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Bilinearform, K-Vektorraum: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:01 Sa 04.06.2011
Autor: Achilles2084

Aufgabe
Zeigen Sie, dass die Menge der Bilinearformen auf V, BIL(V), mit den Verknüpfungen

(f+g)(v,w):=f(v,w)+g(v,w),  [mm] f,g\in [/mm] BIL(V), [mm] v,w\in [/mm] V

(xf)(v,w):=x*f(v,w) [mm] f\in [/mm] BIL(V), [mm] v,w\in [/mm] V

zu einem K-Vektorraum wird

Hallo nochmal,

dieses mal sind auf meinem Übungsblatt echt nervige Aufgaben. Ich denke die Aufgabe an sich ist nicht schwer aber ich habe Probleme mit dem Begriff der Bilinearität (Ja, ich hab auch schon nachgeforscht). Kann mir jemand vielleicht den Begriff kurz und einfach erklären?

Welche Eigenschaften muss ich in dieser AUfgabe zeigen?

Gruß und Danke

        
Bezug
Bilinearform, K-Vektorraum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:21 Sa 04.06.2011
Autor: kamaleonti

Moin,
> Zeigen Sie, dass die Menge der Bilinearformen auf V,
> BIL(V), mit den Verknüpfungen

V ist sicherlich endlichdimensional?

>  
> (f+g)(v,w):=f(v,w)+g(v,w),  [mm]f,g\in[/mm] BIL(V), [mm]v,w\in[/mm] V
>  
> (xf)(v,w):=x*f(v,w) [mm]f\in[/mm] BIL(V), [mm]v,w\in[/mm] V
>  
> zu einem K-Vektorraum wird
>  Hallo nochmal,
>  
> dieses mal sind auf meinem Übungsblatt echt nervige
> Aufgaben. Ich denke die Aufgabe an sich ist nicht schwer
> aber ich habe Probleme mit dem Begriff der Bilinearität
> (Ja, ich hab auch schon nachgeforscht). Kann mir jemand
> vielleicht den Begriff kurz und einfach erklären?

Eine Bilinearform [mm] b:V\times V\to\IR, (v,w)\mapsto [/mm] b(v,w) hat folgende Eigenschaften:

a) Lineariät im ersten Argument: Für alle [mm] v,w,x\in [/mm] V und [mm] \lambda, \mu\in [/mm] k gilt
                [mm] $b(\lambda*v+\mu*w, x)=\lambda [/mm] b(v, [mm] x)+\mu [/mm] b(w, x)$
b) Analog Linearität im zweiten Argument.

>  
> Welche Eigenschaften muss ich in dieser AUfgabe zeigen?

Tipp: Mit jeder Bilinearform ist eine Matrix eineindeutig assoziiert. Hat V also Dimension n, dann reicht es zu zeigen, dass BIL(V) ein Untervektorraum der [mm] n\times [/mm] n Matrizen ist.
Zeige also [mm] 0\in [/mm] BIL(V) sowie Abgeschlossenheit bzgl Skalarmultiplikation und Vektoraddition (die wurden oben definiert).

>  
> Gruß und Danke

LG

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