Bilinearform/Gramsche Matrix < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei K ein Körper und [mm] \phi [/mm] : [mm] K^{2} [/mm] [mm] \times [/mm] [mm] K^{2} [/mm] [mm] \to [/mm] K die durch [mm] \phi (\vektor{a \\ b},\vektor{c \\ d}) [/mm] = ad - bc definierte Abbildung.
a) Zeigen Sie, dass [mm] \phi [/mm] eine Bilinearform ist!
b) Geben Sie die Gramsche Matrix von [mm] \phi [/mm] bzgl. der Standardbasis an!
c) Beweisen Sie, dass [mm] \phi [/mm] nicht ausgeartet ist!
d) Zeigen Sie, dass [mm] \phi [/mm] (v,v) = 0 gilt für alle v [mm] \in [/mm] [mm] K^{2} [/mm] ! |
Hallo, ich mal wieder....
bei Aufgabe b komme ich einfach nicht weiter, ich weiss nicht wie ich die Gramsche Matrix dazu erstellen soll...
bei Aufgabe c ist es doch so, dass wenn die Determinante der gramschen Matrix ungleich 0 ist, dann ist Phi nicht ausgeartet, oder erzähl ich Blödsinn?
Aufgabe a und d schaffe ich, wie ich hoffe, selbst...
Erstmal vielen Dank für eure Hilfe im Voraus.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo rainman,
ein Einträge [mm] $a_{ij}$ [/mm] der Gramschen Matrix ist genau das Bild [mm] $\Phi(b_i,b_j)$ [/mm] des i-ten und j-ten Basisvektors unter [mm] $\Phi$
[/mm]
Also der Eintrag [mm] $a_{11}$ [/mm] ist [mm] $\Phi(b_1,b_1)=\Phi\left(\vektor{1 \\ 0},\vektor{1 \\ 0}\right)=....$ [/mm] usw.
zu (c) Da haste vollkommen recht
Hoffe, du kommst damit weiter
Gruß
schachuzipus
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Hi,
nochmal kurz zur (c)
Hab nochmal nachgeschaut und gefunden, dass dieses Determinantenkriterium für symmetrische BLF gilt, diese hier ist aber schiefsymmetr.
Ich weiß nicht, ob man das Kriterium dann benutzen kann, ich glaube aber eher nicht.
Dann müsstest du die Nicht-Ausgeartetheit anderweitig zeigen
Gruß
schachuzipus
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Aha vielen Dank, das hilft mir sehr. Also die gramsche Matrix habe ich wie folgt erstellt:
[mm] a_{11} [/mm] = [mm] \phi (\vektor{ 1 \\ 0 } [/mm] , [mm] \vektor{ 1 \\ 0 }) [/mm] = 0
[mm] a_{12} [/mm] = [mm] \phi (\vektor{ 1 \\ 0 } [/mm] , [mm] \vektor{ 0 \\ 1 }) [/mm] = 1
[mm] a_{21} [/mm] = [mm] \phi (\vektor{ 0 \\ 1 } [/mm] , [mm] \vektor{ 1 \\ 0 }) [/mm] = 0
[mm] a_{22} [/mm] = [mm] \phi (\vektor{ 0 \\ 1 } [/mm] , [mm] \vektor{ 0 \\ 1 }) [/mm] = 1
also ist die gramsche Matrix [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 1 &0 }
[/mm]
Das mit dem schiefsymmetrisch hatte ich gar nicht beachtet, das heißt ich müsste z.B. die Werte von [mm] \vektor{a \\ b} [/mm] fest wählen und zeigen, dass daraus folgt, dass [mm] \vektor{c \\ d} [/mm] = 0 ist (vielleicht etwas unglücklich formuliert). Wäre das ein Möglichkeit?
Vielen Dank für die schnelle Antwort.
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Hi rainman,
du hast bei den Einträgen [mm] $a_{21}$ [/mm] und [mm] $a_{22}$ [/mm] was verwurschtelt - das passt noch nicht.
Und für die Nicht-Ausgeartetheit musst du zeigen, dass nur der Nullvektor [mm] $\vektor{0\\0}$ [/mm] auf jedem beliebigen Vektor [mm] $\vektor{a\\b}$ [/mm] senkrecht steht. (dass also das Radikal des VR nur aus dem Nullvektor besteht)
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:00 Mi 02.05.2007 | | Autor: | rainman_do |
Ja richtig, [mm] a_{21} [/mm] müsste -1 und [mm] a_{22} [/mm] 0 sein, hab da was falsch abgeschrieben. Werd das mit der Ausgeartetheit mal morgen versuchen und dann man meine Lösung (bzw. meinen Lösungsansatz) bekanntgeben.
Vielen Dank
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Hi, also ich komme bei der Ausgeartetheit nicht wirklich weiter und wäre für einen kleinen Denkansatz äußerst dankbar.
Wäre auch nett wenn ihr mal die Aufgaben a und d durchsehen könntet ob ich das so richtig verstanden habe...
a)
Additivität: [mm] \Phi\left(\vektor{a \\ b}+\vektor{a' \\ b'}, \vektor{c \\ d}\right) [/mm] = ad - bc + a'd - b'c = [mm] \Phi\left(\vektor{a \\ b}, \vektor{c \\ d}\right) [/mm] + [mm] \Phi\left(\vektor{a' \\ b'}, \vektor{c \\ d}\right)
[/mm]
Homogenität: [mm] \Phi\left(k\vektor{a \\ b}, \vektor{c \\ d}\right) [/mm] = [mm] \Phi\left(\vektor{ka \\ kb},\vektor{c \\ d}\right) [/mm] = kad - kbc = k(ad - bc) = [mm] k\Phi\left(\vektor{a \\ b}, \vektor{c \\ d}\right) [/mm] mit k [mm] \in [/mm] K.
für die zweite Komponente analog.
d)
(scheint mit fast schon zu simpel)
[mm] \Phi\left(v,v\right) [/mm] = [mm] \Phi\left(\vektor{a \\ b}, \vektor{a \\ b}\right) [/mm] = ab - ba = ab - ab = 0 für alle v [mm] \in K^{2}
[/mm]
Danke sehr
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Hallo rainman,
> Hi, also ich komme bei der Ausgeartetheit nicht wirklich
> weiter und wäre für einen kleinen Denkansatz äußerst
> dankbar.
>
> Wäre auch nett wenn ihr mal die Aufgaben a und d durchsehen
> könntet ob ich das so richtig verstanden habe...
>
> a)
> Additivität: [mm]\Phi\left(\vektor{a \\ b}+\vektor{a' \\ b'}, \vektor{c \\ d}\right)[/mm]
> = ad - bc + a'd - b'c = [mm]\Phi\left(\vektor{a \\ b}, \vektor{c \\ d}\right)[/mm]
> + [mm]\Phi\left(\vektor{a' \\ b'}, \vektor{c \\ d}\right)[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") vllt. ein Zwischenschritt bei der 1. Umformung 
>
> Homogenität: [mm]\Phi\left(k\vektor{a \\ b}, \vektor{c \\ d}\right)[/mm]
> = [mm]\Phi\left(\vektor{ka \\ kb},\vektor{c \\ d}\right)[/mm] = kad
> - kbc = k(ad - bc) = [mm]k\Phi\left(\vektor{a \\ b}, \vektor{c \\ d}\right)[/mm]
> mit k [mm]\in[/mm] K.
>
> für die zweite Komponente analog.
>
> d)
> (scheint mit fast schon zu simpel)
>
> [mm]\Phi\left(v,v\right)[/mm] = [mm]\Phi\left(\vektor{a \\ b}, \vektor{a \\ b}\right)[/mm]
> = ab - ba = ab - ab = 0 für alle v [mm]\in K^{2}[/mm]
>
> Danke sehr
Bis hierhier top,
zur Nicht-Ausgeartetheit würde ich überlegen, dass die Definition der BLF doch genau die Determinante einer [mm] $2\times [/mm] 2$-Matrix ist. Wann ist solch eine Determinante =0?
Nimm dabei die 2te Spalte beliebig, aber fest. Wie muss dann die 1.Spalte aussehen?
LG
schachuzipus
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nun gut, etwas ähnliches hatte ich auch schon versucht, wenn die erste Spalte beliebig aber fest ist, muss die zweite Spalte 0 sein (will ich doch hoffen). Aber was wäre, wenn die 2. Spalte gleich der ersten Spalte ist, dann kommt doch auch 0 raus (Aufgabe d bzw. lin. Abhängigkeit -> det = 0...)
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Hi,
ja genau das lag an meiner blöden Formulierung ![[bonk]](/images/smileys/bonk.gif "[bonk]")
Ja, die erste Spalte muss natürlich 0 sein, damit die Det. bei beliebiger 2.Spalte 0 wird
Gruß
schachuzipus
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Ach, das zweite hab ich blöde formuliert.
Überlege, wie die erste Spalte aussehen muss, wenn die Determinante der Matrix bei beliebiger 2ter Spalte =0 sein soll
LG
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:56 Do 03.05.2007 | | Autor: | rainman_do |
naja...ich würde sagen sie muss entweder 0 sein oder aber der zweiten entsprechen........nicht? LG
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Nein,
es muss ja ein und dieselbe 1.Spalte sein, die zusammen mit [mm] \bold{jeder} [/mm] beliebigen 2.Spalte die Determinante 0 ergibt
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:03 Do 03.05.2007 | | Autor: | rainman_do |
Ach so.....Abgründe tun sich auf.....mein Wissen geht [mm] limes_{n\rightarrow0} [/mm] befürchte ich....sehr schön, vielen Dank, werde das mal umsetzen.
Schönen Abend noch und Danke nochmal
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ahh..sehr gut. Jetzt habe ich es auch richtig verstanden.Sehr gut erklärt!
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