matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenLineare Algebra SonstigesBilinearform&Orthonormalbasis
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Philosophie • Religion • Kunst • Musik • Sport • Pädagogik
Forum "Lineare Algebra Sonstiges" - Bilinearform&Orthonormalbasis
Bilinearform&Orthonormalbasis < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra Sonstiges"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Bilinearform&Orthonormalbasis: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 02:01 So 06.06.2010
Autor: Morrow

Aufgabe
Auf dem Vektorraum [mm] P_n [/mm] aller reellen Polynome vom Grad [mm] \le [/mm] n gibt es eine Bilinearform, die folgendermassen definiert ist:

<f,g> := [mm] \integral_{-1}^{1} f(x)*g(x)\, [/mm] dx

a) Diese Form ist symmetrisch und positiv definit.
b) Man finde eine Orthonormalbasis von [mm] P_n [/mm] bezüglich dieser Bilinearform für die Fälle n = 1,2,3

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.


Hallo zusammen

Teilaufgabe a) habe ich bereits bewiesen. Bei Teilaufgabe b) ist mir jedoch nicht klar, was ich tun soll:

Nehmen wir den Fall n = 1. Sodann sollte ja B = {1,x} eine Basis sein, da [mm] P_1 [/mm] = [mm] a_0+a_1*x [/mm]

Wie kann ich nun jedoch eine Orthonormalbasis dazu finden? Deren Definition ist ja [mm] \begin{Vmatrix} b_i \end{Vmatrix} [/mm] = 1 und [mm] [/mm] = 0

Was ist [mm] \begin{Vmatrix} b_i \end{Vmatrix} [/mm] im Falle von [mm] P_1? [/mm] Also [mm] \begin{Vmatrix} 1 \end{Vmatrix} [/mm] und [mm] \begin{Vmatrix} x \end{Vmatrix}? [/mm] es handelt sich dabei ja nicht um Vektoren?

Und zeigt folgendes die Orthogonalität der beiden Basiselemente?:

<1,x> = [mm] \integral_{-1}^{1} 1*x\, [/mm] dx = [mm] \bruch{1^2}{2} [/mm] - [mm] \bruch{(-1)^2}{2} [/mm] = 0

Über Hilfe würde ich mich sehr freuen.

Grüsse
Morrow

        
Bezug
Bilinearform&Orthonormalbasis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 02:36 So 06.06.2010
Autor: max3000

Hallo.

Du nimmst die falsche Norm. Wenn da steht "bezüglich dieses Skalarproduktes" wird sicherlich die Norm gemeint sein, die durch das Skalarprodukt induziert wird, also:

Für [mm] $p\in P_m$: \|p\|:=(\int_{-1}^1{p(x)*p(x)dx})^{\bruch{1}{2}} [/mm]

Damit ist dann [mm] \|1\|=\wurzel{2} [/mm] und [mm] \|x\|=\wurzel{\bruch{2}{3}}. [/mm] Laut Definition folgt damit:  [mm] \|\bruch{1}{\wurzel{2}}\|=1, [/mm] sowie [mm] \|\wurzel{\bruch{3}{2}}x\|=1 [/mm]
Rechne das lieber nochmal nach. Bin mir da sehr unsicher ob ich da richtig integriert hab.

Damit hast du für n=1 eine ONB [mm] \{\bruch{1}{\wurzel{2}},\wurzel{\bruch{3}{2}}x\} [/mm]



Bezug
                
Bezug
Bilinearform&Orthonormalbasis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 02:48 So 06.06.2010
Autor: Morrow

Vielen Dank für deine schnelle Antwort!

Leider verstehe ich nicht ganz, wie du auf die Norm $ [mm] \|p\|:=(\int_{-1}^1{p(x)\cdot{}p(x)dx})^{\bruch{1}{2}} [/mm] $ kommst. Könntest du dies für mich noch erläutern?

Die Integrale sind übrigens korrekt berechnet. Muss ich nicht noch für eine ONB zeigen?:

[mm] <\bruch{1}{\wurzel{2}},\wurzel{\bruch{3}{2}}*x> [/mm] = $ [mm] \integral_{-1}^{1} \bruch{1}{\wurzel{2}}*\wurzel{\bruch{3}{2}}*x dx\, [/mm] = 0$

Grüesse

Bezug
                        
Bezug
Bilinearform&Orthonormalbasis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 04:09 So 06.06.2010
Autor: ChopSuey

Moin,

es gilt doch $\ <f,g> :=  [mm] \integral_{-1}^{1} f(x)\cdot{}g(x) [/mm]  dx $

Dann ist $\  [mm] \|p\|:= \wurzel{}:=(\int_{-1}^1{p(x)\cdot{}p(x)dx})^{\bruch{1}{2}} [/mm] = [mm] \wurzel{\int_{-1}^1{p(x)\cdot{}p(x)dx}} [/mm] =  [mm] \wurzel{\int_{-1}^1{p^2(x)dx}}$ [/mm]

Grüße
ChopSuey



Bezug
                        
Bezug
Bilinearform&Orthonormalbasis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:25 So 06.06.2010
Autor: max3000


> Die Integrale sind übrigens korrekt berechnet. Muss ich
> nicht noch für eine ONB zeigen?:
>  
> [mm]<\bruch{1}{\wurzel{2}},\wurzel{\bruch{3}{2}}*x>[/mm] =
> [mm]\integral_{-1}^{1} \bruch{1}{\wurzel{2}}*\wurzel{\bruch{3}{2}}*x dx\, = 0[/mm]
>  
> Grüesse

Das hast du ja eigentlich schon gezeigt.
Es gilt ja [mm] <\bruch{1}{\wurzel{2}},\wurzel{\bruch{3}{2}}*x>=\bruch{1}{\wurzel{2}}*\wurzel{\bruch{3}{2}}<1,x>=... [/mm]
Und du hast ja schon berechnet dass <1,x>=0 ist.
Aber ja, das musst du natürlich auch noch zeigen.

Bezug
                        
Bezug
Bilinearform&Orthonormalbasis: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:09 So 06.06.2010
Autor: Morrow

@max3000 & ChopSuey:

Ja natürlich, alles klar jetzt!

Ich danke vielmals für die schnelle und gute Hilfe, ihr seid super! :)


Bezug
        
Bezug
Bilinearform&Orthonormalbasis: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:30 So 06.06.2010
Autor: steppenhahn

Hallo,

habt ihr schon das []Gram-Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren gehabt?

Grüße,
Stefan

Bezug
                
Bezug
Bilinearform&Orthonormalbasis: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:10 So 06.06.2010
Autor: Morrow

Ja, diesen Verfahren hatten wir bereits. Für einen Vektorraum mit gewöhnlicher Norm und Skalarprodukt habe ich dies auch schon problemlos verwendet, hatte jetzt nur mit der Anwendung auf eine Bilinearform Mühe.

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra Sonstiges"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]