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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:58 Mi 18.05.2005 | | Autor: | Reaper |
Hallo...hätte da ein paar Fragen bezüglich der inneren Produkte:
Def.: Seien V,W Vektorräume mit den Basen [mm] B=(b_{1},....,b_{m}) [/mm] und
[mm] C=(c_{1},....,c_{n}). [/mm] Für sigma in Bil(v,W) heißt [mm] A_{sigma;B,C} [/mm] := [mm] (sigma(b_{i},c_{j})) [/mm] die Matrixdarstellung von sigma bzgl. B,C.
sigma ist also eine Funktion für die gilt VxW -> K
[mm] A_{sigma;B,C} [/mm] gibt an in welche Vektoren abgebildet wird wenn der Körper eine Matrix K mit m Zeilen und n Spalten ist oder? Von B und C wird zuerst das Kreuzprodukt gebidet und dann wird in den Körper abgebildet.
Wieso hat jede Bilinearform aus [mm] Bil(K^{m},K^{n}) [/mm] die Form:
[mm] sigma((x_{1},...,x_{m}),(y_{1},...,y_{n})) [/mm] = [mm] a_{11}*x_{1}*y_{1}+
[/mm]
[mm] a_{12}*x_{1}*y_{2}+....+a_{1n}*x_{1}*y_{n}+.....+
[/mm]
[mm] a_{mn}*x_{m}*y_{n}
[/mm]
Woher kommen die a's her? Ich weiß dass das irgendwas mit der Abbildungsmatrix und den 2 Basen zu tun haben muss, denn bei linearen Abbildungen ist die Vorgehensweise ähnlich aber lineare Abbildungsmatrizen sind doch völlig anders als bilineare, denn bei linearen drücke ich eine Basis durch die andere aus, was bei den bilinearen nicht der Fall ist.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:52 Do 19.05.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Reaper!
> Hallo...hätte da ein paar Fragen bezüglich der inneren
> Produkte:
> Def.: Seien V,W Vektorräume mit den Basen
> [mm]B=(b_{1},....,b_{m})[/mm] und
> [mm]C=(c_{1},....,c_{n}).[/mm] Für sigma in Bil(v,W) heißt
> [mm]A_{sigma;B,C}[/mm] := [mm](sigma(b_{i},c_{j}))[/mm] die Matrixdarstellung
> von sigma bzgl. B,C.
>
> sigma ist also eine Funktion für die gilt VxW -> K
> [mm]A_{sigma;B,C}[/mm] gibt an in welche Vektoren abgebildet wird
> wenn der Körper eine Matrix K mit m Zeilen und n Spalten
> ist oder? Von B und C wird zuerst das Kreuzprodukt gebidet
> und dann wird in den Körper abgebildet.
>
> Wieso hat jede Bilinearform aus [mm]Bil(K^{m},K^{n})[/mm] die Form:
> [mm]sigma((x_{1},...,x_{m}),(y_{1},...,y_{n}))[/mm] =
> [mm]a_{11}*x_{1}*y_{1}+[/mm]
> [mm]a_{12}*x_{1}*y_{2}+....+a_{1n}*x_{1}*y_{n}+.....+[/mm]
> [mm]a_{mn}*x_{m}*y_{n}[/mm]
> Woher kommen die a's her?
Aus der obigen Matrix $A$!
Wähle ich nämlich im [mm] $K^m$ [/mm] die Standardbasis [mm] $E_m=(e_1,\ldots,e_m)$ [/mm] und im [mm] $K^n$ [/mm] die Standardbasis [mm] $E_n=(e_1,\ldots,e_n)$, [/mm] so setzt man:
[mm] $A_{\sigma;E_m,E_n} [/mm] = [mm] \pmat{\sigma(e_1,e_1) & \ldots & \sigma(e_1,e_n) \\ \vdots & & \vdots \\ \sigma(e_m,e_1) & \ldots & \sigma(e_m,e_n)}$,
[/mm]
und erhält wegen der Bilinearität von [mm] $\sigma$:
[/mm]
[mm] $\sigma(x,y) [/mm] = [mm] \sum\limits_{i=1}^m \sum\limits_{j=1}^n x_iy_j \sigma(e_i,e_j) [/mm] = [mm] \pmat{x_1 & \ldots & x_m} \cdot A_{\sigma;E_m,E_n} \cdot \pmat{y_1 \\ \vdots \\ y_n}$.
[/mm]
Viele Grüße
Julius
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