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| Aufgabe | Für eine Folge [mm] (a_n)_(_n_\in_\IN_) [/mm] reeller oder komplexer Zahlen schnreiben wir [mm] \summe_{k=1}^{n} a_k [/mm] := [mm] a_1 [/mm] + ... + [mm] a_n. [/mm] Zeigen Sie
Es gilt
[mm] \summe_{k=0}^{n}(-1)^k \vektor{n \\ k} [/mm] = 0. |
Guten Morgen liebes Forum,
in einer vorangegangen Aufgabe habe ich den Binomischen Satz mittels vollständiger Induktion bewiesen.
Bei dieser Aufgabenstellung bin ich mir jetzt unsicher, was ich bzw. wie ich es hinzuschreiben habe.
Wenn ich das richtig verstanden habe, gehört diese Form zu einem Spezialfall des Binomisches Satzes, nämlich wenn x = 1 und y = -1 ist.
Wäre es angebracht, auch hier wieder eine Beweisführung zu machen oder .... wäre um ein paar Tipps dankebar.
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Hallo,
> Für eine Folge [mm](a_n)_(_n_\in_\IN_)[/mm] reeller oder komplexer
> Zahlen schnreiben wir [mm]\summe_{k=1}^{n} a_k[/mm] := [mm]a_1[/mm] + ... +
> [mm]a_n.[/mm] Zeigen Sie
>
> Es gilt
>
> [mm]\summe_{k=0}^{n}(-1)^k \vektor{n \\ k}[/mm] = 0.
> Guten Morgen liebes Forum,
>
> in einer vorangegangen Aufgabe habe ich den Binomischen
> Satz mittels vollständiger Induktion bewiesen.
Sehr gut, das wird dir viel Arbeit sparen!
> Bei dieser Aufgabenstellung bin ich mir jetzt unsicher, was
> ich bzw. wie ich es hinzuschreiben habe.
> Wenn ich das richtig verstanden habe, gehört diese Form
> zu einem Spezialfall des Binomisches Satzes, nämlich wenn
> x = 1 und y = -1 ist.
>
Du musst hier nicht mehr tun, als den Term
[mm] (1-1)^n
[/mm]
mit Hilfe des bereits bewiesenen Binomilasatzes auszuwerten, Dann steht deine obige Summe da, und was 1-1 ergibt, setzen wir mal als bekannt voraus. 
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:02 Mo 18.11.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Marvin,
> Für eine Folge [mm](a_n)_(_n_\in_\IN_)[/mm] reeller oder komplexer
> Zahlen schnreiben wir [mm]\summe_{k=1}^{n} a_k[/mm] := [mm]a_1[/mm] + ... +
> [mm]a_n.[/mm] Zeigen Sie
>
> Es gilt
>
> [mm]\summe_{k=0}^{n}(-1)^k \vektor{n \\ k}[/mm] = 0.
> Guten Morgen liebes Forum,
>
> in einer vorangegangen Aufgabe habe ich den Binomischen
> Satz mittels vollständiger Induktion bewiesen.
dann darfst Du ihn jetzt auch benutzen!
> Bei dieser Aufgabenstellung bin ich mir jetzt unsicher, was
> ich bzw. wie ich es hinzuschreiben habe.
> Wenn ich das richtig verstanden habe, gehört diese Form
> zu einem Spezialfall des Binomisches Satzes, nämlich wenn
> x = 1 und y = -1 ist.
Wenn für $x,y [mm] \in \IR$ [/mm] (oder [mm] $\IC$) [/mm] und $n [mm] \in \IN_0$ [/mm] stets
[mm] $(x+y)^n=\sum_{k=0}^n [/mm] {n [mm] \choose k}x^k y^{n-k}$ $\left(=\sum_{k=0}^n {n \choose k} x^{n-k}y^k\right)\,,$
[/mm]
dann gilt das auch insbesondere für [mm] $x:=1\,,$ $y:=-1\,$ [/mm] und $n [mm] \in \IN_0\,.$
[/mm]
> Wäre es angebracht, auch hier wieder eine Beweisführung
> zu machen oder .... wäre um ein paar Tipps dankebar.
Siehe oben: In eine bewiesene Formel darf man Spezialfälle einsetzen.
Nebenbei: Die Behauptung stimmt nur für $n [mm] \in \IN=\IN_0 \setminus \{0\}\,.$
[/mm]
(Wegen [mm] $0^0=1$ [/mm] bzw. wegen ${0 [mm] \choose 0}*1^0*(-1)^0=1*1*1=1\,.$)
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:07 Mo 18.11.2013 | | Autor: | Marvin1979 |
Ok. Vielen Dank für die flotte Hilfe. ;)
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Hallo zusammen,
jetzt muss ich leider doch nochmal eine kleine Frage stellen.
Wie kommt man denn von ...
[mm] (a+b)^n [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k} a^k b^n^-^k [/mm] auf [mm] \summe_{k=0}^{n} (-1)^k \vektor{n \\ k} [/mm] = 0.
Auch wenn die Frage u.U. zu trivial ist, ich sehs grad einfach nicht.
Setze ich in den linken Term z.b. x=1 und y=-1 ein, kann ich ja zeigen, dass sowohl die linke wie die rechte Seite gleich 0 ist. Allerdings müsste ich doch diese Aussage noch auf den zweiten Teil mit (-1) münzen, oder?
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Hiho,
> Setze ich in den linken Term z.b. x=1 und y=-1 ein,
mal vorweg: Wenn du a und b meinst statt x und y, schreibe das bitte auch.
> kann ich ja zeigen, dass sowohl die linke wie die rechte Seite gleich 0 ist.
Was steht denn links und was steht rechts?? (EINSETZEN!)
MFG,
Gono.
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Sorry wegen xy bzw. ab.....
Vielleicht drücke ich mich verständlicher aus.
Im ersten Teil der Aufgabe habe ich ja den Binomischen Satz bewiesen über die vollständige Induktion, soweit so gut.
Um [mm] \summe_{k=0}^{n} (-1)^k \vektor{n \\ k} [/mm] = 0 zu zeigen, greife ich - siehe die ersten Antworten - auf den Binomischen Satz zurück.
Für x = 1 und y = -1 würde ich dann schreiben:
[mm] (1-1)^n [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k} a^k [/mm] * [mm] b^n^-^k
[/mm]
für n=1 gilt
[mm] (1-1)^1 [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{1} \vektor{1 \\ k} 1^k [/mm] * [mm] (-1)^1^-^k
[/mm]
=
0 = [mm] \vektor{1 \\ 0} 1^0 [/mm] * [mm] (-1)^1^-^0 [/mm] + [mm] \vektor{1 \\ 1} 1^1 [/mm] * [mm] (-1)^1^-^1
[/mm]
=
0 = [mm] \summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k} (-1)^k
[/mm]
... oder liege ich total daneben und blamier mich grad ;)
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Hiho,
stell Fragen doch bitte auch als solche, dann sieht man sie besser....
> Für x = 1 und y = -1 würde ich dann schreiben:
>
> [mm](1-1)^n[/mm] = [mm]\summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k} a^k[/mm] * [mm]b^n^-^k[/mm]
Warum setzt du hier nicht auch a und b rechts ein?
Tipp: Wenn du einen Exponenten bestehend aus mehr als einem Zeichen schreiben willst, schreibe ihn in geschweiften Klammern: b^{n-k} liefert dir [mm] $b^{n-k}$. [/mm] Dann brauchst du das nicht so umständlich zu machen....
> für n=1 gilt
Warum für n=1 ?
Lass das n doch beliebig und setze einfach ein in den binomischen Lehrsatz!!
Gruß,
Gono.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:42 Mo 18.11.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sorry wegen xy bzw. ab.....
>
> Vielleicht drücke ich mich verständlicher aus.
ich versteh' Dein Problem nicht:
1. Es gilt für $x,y [mm] \in \IC$ [/mm] und $n [mm] \in \IN_0$
[/mm]
[mm] $\red{\;(x+y)^n=\sum_{k=0}^n {n \choose k} x^k y^{n-k}\;}=\sum_{k=0}^n [/mm] {n [mm] \choose [/mm] k} [mm] x^{n-k}y^k\,.$
[/mm]
(Warum gilt das zweite Gleichheitszeichen? Hinweis: Wenn Dir die rote
Gleichheit klar ist - was wäre damit dann [mm] $(y+x)^n$?)
[/mm]
2. In
[mm] $(x+y)^n=\sum_{k=0}^n [/mm] {n [mm] \choose [/mm] k} [mm] x^{n-k} y^{k}$
[/mm]
setze [mm] $x:=1\,$ [/mm] und [mm] $y:=\,-\,1$ [/mm] ein ($n [mm] \in \IN_0$):
[/mm]
[mm] $0^n=\sum_{k=0}^n [/mm] {n [mm] \choose [/mm] k} [mm] (-1)^k*1^{n-k}=\sum_{k=0}^n (-1)^k [/mm] {n [mm] \choose k}\,.$
[/mm]
Für alle $n [mm] \in \IN=\IN \setminus \{0\}$ [/mm] gilt dann
[mm] $0=0^n=\sum_{k=0}^n (-1)^k [/mm] {n [mm] \choose k}\,.$
[/mm]
Für $n=0$ stimmt
[mm] $0^n=\sum_{k=0}^n (-1)^k [/mm] {n [mm] \choose [/mm] k}$
auch noch, nur ist hier jedes Gleichheitszeichen bei
[mm] $\sum_{k=0}^n (-1)^k [/mm] {n [mm] \choose k}=0=0^n$
[/mm]
falsch:
Es ist halt nicht [mm] $1=0=1\,.$
[/mm]
Deswegen sagte ich: Die Behauptung stimmt so nur für natürliche $n [mm] \ge [/mm] 1$...
Gruß,
Marcel
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