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Hallo Ihr,
ich habe die letzten Tagen für meine anderen beiden Lk gelernt und bin nun wieder an Mathe dran und habe gleich wieder meine erste Frage:
Es geht um eine um die y-Achse rotierende Vase
Der im ersten Quadranten liegenede rechte Rand wird durch die Funktion mit der Gleichung g(x) = a* [mm] \wurzel{x+b} [/mm] (a, b Element R) beschrieben.
Berechnen sie das Volumen der Vase für a=2 * wurzel2 und b = -2
Also zu dieser Berechnung war noch ein Bild hinzugefügt und zwar ist die Gerade x = 2 also genau die NS der Funktion der weiterführende Teil der Vase, sozusagen der spätere Vasenboden. Dieser geht bis zu dem Punkt (2/3) dort hört er auf und diese beiden Gleichungen g(x) = 2* [mm] \wurzel{2} [/mm] * [mm] \wurzel{x-2} [/mm] und die Gerade parallel zur Y-Achse x = 2 (bis zu dem Y-Punkt 3) sollen um die Y-Achse rotieren und ich möchte gerne wissen, wie groß das Volumen ist.
Man muss doch das Volumen in das von der Gleichung g(x) gemachten Volumen und das von der geraden x = 2 einzeln berechnen.
Also ich habe für das Volumen der Gleichung g(x) folgendes raus:
29,8667 *Pi
meine Umkehrfunktion lautet: y= [mm] (x^2)/8 [/mm] + 2
doch wie berechne ich das Volumen von x = 2 ???
Kann mir da jemand weiterhelfen?
MfG DerMathematiker
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:05 So 18.04.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo DerMathematiker
schön, dass du dich wieder mit Mathematik beschäftigst.
Ich will mal versuchen, ein, zwei Hinweise zu geben, damit du vielleicht etwas weiter kommst.
> Hallo Ihr,
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> ich habe die letzten Tagen für meine anderen beiden Lk
> gelernt und bin nun wieder an Mathe dran und habe gleich
> wieder meine erste Frage:
>
> Es geht um eine um die y-Achse rotierende Vase
>
> Der im ersten Quadranten liegenede rechte Rand wird durch
> die Funktion mit der Gleichung g(x) = a* [mm] \wurzel{x+b} [/mm]
> (a, b Element R) beschrieben.
>
> Berechnen sie das Volumen der Vase für a=2 * wurzel2 und b
> = -2
>
> Also zu dieser Berechnung war noch ein Bild hinzugefügt und
> zwar ist die Gerade x = 2 also genau die NS der Funktion
> der weiterführende Teil der Vase, sozusagen der spätere
> Vasenboden. Dieser geht bis zu dem Punkt (2/3) dort hört er
> auf und diese beiden Gleichungen g(x) = 2* [mm] \wurzel{2} [/mm] *
> [mm] \wurzel{x-2} [/mm] und die Gerade parallel zur Y-Achse x = 2 (bis
> zu dem Y-Punkt 3) sollen um die Y-Achse rotieren und ich
> möchte gerne wissen, wie groß das Volumen ist.
>
> Man muss doch das Volumen in das von der Gleichung g(x)
> gemachten Volumen und das von der geraden x = 2 einzeln
> berechnen.
>
Warum muss man die getrennt berechnen? Das glaube ich nicht!
Ich sehe das eher so: Mann, ich sage dir, Mathematik ist gar nicht so schwer, man muss nur zuerst eine Skizze machen! 
> Also ich habe für das Volumen der Gleichung g(x) folgendes
> raus:
>
> 29,8667 *Pi
>
> meine Umkehrfunktion lautet: y= [mm] (x^2)/8 [/mm] + 2
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Hier würde ich allerdings bei den alten Variablenbezeichnungen bleiben, also[mm]x=y^2/8 + 2[/mm]. Denn wenn du die Umkehrfunktion mit deinen Bezeichnungen nimmst, dann bedeutet dies bekanntlich eine Spiegelung der Funktion an der Hauptdiagonalen, das heisst, dann musst du auch um die x-Achse rotieren, nicht mehr um die y-Achse! Selbstverständlich würde dies auch funktionieren, bei meiner Bezeichnungsweise musst du den Graphen der Umkehrfunktion aber nicht mehr neu zeichnen, er ist schon da!
Hast du die Skizze gemacht? Wie interpretierst du die Umkehrfunktion in Bezug auf die Vase? Ich glaube, die darf mit dem Radius [mm]r[/mm]
der Vase auf der Höhe [mm]y[/mm] interpretiert werden.
Somit hat die Vase am Boden ([mm]y=0[/mm]), bei meiner Variablenbezeichnung, den Radius [mm]2[/mm]. Am oberen Vasenrand ([mm]y=3[/mm]) erhalte ich [mm]3\bruch{1}{8}[/mm].
Wenn du nun aus deiner Vase auf einer bestimmten Höhe, parallel zum Boden, eine ganz dünne Schicht herausschneidest, sagen wir mit einer Dicke [mm]dy[/mm], so kannst du das Volumen dieser dünnen Schicht (ich denke, es ist ein Kreis mit Radius[mm]r[/mm]) einfach berechnen: [mm]\pi*r^2*dy[/mm]. Wenn du [mm]r[/mm] in Abhängigkeit von [mm]y[/mm] berechnest (unsere Umkehrfunktion), dann musst du nur noch alle diese Zylindervolumen addieren. Addieren bedeutet hier aber, da ja alle infinitesimal dünn sind: integrieren.
Kommst du jetzt evtl ein wenig weiter?
Mit freundlichen Grüssen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:57 So 18.04.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo DerMathematiker
könnte es vielleicht sein, dass deine Beschreibung des beigefügten Bildes nicht ganz vollständig war?
> Also zu dieser Berechnung war noch ein Bild hinzugefügt und
> zwar ist die Gerade x = 2 also genau die NS der Funktion
> der weiterführende Teil der Vase, sozusagen der spätere
> Vasenboden. Dieser geht bis zu dem Punkt (2/3) dort hört er
> auf .....
... und wo beginnte er? Bei [mm]y=0[/mm]?? Oder eher im 4. Quadranten, etwa bei z.B. [mm]y=-5[/mm] oder so?
Dann würde daraus ja bei Rotation um die y-Achse lediglich noch ein Zylinder mit Radius [mm]2[/mm] und Höhe [mm]5[/mm] , dessen Volumen einfach zu berechnen ist und zum Resultat meiner oben skizzierten Lösung noch dazuaddiert werden muss.
Viele Grüsse
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:11 So 18.04.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo zusammen,
ich hab' auch noch nicht so richtig verstanden, wie die Vase aussieht und welches Volumen zu berechnen ist. Vor allem die Beschreibung des Vasenbodens bereitet mir Kopfzerbrechen -- wird die Vase von "oben" befüllt oder von der Seite?
Ich habe mal die Lage skizziert, vielleicht läßt es sich ja an Hand dieses Plots klären:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Viele Grüße,
Marc
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Hi Ihr, ja genau so sieht das Teil aus, nur dass es halt noch eine Gerade y = -3 gibt aber ansonten genau identisch, weiß jetzt jemand, wie ich jetzt da das Volumen bestimmen kann?
Also für diese Funktion ist das ja nicht schwer, da nimmt man einfach die Umkehrfunktion zum Quadrat (Umkehrfunktion möglich da Graph streng monoton steigend) in den Grenzen von f(2) bis f(4).
Aber wie bekomme ich unten dieses Volumen raus???
MfG DerMathematiker
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:50 Mi 21.04.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo DerMathematiker,
> Hi Ihr, ja genau so sieht das Teil aus, nur dass es halt
> noch eine Gerade y = -3 gibt aber ansonten genau identisch,
> weiß jetzt jemand, wie ich jetzt da das Volumen bestimmen
> kann?
Von der Gerade y=-3 hast du vorher aber gar nichts geschrieben...
Also, ich stelle es mir jetzt so vor:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Die Vase wird also von oben befüllt, der Boden liegt bei y=-3
> Also für diese Funktion ist das ja nicht schwer, da nimmt
> man einfach die Umkehrfunktion zum Quadrat (Umkehrfunktion
> möglich da Graph streng monoton steigend) in den Grenzen
> von f(2) bis f(4).
Ich wiederhole nochmal kurz deine bisherigen Ergebnisse, zur Kontrolle:
$f$ (bzw. in deinem ersten Beitrag: $g$) lautet also [mm] g(x)=2*\wurzel{2}*\wurzel{x-2}
[/mm]
Die Umkehrfunktion dazu lautet [mm] $y^2 [/mm] = [mm] 4*2*(x-2)\gdw \bruch{y^2+16}{8} [/mm] = x [mm] \gdw x=\bruch{1}{8}*y^2+2$.
[/mm]
In der Bezeichnungsweise [mm] $y=\bruch{1}{8}*x^2+2$ [/mm] haben wir nun --siehe Paulus' Artikel-- eine Rotation um die x-Achse
Zu berechnen ist also dieses Integral:
[mm] $\pi*\integral_0^4 \left(\bruch{1}{8}*x^2+2\right)^2\;dx$
[/mm]
[mm] $=\pi*\integral_0^4 \bruch{1}{64}*x^4+2*\bruch{1}{8}*x^2*2+2^2\;dx$
[/mm]
[mm] $=\pi*\integral_0^4 \bruch{1}{64}*x^4+\bruch{1}{2}*x^2+4\;dx$
[/mm]
[mm] $=\pi*\left\lbrack \bruch{1}{64}*\bruch{1}{5}x^5+\bruch{1}{2}*\bruch{1}{3}*x^3+4x\right\rbrack_0^4$
[/mm]
[mm] $=\pi*\left\lbrack \bruch{1}{320}x^5+\bruch{1}{6}*x^3+4x\right\rbrack_0^4$
[/mm]
[mm] $=\pi*\left\lbrack \bruch{1}{320}4^5+\bruch{1}{6}*4^3+4*4-0 \right\rbrack$
[/mm]
[mm] $=\pi*\left\lbrack \bruch{1024}{320}+\bruch{64}{6}+16 \right\rbrack$
[/mm]
[mm] $=\pi*\left\lbrack \bruch{1024}{320}+\bruch{32}{3}+16 \right\rbrack$
[/mm]
[mm] $=\pi*\left\lbrack \bruch{3072}{960}+\bruch{10240}{960}+\bruch{15360}{960} \right\rbrack$
[/mm]
[mm] $=\pi*\bruch{28672}{960}$
[/mm]
[mm] $\approx\pi*29.867$
[/mm]
Das ist ein anderes Ergebnis alsjetzt das gleiche Ergebnis wie du es hast, schaue dir doch bitte deine Rechnung nochmal an und vergleiche sie mit meiner -- einer von uns hat sich vertan.
> Aber wie bekomme ich unten dieses Volumen raus???
Das Volumen oberhalb der x-Achse haben wir ja oben berechnet (theoretisch, wenn wir uns auf einen Zahlenwert geeinigt haben )
Das Volumen unterhalb der x-Achse ist doch ein einfacher Zylinder, den man entweder direkt [mm] ($V=\pi*r^2*h=\pi*2^2*3=12\pi$) [/mm] berechnen kann oder den man wieder auf die gleiche Art und Weise wie oben durch Integration berechnen kann:
Die "Umkehrfunktion" zu der senkrechten Geraden $x=2$ ist $y=2$, eingesetzt in die Rotationskörperformel:
[mm] $V=\pi\integral_0^3 (2)^2 dx=\pi*\left\lbrack 4x \right\rbrack_0^3=\pi*\left\lbrack 4*3-4*0 \right\rbrack=12*\pi$
[/mm]
So, alles klar geworden jetzt bzw. habe ich die Aufgabenstellung jetzt richtig verstanden?
Alles Gute,
Marc
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Hallo Marc, danke für deine Lösung, du hast es fast richtig. Die Grenzen sind von 0 bis 4 also bei y = 4 ist schluss mit der Parabel, du hast es so wie ich es jetzt verstanden habe nur bis y =3 gerechnet. Den Rest habe ich jetzt auch verstanden (danke nochmals). Rechne dein Volumen des Graphes noch mal aus und schreib die Lösung dann mal hier rein, ob sie dann mit meiner übereinstimmt.
Du weißt ja auch, dass sie um die Y-Achse rotiert, oder???
Also du kannst es ja mal verbessern und ich hoffe solange, dass das gleiche rauskommt.
MfG DerMathematiker
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:34 Mi 21.04.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo DerMathematiker,
> Hallo Marc, danke für deine Lösung, du hast es fast
> richtig. Die Grenzen sind von 0 bis 4 also bei y = 4 ist
> schluss mit der Parabel, du hast es so wie ich es jetzt
> verstanden habe nur bis y =3 gerechnet. Den Rest habe ich
Du bist ja ein Scherzkeks, das solltest du vielleicht besser vorher mal schreiben 
> jetzt auch verstanden (danke nochmals). Rechne dein Volumen
> des Graphes noch mal aus und schreib die Lösung dann mal
> hier rein, ob sie dann mit meiner übereinstimmt.
Ich habe jetzt meine Rechnung "verbessert"/angepaßt und auch dasselbe wie du rausbekommen.
> Du weißt ja auch, dass sie um die Y-Achse rotiert,
> oder???
Ja, klar, nur für die Rechnung lasse ich die um 90° im Uhrzeigersinn gedrehte Vase aber kurzzeitung um die x-Achse rotieren.
--Marc
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