Bin-ZV kleiner als andre BinZV < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:55 Do 27.05.2010 | | Autor: | RolandoF |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo zusammen,
Weiß jemand, wie man die Wkt, dass eine Binomialverteilte Zufallsvariable X kleiner ist als eine davon unabhängige Bin. verteilte ZV Y in eine schöne Form bringen kann.
Also X~Bin(n,p), Y~Bin(n,r) mit p < r. Gesucht ist P(X<Y).
Klar ist (hoffe, dass das stimmt), dass man die Wkt. folgendermassen berechnen kann:
q:=1-p, s:=1-r
P(X<Y)=
[mm] p^0 q^n \left(r s^{n-1}+ r^2 s^{n-2} + \ldots + r^n\right) [/mm]
+ p [mm] q^{n-1} \left(r^2 s^{n-2} + \ldots + r^n\right)
[/mm]
+ [mm] p^2 q^{n-2} \left(r^3 s^{n-3} + \ldots + r^n \right)
[/mm]
[mm] +\ldots
[/mm]
[mm] +p^{n-1} [/mm] q [mm] \left(r^n\right)
[/mm]
Bloß wie kann man dies vereinfachen? Oder gibt es eine Ungleichung, die die Wkt., dass eine Binomialverteilte ZV kleiner ist als eine andere davon unabhängige Bin-verteilte ZV?
Vielen Dank
Roland
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:12 Do 27.05.2010 | | Autor: | luis52 |
Moin RolandoF,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
$P(X<Y)=P(X-Y<0)$. Nutze nun den Faltungssatz aus, aber ich glaube nicht, dass dadurch etwas "Huebscheres" herauskommt als das, was du schon selbst gefunden hast.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:23 Do 27.05.2010 | | Autor: | RolandoF |
Hallo Luis,
Danke für die schnelle Antwort.
Meinst Du mit Faltungssatz, dass ich mir X-Y anschauen sollte, weil ja P(X<Y) = P(X-Y<0). Das habe ich nämlich schon probiert und da kommt nichts besseres raus.
Gruesse
Roland
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:43 Do 27.05.2010 | | Autor: | luis52 |
> Meinst Du mit Faltungssatz, dass ich mir X-Y anschauen
> sollte, weil ja P(X<Y) = P(X-Y<0). Das habe ich nämlich
> schon probiert und da kommt nichts besseres raus.
Genau, das war ja meine Vermutung. Aber was stoert dich denn? Eine "geschlossene" Formel erhaelt man ja auch nicht fuer [mm] $P(X\le [/mm] x)$, [mm] $x=0,1,\dots,n$.
[/mm]
vg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:01 Do 27.05.2010 | | Autor: | RolandoF |
Hallo Luis,
Es stört mich nur daran, dass das ganze relativ kompliziert ist. Ich moechte naemlich die Wkt in einen Ausdruck einbauen und dann n [mm] \to \infty [/mm] gehen lassen. Und wenn diese Wkt. allein schon so kompliziert ist, kann ich das ganze niemals gescheid abschaetzen bzw. zeigen ob der Gesamtausdruck konvergiert oder nicht.
Viele Gruesse
Roland
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