definit, so wäre [mm] $\Phi_A(\xi,\xi)>0$ [/mm] für obiges [mm] \xi.
[/mm]
Latet Aufgabe a) wirklich so ?
> Alles weitere hängt jetzt am Rechnen, da mir das bei dem
> Beispiel ohne Zahlen recht schwer fällt.
>
> b)Könnt ihr mir nochmal erklären wie man zeigt, dass eine
> Bilinearform nicht ausgeartet ist? Es muss gelten
> [mm]\Phi_A(x,y)=0[/mm]
Nein. Die sym. Bilinearform [mm] \Phi_A [/mm] heißt nicht ausgeartet, wenn für alle y [mm] \in \IR^3 [/mm] gilt:
[mm] \Phi_A(x,y)=0 [/mm] für alle x [mm] \in \IR^3 \Rightarrow [/mm] y=0.
Nun rechne halt mal.
FRED
>
>
> LG
> heinze
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:27 Do 20.09.2012 | | Autor: | heinze |
ja, Aufgabe a) lautet wirklich so.
Kannst du mir das nochmal genauer an meinem Beispiel erklären, warum [mm] \Phi_A [/mm] nicht positiv definit sein kann. Ich habe noch nicht verstanden, warum das so sein muss. War mein weg über das charakteristische Polynom richtig? Oder wie zeigt/bestimmt man, ob eine Bilinearform positiv definit ist?
b) "nicht ausgeartet" zeigen, das verstehe ich gar nicht anhand der Definition. Das kann ich doch auch begründen indem ich zeige, dass die matrix invertierbar ist! Und eine matrix ist invertierbar, wenn die determinante nicht 0 wird. Ich habe folgende 2 Definitionen in meinem Skript zu nicht ausgeartet:
1. A ist invertierbar
2. [mm] \phi(v,w)=0 [/mm]
[mm] det(A)=-x^3+2a^2b [/mm] und wenn die nicht 0 werden darf muss gelten: [mm] a,b\not= [/mm] 0 und b>0
Mein Verständnis zu Bilinearformen lässt leider sehr zu wünschen übrig. Mir fehlt einfach die Übung.
LG
heinze
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:50 Do 20.09.2012 | | Autor: | hippias |
> ja, Aufgabe a) lautet wirklich so.
> Kannst du mir das nochmal genauer an meinem Beispiel
> erklären, warum [mm]\Phi_A[/mm] nicht positiv definit sein kann.
> Ich habe noch nicht verstanden, warum das so sein muss. War
> mein weg über das charakteristische Polynom richtig? Oder
> wie zeigt/bestimmt man, ob eine Bilinearform positiv
> definit ist?
Positiv definit heisst: Wenn [mm] $x\neq [/mm] 0$, dann gilt [mm] $\Phi(x,x)>0$. [/mm] Wie fred97 erklaert hat, ist diese Bedingung fuer alle Wahlen von $a,b$ verletzt. Eine Begruendung mittels EW waere auch moeglich, aber vermutlich aufwendiger.
>
> b) "nicht ausgeartet" zeigen, das verstehe ich gar nicht
> anhand der Definition. Das kann ich doch auch begründen
> indem ich zeige, dass die matrix invertierbar ist!
Ja, das geht auch.
> Und eine
> matrix ist invertierbar, wenn die determinante nicht 0
> wird. Ich habe folgende 2 Definitionen in meinem Skript zu
> nicht ausgeartet:
>
> 1. A ist invertierbar
> 2. [mm]\phi(v,w)=0[/mm]
>
> [mm]det(A)=-x^3+2a^2b[/mm] und wenn die nicht 0 werden darf muss
> gelten: [mm]a,b\not=[/mm] 0 und b>0
So wie Du es notiert hast, steht es sicher nicht im Skript, aber ich denke, Du meinst das Richtige. Aber selbst wenn das die richtige Determinante waere, was nicht der Fall ist, dann wundere ich mich,wie Du auf $b>0$ kommst.
>
> Mein Verständnis zu Bilinearformen lässt leider sehr zu
> wünschen übrig. Mir fehlt einfach die Übung.
>
>
> LG
> heinze
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:05 Do 20.09.2012 | | Autor: | heinze |
positiv defint ist mir immer noch nicht klar wie genau man das zeigt. Aber das werde ich nochmal genauer nachschlagen.
Ich war irrtümlicherweise bei den Eigenwerten, sorry.
Die Determinante muss heißen [mm] det(A)=2a^2*b [/mm] und es gilt [mm] a,b\not= [/mm] 0
Ein Problem ist die Bestimmung einer Orthogonalbasis (a,b sollen so sein, dass [mm] \Phi_A [/mm] nicht ausgeartet) und die [mm] e_1+e_2=(1,1,0)^T [/mm] enthält.
Orthogonalbasis bestimmt man über die Eigenwerte und Eigenvektoren.
Allerdings scheitere ich hier am Rechnen. Das charakteristische Polynom:
[mm] p(x)=-x^3+2a^2b
[/mm]
x= [mm] \wurzel[3]{2a^2b} [/mm] Hier habe ich aber nur einen Eigenwert! Und dazu den Eigenvektor zu bestimmen, daran scheitere ich.
LG
heinze
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:27 Do 20.09.2012 | | Autor: | fred97 |
> positiv defint ist mir immer noch nicht klar wie genau man
> das zeigt. Aber das werde ich nochmal genauer
> nachschlagen.
Hier
http://de.wikipedia.org/wiki/Definitheit
findest Du einige kriterien für Definitheit.
>
> Ich war irrtümlicherweise bei den Eigenwerten, sorry.
Wieso sorry ?
>
> Die Determinante muss heißen [mm]det(A)=2a^2*b[/mm]
Das stimmt.
> und es gilt
> [mm]a,b\not=[/mm] 0
Ist das in der Aufgabe vorausgesetzt ?
>
> Ein Problem ist die Bestimmung einer Orthogonalbasis
Von was ???
(a,b
> sollen so sein, dass [mm]\Phi_A[/mm] nicht ausgeartet) und die
> [mm]e_1+e_2=(1,1,0)^T[/mm] enthält.
>
> Orthogonalbasis bestimmt man über die Eigenwerte und
> Eigenvektoren.
Sag doch bitte von was Du eine Orthogonalbasis bestimmen sollst
> Allerdings scheitere ich hier am Rechnen. Das
> charakteristische Polynom:
> [mm]p(x)=-x^3+2a^2b[/mm]
Das stimmt nicht.
FRED
>
> x= [mm]\wurzel[3]{2a^2b}[/mm] Hier habe ich aber nur einen
> Eigenwert! Und dazu den Eigenvektor zu bestimmen, daran
> scheitere ich.
>
>
> LG
> heinze
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:42 Do 20.09.2012 | | Autor: | heinze |
Eine Orthogonalbasis des [mm] \IR^3 [/mm] von [mm] \Phi_A, [/mm] die [mm] 3_1+e_2=(1,1,0)^T [/mm] enthält.
Das charakteristische Polynom ist: [mm] -x^3+2a^2b+b^2x+2a^2x [/mm]
jetzt müssen die Eigenwerte und Eigenwerte bestimmt werden. Was mich aber irritiert ist die Vorgabe [mm] 3_1+e_2=/1,1,0)^T
[/mm]
LG
heinze
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 20:44 Do 20.09.2012 | | Autor: | heinze |
Könnt ihr mir etwas auf die Sprünge helfen beim Bestimmen der Orthonormalbasis?
LG
heinze
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:20 Sa 22.09.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:03 Do 20.09.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Eine Orthogonalbasis des [mm]\IR^3[/mm] von [mm]\Phi_A,[/mm] die
> [mm]3_1+e_2=(1,1,0)^T[/mm] enthält.
>
> Das charakteristische Polynom ist: [mm]-x^3+2a^2b+b^2x+2a^2x[/mm]
>
> jetzt müssen die Eigenwerte und Eigenwerte bestimmt
> werden. Was mich aber irritiert ist die Vorgabe
> [mm]3_1+e_2=/1,1,0)^T[/mm]
Du wolltest sicher [mm] $e_1$ [/mm] anstatt [mm] $3_1$ [/mm] schreiben. Was irritiert Dich denn?
Es ist [mm] $e_1=(1,0,0)^T=\vektor{1\\0\\0}$ [/mm] und [mm] $e_2=(0,1,0)^T=\vektor{0\\1\\0}$ [/mm] - also
[mm] $$e_1+e_2=(1,0,0)^T+(0,1,0)^T=\vektor{1\\0\\0}+\vektor{0\\1\\0}=\vektor{1\\1\\0}=(1,1,0)^T$$
[/mm]
Und oben steht halt, dass [mm] $(1,1,0)^T$ [/mm] ein Element der Orthogonalbasis
sein soll - d.h. die anderen beiden Vektoren (woher weiß ich, dass es derer
genau zwei sein müssen?) stehen insbesondere senkrecht (was meint das
hier?) auf [mm] $(1,1,0)^T\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Frage) überfällig | | Datum: | 07:18 Fr 21.09.2012 | | Autor: | heinze |
Danke Marcel, deine Erklärung hat mir weiter geholfen. Ich habe meine Frage vielleicht etwas unverständlich formuliert, aber ich meinte vielmehr, wie man anhand der Matrix zwei weitere Vektoren findet.
Ich muss die Eigenvektoren über das charakteristische Polynom bestimmen. Da hängt es allerdings am Rechnen. Zudem erhalte ich nur einen Eigenwert, müsste also einen 3.Vektor der orthogonal ist " erraten"?
charakt. Pol. war: [mm] -x^3+2a^2b+b^2x+2a^2x
[/mm]
LG
heinze
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:20 So 23.09.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:20 Mo 24.09.2012 | | Autor: | heinze |
wenn [mm] e_1+e_2=(1 [/mm] 1 [mm] 0)^T [/mm] dann sind [mm] e_1=(1 [/mm] 0 [mm] 0)^T, e_2=(0 [/mm] 1 [mm] 0)^T [/mm]
Dann könnte ich ja einfach [mm] e_3=(0 [/mm] 0 [mm] 1)^T [/mm] wählen und ich erhalte eine Orthogonalbasis des [mm] \IR^3 [/mm] von [mm] \Phi_A [/mm] mit
[mm] S=\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }
[/mm]
Das wars schon? mehr ist hier nicht zu tun?
LG
heinze
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:32 Mo 24.09.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Heinze,
ich hab' nicht viel Zeit, sonst hätte ich Dir schon geantwortet (Arbeitsstress):
> wenn [mm]e_1+e_2=(1[/mm] 1 [mm]0)^T[/mm] dann sind [mm]e_1=(1[/mm] 0 [mm]0)^T, e_2=(0[/mm] 1
> [mm]0)^T[/mm]
na, das ist keine Folgerung, sondern es ist klar, dass [mm] $e_1=(1,0,0)^T$ [/mm] und
[mm] $e_2=(0,1,0)^T$ [/mm] und DAMIT [mm] $e_1+e_2=(1,1,0)^T$ [/mm] gilt.
> Dann könnte ich ja einfach [mm]e_3=(0[/mm] 0 [mm]1)^T[/mm] wählen und ich
> erhalte eine Orthogonalbasis des [mm]\IR^3[/mm] von [mm]\Phi_A[/mm] mit
>
> [mm]S=\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }[/mm]
>
> Das wars schon? mehr ist hier nicht zu tun?
Nein, das war's nicht. Du kennst nur einen Vektor einer Orthogonalbasis,
nämlich den Vektor [mm] $e_1+e_2=(1,1,0)^T\,.$ [/mm] Und dann habe ich Dir
schonmal gesagt, dass Du Dir erstmal klarmachen sollst, was hier
eigentlichl "Orthogonalität" bedeutet: Da steht ja nicht umsonst
"Orthogonalbasis (bzgl.) [mm] $\Phi_A$"!!
[/mm]
P.S.
Frage gab's schonmal!
Auch, wenn da nicht einfach die Lösung drinsteht, kannst Du ja trotzdem
mal reingucken... Manchmal lernt man auch aus den Fragen anderer 
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:26 Mo 24.09.2012 | | Autor: | heinze |
Mir ist nun klar, dass ich Gram Schmidt verwenden muss. Allerdings habe ich bei dem verfahren immer so angefangen, das gilt: [mm] e_1=b_1=(1 [/mm] 0 [mm] 0)^T
[/mm]
Ich verstehe nicht so recht wie ich vorgehe wenn [mm] e_1+e_2 [/mm] gegeben ist.
LG
heinze
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:12 Di 25.09.2012 | | Autor: | fred97 |
> Mir ist nun klar, dass ich Gram Schmidt verwenden muss.
> Allerdings habe ich bei dem verfahren immer so angefangen,
> das gilt: [mm]e_1=b_1=(1[/mm] 0 [mm]0)^T[/mm]
>
> Ich verstehe nicht so recht wie ich vorgehe wenn [mm]e_1+e_2[/mm]
> gegeben ist.
Sei [mm] v_1=e_1+e_2. [/mm] Bestimme [mm] v_2, v_3 [/mm] so, dass
[mm] \phi_A(v_i,v_j)=0 [/mm] für i [mm] \ne [/mm] j und [mm] \phi_A(v_i,v_i) \ne [/mm] 0
ist.
FRED
>
> LG
> heinze
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:34 Di 25.09.2012 | | Autor: | heinze |
Wenn Gram Schmidt angewandt werden soll, so habe ich bereits mein [mm] b_1 [/mm] mit [mm] b_1=(1,1,0)^T
[/mm]
[mm] b'_2=\lambda*b_1+e_2
[/mm]
[mm] \lambda_1=-\Phi_A(e_2,b_1)
[/mm]
[mm] =-(0,1,0)\pmat{ 0 & a & b \\ a & 0 & a \\ b & a & 0 }\vektor{1 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
= [mm] -\vektor{0 \\ a \\ 0}*\vektor{1 \\ 1 \\ 0}= [/mm] -a
Also gilt für b'_2= [mm] \lambda*b_1+e_2= \vektor{-a \\ -a+1 \\ 0}
[/mm]
[mm] b_2=\bruch{1}{\wurzel{\Phi_A(b'_2,b'_2)}}*b'_2
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{\wurzel{2a^3-2a^2}}* \vektor{-a \\ -a+1 \\ 0}
[/mm]
Ist mein Ansatz richtig? bzw stimmt mein zweiter Vektor?
LG
heinze
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:41 Mi 26.09.2012 | | Autor: | heinze |
Könnt ihr bei dieser Aufgabe nochmal Tipps geben bevor sie abläuft?
LG
heinze
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:54 Do 20.09.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> positiv defint ist mir immer noch nicht klar wie genau man
> das zeigt.
na, man kann sich das hier auch so überlegen:
Es waren
$$ [mm] \Phi_A(x,y)=x^T\cdot{}A\cdot{}y [/mm] $$
$$ [mm] A=\pmat{ 0 & a & b \\ a & 0 & a \\ b & a & 0 } [/mm] $$
Wenn nun [mm] $e_i$ [/mm] der i-te Einheits-Spaltenvektor des [mm] $\IR^3$ [/mm] ist,
also wenn [mm] $e_1=(1,0,0)^T,\;$ $e_2=(0,1,0)^T$ [/mm] und [mm] $e_3=(0,0,1)^T$
[/mm]
ist, dann ist das Ergebnis von [mm] $A*e_i$ [/mm] gerade die i-te Spalte von [mm] $A\,.$
[/mm]
Der (Zeilen-)Vektor [mm] ${e_i}^T$ [/mm] besteht aber nur aus Nullen, außer an der
i-ten Stelle, der Spaltenvektor [mm] $A*e_i$ [/mm] hat aber gerade an der i-ten Stelle
eine Null stehen. Deswegen ist das aus [mm] $e_i$ [/mm] und [mm] $A*e_i$ [/mm] gebildete
Skalarprodukt (eukl. Standard-Skalarprodukt), was sich aber auch als
[mm] $\phi_A(e_i,e_i)$ [/mm] schreiben läßt, stets [mm] $=0\,,$ [/mm] egal für welche Wahl von
[mm] $a\,$ [/mm] und [mm] $b\,.$ [/mm] (Zudem ist auch [mm] $\phi_A(r*e_i,r*e_i)=0$ [/mm] für jedes
$r [mm] \not=0\,.$)
[/mm]
Wäre es aber mit einer geeigneten Wahl von [mm] $a,\,b$ [/mm] auch möglich,
ein positiv definites [mm] $\phi_A$ [/mm] zu erhalten, so würde das bedeuten, dass
[mm] $\phi_A(x,x) [/mm] > 0$ für ALLE $x [mm] \in \IR^3$ [/mm] MIT $x [mm] \not=0$ [/mm] gelten würde.
Nun ist aber etwa [mm] $e_1=(1,0,0)^T$ [/mm] nicht $=0 [mm] \in \IR^3\,,$ [/mm] aber
[mm] $\phi_A(e_1,e_1)=0$ [/mm] gilt IMMER, egal, wie [mm] $a,\,b$ [/mm] auch aussehen mögen.
Also kann es kein Paar $(a,b) [mm] \in \IR^2$ [/mm] so geben, dass [mm] $\phi_A$ [/mm] positiv
definit wäre.
P.S. Steht in der Aufgabe vielleicht etwas von positiv semidefinit?
Gruß,
Marcel
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