Bilinearform induz. lin. Abb. < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | $V$ sei endlich-dimensionaler [mm] \IR- [/mm] Vektorraum. $B = [mm] (v_1,...,v_n)$ [/mm] sei eine Basis von V, und [mm] $\phi:U\to\U^{\*}$ [/mm] ein Isomorphismus. Dann ist
[mm] $\gamma:U\times [/mm] U [mm] \to\IR: [/mm] (u,v) [mm] \mapsto \Big[\phi(u)\Big](v)$
[/mm]
eine Bilinearform. [mm] \gamma [/mm] sei nun symmetrisch. Zeige folgende Äquivalenz:
[mm] $\phi [/mm] = [mm] \Psi_{B} \gdw [/mm] $ [mm] \gamma [/mm] ist positiv definit und B ist eine Orthonormalbasis von [mm] (U,\gamma).
[/mm]
(Dabei bezeichnet [mm] \Psi_{B} [/mm] den Isomorphismus, der jedem Basisvektor [mm] v_{i} [/mm] der Basis B die Linearform [mm] v_{i}^{\*}:U\to \IR:v_{j}\to \delta_{i_{j}} [/mm] zuordnet ). |
Hallo!
Ich bin beim Schritt " [mm] \Leftarrow [/mm] " verwirrt.
Wenn [mm] $B=(v_{1},...,v_{n})$ [/mm] eine Orthonormalbasis von [mm] (U,\gamma) [/mm] ist, heißt das doch, dass
[mm] $\gamma(v_{i},v_{j}) [/mm] = [mm] \delta_{i_{j}}$,
[/mm]
oder? Entsprechend obiger Definition von [mm] \gamma [/mm] wäre also:
[mm] $\delta_{i_{j}} [/mm] = [mm] \gamma(v_{i},v_{j}) [/mm] = [mm] (\phi(v_{i}))(v_{j})$.
[/mm]
Und das bedeutet doch gerade, dass die Linearform [mm] $\phi(v_{i}):U\to \IR$ [/mm] die Eigenschaft hat, dass [mm] v_{i} [/mm] auf 1 abgebildet wird und die restlichen [mm] v_{j} [/mm] alle auf 0. Muss damit nicht bereits [mm] \phi [/mm] = [mm] \Psi_{B} [/mm] gelten?
Irgendwo muss ich einen Denkfehler haben, ich habe ja die Voraussetzung "positiv definit" gar nicht gebraucht...
Vielen Dank für Eure Hilfe!
Grüße,
Stefan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:24 So 02.05.2010 | | Autor: | pelzig |
> Ich bin beim Schritt " [mm]\Leftarrow[/mm] " verwirrt. Wenn [mm]B=(v_{1},...,v_{n})[/mm] eine Orthonormalbasis von
> [mm](U,\gamma)[/mm] ist, heißt das doch, dass [mm]\gamma(v_{i},v_{j}) = \delta_{i_{j}}[/mm], oder?
Ganz genau.
> Entsprechend obiger Definition von [mm]\gamma[/mm] wäre also:
> [mm]\delta_{i_{j}} = \gamma(v_{i},v_{j}) = (\phi(v_{i}))(v_{j})[/mm].
> Und das bedeutet doch gerade, dass die Linearform [mm]\phi(v_{i})[/mm] die Eigenschaft hat, dass [mm]v_{i}[/mm] auf 1
> abgebildet wird und die restlichen [mm]v_{j}[/mm] alle auf 0. Muss damit nicht bereits [mm]\phi[/mm] = [mm]\Psi_{B}[/mm] gelten?
Ja, denn was da steht ist [mm] $(\phi(v_i))(v_j)=v_i^\*(v_j)$, [/mm] d.h. [mm] $\phi(v_i)$ [/mm] und [mm] $v_i^*$ [/mm] stimmen auf einer Basis überein und sind damit gleich.
> Irgendwo muss ich einen Denkfehler haben, ich habe ja die
> Voraussetzung "positiv definit" gar nicht gebraucht...
In dieser Richtung brauchst du das eben einfach nicht. Nur nebenbei: in reellen Vektorräumen implziert die Existenz einer Orthonormalbasis ja bereits die positive Definitheit der Form.
Gruß, Robert
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Hallo!
> [mm]V[/mm] sei endlich-dimensionaler [mm]\IR-[/mm] Vektorraum. [mm]B = (v_1,...,v_n)[/mm]
> sei eine Basis von V, und [mm]\phi:U\to\U^{\*}[/mm] ein
> Isomorphismus. Dann ist
>
> [mm]\gamma:U\times U \to\IR: (u,v) \mapsto \Big[\phi(u)\Big](v)[/mm]
>
> eine Bilinearform.
Im ersten Teil sollte man gerade zeige, dass [mm] \gamma [/mm] eine Bilinearform ist.
Ist dies aber nicht "klar", weil [mm] \phi [/mm] ein Isomorphismus (also linear) und die Bilder von [mm] \phi [/mm] ebenfalls Linearformen sind?
Also z.B.:
[mm] $\gamma(u+w,v) [/mm] = [mm] (\phi(u+w))(v) [/mm] = [mm] (\phi(u)+\phi(w))(v) [/mm] = [mm] (\phi(u))(v) [/mm] + [mm] (\phi(w))(v) [/mm] = [mm] \gamma(u,v) [/mm] + [mm] \gamma(w,v)$,
[/mm]
oder
[mm] $\gamma(u,v+w) [/mm] = [mm] (\phi(u))(v+w) [/mm] = [mm] (\phi(u))(v)+(\phi(u))(w) =\gamma(u,v) [/mm] + [mm] \gamma(u,w)$
[/mm]
Mache ich etwas falsch?
Ich bin irritiert, weil ich doch dann in der gesamten Aufgabe gar nicht brauche, dass [mm] \phi [/mm] ein Isomorphismus ist?
Vielen Dank für Eure Hilfe!
Grüße,
Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:32 So 02.05.2010 | | Autor: | pelzig |
> Mache ich etwas falsch? Ich bin irritiert, weil ich doch dann in der gesamten
> Aufgabe gar nicht brauche, dass [mm]\phi[/mm] ein Isomorphismus ist?
Nein, ist alles richtig. Man braucht tatsächlich nicht dass [mm] $\phi$ [/mm] ein Isomorphismus ist.
Gruß, Robert
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Hallo pelzig,
dann vielen Dank für deine Hilfe!
Grüße,
Stefan
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