matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenLineare Algebra SonstigesBillinearform
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Informatik • Physik • Technik • Biologie • Chemie
Forum "Lineare Algebra Sonstiges" - Billinearform
Billinearform < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra Sonstiges"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Billinearform: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:51 So 24.06.2012
Autor: sissile

Aufgabe
Sei V ein endlich dimensionaler komplexer Vekktorraum.
Weiters seien [mm] \beta [/mm] und [mm] \beta' [/mm] zwei symmetrische Billinearformen auf V mit [mm] rank(\beta)=rank(\beta'). [/mm] Zeige dass ein linearer Isomorphismus [mm] \phi: [/mm] V->V existiert, sodass [mm] \beta' [/mm] = [mm] \phi \* \beta, [/mm] d.h. [mm] \beta'(v,w)=\beta(\phi(v),\phi(w)), [/mm] für alle v,w [mm] \in [/mm] V.

Hinweis dazu Satz im SKriptum:
Sei V ein endlich dimensionaler Vektorraum über einen Körper [mm] \IK [/mm] mit [mm] char(\IK) \not= [/mm] 2. Weiters sei [mm] \beta [/mm] : V [mm] \times [/mm] V -> [mm] \IK [/mm] eine symmetrische Bilinearform. Dann existiert eine geordnete Basis B von V, sodass [mm] [\beta]_B [/mm] Diagonalgestalt hat. Ist [mm] \IK [/mm] ein Körper indem jedes Element mindesten eine Quadratwurzel besitzt (etwa jeder algebraisch abgeschlossene Körper), dann kann B so gewählt werden, dass
[mm] [\beta]_B [/mm] = [mm] \pmat{ I_k & 0 \\ 0 & 0 }, [/mm]
wobei k = [mm] rank(\beta) [/mm]


Seien B' und B geordnete Basen von V
laut SKript: [mm] [\beta']_{B'} [/mm] = [mm] T^t_{BB'} [\beta']_B T_{BB'} [/mm]
wobei [mm] T_{B'B} [/mm] die Matrix zum Baiswechsel von B' nach B bezeichnet.

[mm] \beta' [/mm] ist durch die Matrix  eindeutig bestimmt (v,w [mm] \in [/mm] V):

[mm] \beta' [/mm] (v,w) = [mm] [v]^t_{B'}[\beta']_{B'} [w]_{B'} [/mm]
= [mm] [v]^t_{B'}(T^t_{BB'} [\beta']_B T_{BB'}) [w]_{B'} [/mm]

= [mm] (T_{BB'} [v]_{B'})^t [\beta']_B T_{BB'} [w]_{B'} [/mm]

laut Vorrausetzung dass [mm] rank(\beta)=rank(\beta') [/mm] und dem Satz des Hinweises (wir befinden uns ja in [mm] \IC [/mm] der nach dem Fundamentalsatz der Algebra abgeschlossen ist), heißt es dass die Bilinearformen in bestimen Basen so gwählt werden können, dass die Diagonalmatrizen gleich sind.


Was mir sonst noch eingefallen ist:
Wenn die Ränge gleich sind, so sind die Matrizen zueinander kongruent
[mm] \exists [/mm] S [mm] \in GL_n (\IC) [/mm] sodass [mm] S^t [/mm] A S = B
Wäre schön, wenn mir da wer auf die Sprünge helfen könnte,
lg

        
Bezug
Billinearform: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:25 So 24.06.2012
Autor: sissile

Keiner eine Idee?

liebe grüße

Bezug
        
Bezug
Billinearform: Ansatz
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:08 Mo 25.06.2012
Autor: wieschoo

Hi sissile,

die symmetrische Billinearformen lassen sich auch so schreiben

[mm]\beta(v,w):=v^TAw[/mm] und [mm]\beta'(v,w):=v^TBw[/mm]

Damit [mm]\beta' = \phi \circ \beta[/mm] gilt, muss [mm]\beta'(v,w)=\beta(\phi(v),\phi(w))[/mm] für alle v,w gelten.

[mm]\phi[/mm] ist linear, damit hat man [mm]\phi(v):=\Phi*v[/mm], wobei [mm]\Phi[/mm] eine Matrix ist.

Schreibt man das dann auf, so ist doch

[mm]v^T\Phi^TA\Phi w=(\Phi v)^TA\Phi w=\phi(v^T)A\phi(w)=\beta(\phi(v),\phi(w))=\beta'(v,w)=v^TBw[/mm]

Und jetzt erschlägst du diesen Ausdruck mit deiner Wahl der Basen:

> Bilinearformen in bestimen Basen so gwählt werden können, dass die Diagonalmatrizen gleich sind.

Oder du wendest:

> sodass $S^TAS=B$

dort an.

Gruß
wieschoo

Bezug
                
Bezug
Billinearform: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:18 Mi 27.06.2012
Autor: sissile


> $ [mm] \phi [/mm] $ ist linear, damit hat man $ [mm] \phi(v):=\Phi\cdot{}v [/mm] $, wobei $ [mm] \Phi [/mm] $ eine Matrix ist.

Warum gilt das?


[mm] \beta(\phi(v), \phi(w))= [/mm]

> $ [mm] v^T\Phi^TA\Phi w=(\Phi v)^TA\Phi w=\phi(v^T)A\phi(w)=\beta(\phi(v),\phi(w))=\beta'(v,w)=v^TBw [/mm] $

= [mm] v^t S^t [/mm] A S w = [mm] (Sv)^t [/mm] A (Sw)


Ich weiß nun gar nicht auf was ich mit der Implikation kommen muss.
Kannst du mir das vorher erklären?
Du verwendest nämlich das was zu zeigen ist!!


LG

Bezug
                        
Bezug
Billinearform: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:54 Mi 27.06.2012
Autor: wieschoo


> > [mm]\phi[/mm] ist linear, damit hat man [mm]\phi(v):=\Phi\cdot{}v [/mm],
> wobei [mm]\Phi[/mm] eine Matrix ist.
> Warum gilt das?

Jede lineare Abbildung f lässt sich schreiben als f(x):=Ax, wobei A eine Matrix ist.

>  
>
> [mm]\beta(\phi(v), \phi(w))=[/mm]
>  > [mm]v^T\Phi^TA\Phi w=(\Phi v)^TA\Phi w=\phi(v^T)A\phi(w)=\beta(\phi(v),\phi(w))=\beta'(v,w)=v^TBw[/mm]

>  
> = [mm]v^t S^t[/mm] A S w = [mm](Sv)^t[/mm] A (Sw)
>
>
> Ich weiß nun gar nicht auf was ich mit der Implikation
> kommen muss.
> Kannst du mir das vorher erklären?
>  Du verwendest nämlich das was zu zeigen ist!!

Ich habe dir auch keine Lösung aufgeschrieben, sondern nur einen Ansatz. Um die Existenz zu zeigen genügt es dieses [mm] $\Phi$ [/mm] anzugeben. Jetzt muss man das [mm] $\Phi$ [/mm] noch berechnen.

>  
>
> LG

Liebe Grüße
wieschoo


Bezug
                                
Bezug
Billinearform: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 11:23 Mi 27.06.2012
Autor: sissile

Aber einen Ansatz in dem du das verwendest was zu zeigen ist und das ist keine gute Idee:

Meine Idee wäre:
$ [mm] \beta' [/mm] $ (v,w) = $ [mm] [v]^t_{B'}[\beta']_{B'} [w]_{B'} [/mm] $
= $ [mm] [v]^t_{B'}(T^t_{BB'} [\beta']_B T_{BB'}) [w]_{B'} [/mm] $

= $ [mm] (T_{BB'} [v]_{B'})^t [\beta']_B T_{BB'} [w]_{B'} [/mm] $
= [mm] [Tv]_{B}^t [\beta']_B [Tw]_{B} [/mm]

-> [mm] rank(\beta) [/mm] = [mm] rank(\beta') [/mm]
-> kongurente Matrizen
[mm] \exists [/mm] S [mm] \in GL_n (\IC) [/mm] so dass [mm] S^t [\beta]_{B} [/mm] S = [mm] [\beta']_{B} [/mm]

[mm] [Tv]_{B}^t [\beta']_B [Tw]_{B} [/mm] =  [T  [mm] v]_{B}^t S^t [\beta]_{B} [/mm] S  [mm] [Tw]_{B} [/mm] =  [S  [mm] v]_{B}^t [\beta]_{B} [/mm]  [S [mm] Tw]_{B} [/mm]

Bezug
                                        
Bezug
Billinearform: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:33 Mi 27.06.2012
Autor: wieschoo


> Aber einen Ansatz in dem du das verwendest

Du musst unterscheiden zwischen dem Weg, den man gedanklich geht und die Reihenfolge, wie man es aufschreibt. Wenn man weiß, wie [mm] $\phi$ [/mm] aussieht und das noch explizit angegeben kann, so existiert dann auch dieses [mm] $\phi$. [/mm]

> was zu zeigen
> ist und das ist keine gute Idee:

>  
> Meine Idee wäre:
>  [mm]\beta'[/mm] (v,w) = [mm][v]^t_{B'}[\beta']_{B'} [w]_{B'}[/mm]
>  =
> [mm][v]^t_{B'}(T^t_{BB'} [\beta']_B T_{BB'}) [w]_{B'}[/mm]
>  
> = [mm](T_{BB'} [v]_{B'})^t [\beta']_B T_{BB'} [w]_{B'}[/mm]
>  =
> [mm][Tv]_{B}^t [\beta']_B [Tw]_{B}[/mm]
>  
> -> [mm]rank(\beta)[/mm] = [mm]rank(\beta')[/mm]
>  -> kongurente Matrizen

>  [mm]\exists[/mm] S [mm]\in GL_n (\IC)[/mm] so dass [mm]S^t [\beta]_{B}[/mm] S =
> [mm][\beta']_{B}[/mm]
>  
> [mm][Tv]_{B}^t [\beta']_B [Tw]_{B}[/mm] =  [T  [mm]v]_{B}^t S^t [\beta]_{B}[/mm]
> S  [mm][Tw]_{B}[/mm] =  [S  [mm]v]_{B}^t [\beta]_{B}[/mm]  [S [mm]Tw]_{B}[/mm]

Das ist doch genau das Gleiche nur mit Indizies aufgeschrieben. War anscheinend nicht gut genug erklärt von mir. Sorry.

Ich hatte geschrieben (Wenn dieses [mm] $\Phi$ [/mm] existiert, dann gilt):

[mm] v^T\Phi^TA\Phi w=(\Phi v)^TA\Phi w=\phi(v^T)A\phi(w)=\beta(\phi(v),\phi(w))\overset{!}{=}\beta'(v,w)=v^TBw [/mm].

Und A war kongruent zu B, damit gab es dieses S. Und dieses S ist eben das [mm] $\Phi$. [/mm] Wie man die Sachen bezeichnet ist einem doch selbst überlassen. Manche mögens mit Indizies und andere verwenden einfach einen neuen Buchstaben.



Bezug
                                        
Bezug
Billinearform: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:20 Fr 29.06.2012
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra Sonstiges"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]